Technische Dynamik

Die Technische Dynamik beschäftigt sich mit dem Bewegungsverhalten und der Beanspruchung mechanischer Systeme, sie stützt sich dabei auf die Kinematik, die Kinetik und die Prinzipien der analytischen Mechanik. Die mechanischen Systeme sind in der Regel als technische Konstruktionen gegeben. Zu ihrer mathematischen Untersuchung ist die Beschreibung durch Ersatzsysteme oder Modelle erforderlich. Nach der Art der Modellbildung unterscheiden wir in diesem Buch Mehrkörpersysteme, Finite-Elemente-Systeme und kontinuierliche Systeme. Alle diese mechanischen Modelle führen über ihre Bewegungsgleichungen auf Zustandsgleichungen, die sich nach einheitlichen Gesichtspunkten numerisch lösen lassen. Die Technische Dynamik hat sich aus der klassischen Maschinendynamik der Kraftmaschinen entwickelt. Sie umfasst heute aber auch die Biomechanik, die Baudynamik, die Fahrzeugdynamik, die Roboterdynamik, die Rotordynamik, die Satellitendynamik und große Teile der Systemdynamik. Eine gemeinsame Klammer all dieser eigenständigen Disziplinen stellen die mechanischen Systeme dar, deren Modellierung immer am Anfang ihrer technisch-wissenschaftlichen Untersuchung steht.

In der Technischen Dynamik unterscheidet man freie Systeme mit Elementen, die sich uneingeschränkt bewegen können, und gebundene Systeme, deren Elemente miteinander oder mit ihrer Umgebung durch ideale Lagerungen verbunden sind. Während sich z. B. die Satellitendynamik überwiegend mit freien Systemen beschäftigt, findet man in der Maschinendynamik fast nur gebundene Systeme. Für Punktsysteme, Mehrkörpersysteme und kontinuierliche Systeme werden in diesem Kapitel die kinematischen Grundlagen zusammengestellt. Finite-Elemente-Systeme gehören vom kinematischen Standpunkt aus zu den kontinuierlichen Systemen, sie werden deshalb nicht gesondert betrachtet. Die Kinematik freier und gebundener Systeme wird sowohl in einem raumfesten Inertialsystem als auch in einem relativbewegten Koordinatensystem dargestellt. Die gebundenen Systeme werden in holonome und nichtholonome Systeme unterteilt.

Die kinetischen Grundgleichungen für Punkt, Körper und Kontinuum gelten für freie Systeme. Die Grundgleichungen erlauben die Berechnung der Bewegungen, wenn die Kräfte und Momente gegeben sind, oder es können die resultierenden Kräfte und Momente aus den Bewegungen bestimmt werden. So kann einerseits aus den Newtonschen Gleichungen und der Gravitationskraft das erste Keplersche Gesetz berechnet werden, während sich andererseits das Newtonsche Gravitationsgesetz über die Planetenbewegung ermitteln lässt. In gebundenen Systemen treten zusätzlich zu den eingeprägten Kräften und Momenten noch unbekannte Reaktionskräfte und -momente auf. Diese Reaktionskräfte und -momente können zwar in statisch bzw. kinetisch bestimmten Systemen mit Hilfe der kinetischen Grundgleichungen bestimmt werden, doch auf die Bewegung, die nur in die nicht gesperrten Richtungen auftreten kann, haben sie keinen unmittelbaren Einfluss. Es liegt deshalb nahe, die Reaktionskräfte und -momente in den kinetischen Grundgleichungen zu eliminieren. Dies gelingt mit Hilfe der Prinzipe der Mechanik. Ausgehend vom Prinzip der virtuellen Arbeit werden das d’Alembertsche, das Jourdainsche und das Gaußsche Prinzip behandelt. Weiterhin werden das Prinzip der minimalen potentiellen Energie und das Prinzip von Hamilton vorgestellt. Darüber hinaus werden die Lagrangeschen Gleichungen erster und zweiter Art aus dem d’Alembertschen Prinzip hergeleitet.

Die kinetischen Grundgleichungen für Punkt, Körper und Kontinuum gelten für freie Systeme. Die Grundgleichungen erlauben die Berechnung der Bewegungen, wenn die Kräfte und Momente gegeben sind, oder es können die resultierenden Kräfte und Momente aus den Bewegungen bestimmt werden. So kann einerseits aus den Newtonschen Gleichungen und der Gravitationskraft das erste Keplersche Gesetz berechnet werden, während sich andererseits das Newtonsche Gravitationsgesetz über die Planetenbewegung ermitteln lässt. In gebundenen Systemen treten zusätzlich zu den eingeprägten Kräften und Momenten noch unbekannte Reaktionskräfte und -momente auf. Diese Reaktionskräfte und -momente können zwar in statisch bzw. kinetisch bestimmten Systemen mit Hilfe der kinetischen Grundgleichungen bestimmt werden, doch auf die Bewegung, die nur in die nicht gesperrten Richtungen auftreten kann, haben sie keinen unmittelbaren Einfluss. Es liegt deshalb nahe, die Reaktionskräfte und -momente in den kinetischen Grundgleichungen zu eliminieren. Dies gelingt mit Hilfe der Prinzipe der Mechanik. Ausgehend vom Prinzip der virtuellen Arbeit werden das d’Alembertsche, das Jourdainsche und das Gaußsche Prinzip behandelt. Weiterhin werden das Prinzip der minimalen potentiellen Energie und das Prinzip von Hamilton vorgestellt. Darüber hinaus werden die Lagrangeschen Gleichungen erster und zweiter Art aus dem d’Alembertschen Prinzip hergeleitet.

Ein Mehrkörpersystem besteht aus starren Körpern zwischen denen innere Kräfte und Momente wirken, die auf masselose Bindungs- und Koppelelemente zurückgehen. Daneben können noch beliebige äußere Kräfte und Momente am System angreifen. Ein Massenpunktsystem ist ein Sonderfall eines Mehrkörpersystems. So kann man z. B. ein Mehrkörpersystem als Punktsystem darstellen, wenn alle Drehgeschwindigkeiten sowie alle inneren und äußeren Momente bezüglich der Massenmittelpunkte verschwinden. Im Vergleich zum freien Mehrkörpersystem verfügt ein freies Punktsystem wegen der wegfallenden Rotationen nur über die halbe Zahl von Freiheitsgraden. Bei einem ebenen Mehrkörpersystem entfallen eine Verschiebungs- und zwei Winkelkoordinaten, sowie eine Kraft- und zwei Momentenkoordinaten. Darüber hinaus müssen sich alle Teilkörper in parallelen Hauptträgheitsebenen bewegen. Im Vergleich zum freien räumlichen Mehrkörpersystem vermindert sich beim freien ebenen Mehrkörpersystem die Zahl der Freiheitsgrade auf die Hälfte. Ähnliche Vereinfachungen ergeben sich bei Kreiselsystemen oder ebenen Punktsystemen. Um die Vielfalt der Varianten einzuschränken, wird nur das räumliche Mehrkörpersystem behandelt. Die Vereinfachungen in den genannten Sonderfällen, die auf ein reines Streichen von verschwindenden Gleichungen hinauslaufen, bleiben dem Leser überlassen, sie werden jedoch zum Teil in den Beispielen benutzt.

Ein Finite-Elemente-System erhält man anschaulich durch die Zerlegung eines nichtstarren Kontinuums in geometrisch einfache Teilkörper, die an diskreten Knotenpunkten miteinander verbunden sind. Das Materialgesetz, wie z. B. das linearelastische Hookesche Materialgesetz, führt dann auf innere Kräfte und Momente, die in der Steifigkeitsmatrix eines einzelnen finiten Elements ihren Niederschlag finden. Die Knotenpunkte der Elemente sind durch holonome Bindungen miteinander verknüpft, darüber hinaus können an den Knotenpunkten äußere Kräfte und Momente angreifen.

Die Bewegung eines elastischen Körpers kann sowohl mit der Methode der Mehrkörpersysteme als auch mit der Methode der finiten Elemente nur näherungsweise beschrieben werden. Das elastische Kontinuum hat bei einer verfeinerten Modellierung durch infinitesimale Teilkörper unendlich viele Freiheitsgrade, seine Bewegung wird lokal durch partielle Differentialgleichungen bestimmt. Es werden zuerst die lokalen Cauchyschen Bewegungsgleichungen für ein freies Kontinuum und für den elastischen Balken als Kontinuum mit inneren Bindungen angegeben, die beide durch die Randbedingungen zu ergänzen sind. Die globalen Bewegungsgleichungen erhält man dann mit den Eigenfunktionen, die den Randbedingungen genügen müssen. Dabei kommt wiederum das d’Alembertsche Prinzip zum Tragen. Die globalen Bewegungsgleichungen beschreiben nun die Bewegung eines elastischen Körpers exakt. Allerdings ist damit die Lösung eines unendlich-dimensionalen Eigenwertproblems verbunden, die nur bei geometrisch einfachen Körpern gelingt. Deshalb haben kontinuierliche Systeme für die technische Praxis keine so große Bedeutung wie die bisher genannten Näherungsverfahren. Beschränkt man sich auf eine endliche Anzahl von Eigenfunktionen, wie dies bei der technischen Modalanalyse der Fall ist, dann stellen auch die kontinuierliche Systeme eine Näherung dar.

In den vorangegangenen Kapiteln wurden die Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme hergeleitet. Diese Bewegungsgleichungen sollen nun einheitlich in der Form von Zustandsgleichungen dargestellt werden. Der Begriff der Zustandsgleichungen ist vor allem in der Systemdynamik und der Systemtheorie gebräuchlich, doch auch in der Technischen Dynamik ist es nützlich mit Eingangs-, Zustands- und Ausgangsgrößen zu arbeiten. Die Zustandsgrößen, zu denen z. B. die verallgemeinerten Koordinaten gehören, können in unterschiedlicherWeise gewählt werden. Es bestehen jedoch Transformationsgesetze zwischen den einzelnen Darstellungen. In diesem Kapitel werden im Besonderen die linearen Systeme betrachtet, die durch Ähnlichkeitsbzw. Kongruenztransformationen in eine Normalform gebracht werden können.

Große Bewegungen führen in der Technischen Dynamik auf gekoppelte, nichtlineare Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen, kleine Bewegungen ergeben lineare Differentialgleichungssysteme und die Reaktions- oder Zwangskräfte werden schließlich aus algebraischen Gleichungssystemen bestimmt. Zur Lösung dieser Aufgaben stellt die Numerische Mathematik zahlreiche bewährte Verfahren zur Verfügung, auf welche die Technische Dynamik zurückgreifen kann. Dies war jedoch nicht immer der Fall. So enthält z. B. das klassische Werk von Biezeno und Grammel [9] noch ein ausführliches Kapitel über Lösungsmethoden für Eigenwert- und Randwertprobleme. Im Besonderen hat die Numerische Mathematik durch die Technische Dynamik auch immer wieder starke Impulse für ihre Weiterentwicklung erhalten. Viele Verfahren der numerischen Mathematik stehen heute in sehr anwenderfreundlicher Form in der Software Matlab zur Verfügung. Zur Lösung der numerischen Aufgaben der Technischen Dynamik lassen sich Matlab-Programme mit großem Nutzen einsetzen. Trotzdem ist es empfehlenswert, sich mit den Grundgedanken der Lösungsmethoden vertraut zu machen. In diesem Kapitel werden einige für die Technische Dynamik wichtige numerische Verfahren besprochen. Dazu zählen die Integrationsverfahren gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme und die lineare Algebra für zeitinvariante Systeme. Abschließend werden noch die behandelten mechanischen Modelle der Mechanik an Hand numerischer Ergebnisse verglichen.