Skip to main content

2015 | Buch

Mathematik für BWL-Bachelor

Schritt für Schritt mit ausführlichen Lösungen

insite
SUCHEN

Über dieses Buch

Dieses Buch nimmt Sie an die Hand und führt Sie zielsicher zu bestandenen Prüfungen in der Mathematik-Grundausbildung Ihres Studiums. Als Autoren wurden zwei erfahrene Hochschullehrer gewonnen, denen die Berührungsängste und alle Unsicherheiten von BWL-Studierenden mit der Mathematik aus langjähriger Tätigkeit an den höchsten Schulen der Republik zutiefst vertraut sind. Einfach in der Sprache, verständlich in der Methodik, anregend mit vielen ausführlich vorgerechneten Beispielen - so präsentiert sich ein Buch, das als Begleiter im BWL-Grundstudium ausdrücklich zu empfehlen ist. Leserservice und online-Hilfe sind selbstverständlich.

In die 4. Auflage wurden die Rechenmethoden zur Linearen Optimierung (Simplex-Verfahren) integriert. Außerdem wurde das Buch durch den Themenkomplex Wahrscheinlichkeit/Statistik wesentlich erweitert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen

Frontmatter
1. Elementares Handwerkszeug
Zusammenfassung
Eigentlich müsste jede Studienanfängerin und jeder Studienanfänger solide Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten im elementaren Rechnen mitbringen. Für alle diejenigen, bei denen doch manches in Vergessenheit geraten ist, werden in diesem Kapitel die wichtigsten Regeln zum Umgang mit Klammern und Brüchen noch einmal wiederholt:
1.1 Klammersetzung
1.2 Bruchrechnung
1.3 Größenverhältnisse bei Brüchen
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
2. Erweitertes Handwerkszeug
Zusammenfassung
Hier werden zuerst das Rechnen mit Potenzen und Wurzeln und der wichtige Begriff des Logarithmus wiederholt und vertieft. Einfache Gleichungen folgen, dann wird der Umgang mit Ungleichungen und Beträgen ausführlich behandelt. Schließlich folgen noch ausführliche Beispiele zum Umgang mit dem Summenzeichen:
2.1 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
2.2 Gleichungen, Ungleichungen, Beträge
2.3 Umgang mit dem Summenzeichen
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus

Analysis

Frontmatter
3. Analysis
Zusammenfassung
Analysis - das ist die Lehre von den Funktionen. Das wird in diesem
einführenden Kapitel am Beispiel der so genannten Rabatt-Staffel-
Funktion erklärt, gleichzeitig werden die Aufgaben der Analysis
geschildert:
3.1 Funktionen
3.2 Aufgaben der Analysis
3.3 Vorschau
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
4. Elementare Funktionen und ihre Graphen
Zusammenfassung
Hier beginnt die Wiederholung und Vertiefung des Grundwissens über
alle Arten von Funktionen, die für künftige Betriebswirtschaftler
von unverzichtbarer Bedeutung sind:
4.1 Polynome
4.2 Exponentialfunktionen
4.3 Logarithmusfunktionen
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
5. Verwandte Funktionen und ihre Graphen
Zusammenfassung
Um Diskussionen über funktional beschriebene Zusammenhänge der
Betriebswirtschaftslehre führen zu können, ist in vielen Fällen
die Veranschaulichung mittels von Graphen außerordentlich hilfreich.
Nicht in jedem Fall muß man dazu eine Kurvendiskussion führen,
oft hilft auch die Feststellung von Verwandtschaft mit bekannten
Funktionen:
5.1 Begriffserklärung
5.2 Additionen und Subtraktionen
5.3 Multiplikationen
5.4 Betragsbildungen
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
6. Kurvendiskussion
Zusammenfassung
Wenn eine Funktion zu diskutieren ist, deren Funktionsformel sich weder als Grundfunktion noch als Verwandte einer Grundfunktion
erweist, dann kommt man nicht umhin, sich mit Hilfe einer vorgegebenen Strategie den Graphen zu erarbeiten. Die Schritte dieser stets empfohlenen und bewährten Strategie werden als Kurvendiskussion bezeichnet:
6.1 Begriff und Aufgabenstellung
6.2 Definitionsbereich
6.3 Randuntersuchungen
6.4 Wertebereich
6.5 Schnittpunkte mit den Achsen
6.6 Ausblick
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
7. Eigenschaften von Funktionen
Zusammenfassung
Da sie für das Verständnis der weiteren Ausführungen wichtig sind und auch grundsätzlich zur Allgemeinbildung eines Betriebswirtschaftlers gehören sollten, werden in diesem Kapitel die allerwichtigsten innermathematischen Begriffe Stetigkeit, Monotonie, Beschränktheit und Umkehrfunktion eingeführt und anhand vieler Beispiele ausführlich erklärt:
7.1 Stetigkeit
7.2 Beschränktheit
7.3 Monotonie
7.4 Umkehrfunktion
7.5 Mittelbare Funktionen: Funktionen von Funktionen
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
8. Differentialrechnung
Zusammenfassung
Ergibt sich aus der Betrachtung eines betriebswirtschaftlichen Zusammenhanges mit einem Ursachen- und einem Wirkungswert eine bestimmte Funktionsformel, so ist zweifellos die grafische Darstellung des funktionalen Zusammenhanges zur Diskussion der Eigenschaften das ideale Instrument. In diesem Kapitel wird jedoch gezeigt, dass auch auf rechnerischem Wege Auskünfte über die Eigenschaften von Funktionen erhalten werden können:
8.1 Vorbemerkung, Bilanz, Ausblick
8.2 Der erste Ableitungswert
8.3 Berechnung des ersten Ableitungswertes: Theorie
8.4 Berechnung des ersten Ableitungswertes: Praxis
8.5 Kettenregel
8.6 Logarithmisches Differenzieren
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
9. Kurvendiskussion (Fortsetzung)
Zusammenfassung
Bei der Betrachtung des ersten Ableitungswertes einer Funktion an einer gegebenen Stelle zeigt sich, dass damit auch Informationen über den Graph der Funktion erhalten werden können. Somit wird die Differentialrechnung keine Alternative, sondern wichtiges Hilfsmittel zur Kurvendiskussion:
9.1 Bedeutung des ersten Ableitungswertes für den Graphen
9.2 Bedeutung der ersten Ableitungsfunktion für den Graphen
9.3 Zweite Ableitungsfunktion
9.4 Extremwertsuche, Teil 1: Suche nach relativen Extremwerten
9.5 Höhere Ableitungsfunktionen
9.6 Extremwertsuche, Teil 2: Globale Extremwerte im Definitionsbereich
9.7 Extremwertsuche, Teil 3: Globale Extremwerte im Intervall
9.8 Anwendung der 1. Ableitungsfunktion: Grenzwerte unbestimmter Ausdrücke
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
10. Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher
Zusammenfassung
Während funktionale Zusammenhänge, bei denen jeweils ein Ursachenwert (eine unabhängige Veränderliche) zu einem Wirkungswert (einer abhängigen Veränderlichen) führt, mit Hilfe grafischer Methoden gut analysiert werden können, versagt die Anschauung und die Möglichkeit grafischer Gestaltung bei mehreren Ursachenwerten. Dort bekommen die rechnerischen Methoden eine weitaus größere Bedeutung:
10.1 Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen
10.2 Differentialrechnung für Funktionen zweier Veränderlicher
10.3 Extremwertsuche, Teil 1: Hoch- und Tiefpunkte bei 2 Veränderlichen
10.4 Funktionen von mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
10.5 Extremwertsuche, Teil 2: Funktionen vieler Veränderlicher
10.6 Extremwertsuche, Teil 3: Methode der Lagrange-Multiplikatoren
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
11. Analysis und Betriebswirtschaftslehre
Zusammenfassung
Aus methodischen Gründen wurde in den bisherigen, gewissermaßen ″rein mathematischen″ Kapiteln auf akademische Beispiele gesetzt, und die Anwendungen in der Betriebswirtschaftslehre wurden bisher weitgehend ausgeblendet. Deshalb soll nun ein besonderes Kapitel genau diesen Anwendungen gewidmet werden:
11.1 Preis-Absatz-Funktionen
11.2 Angebotsmonopolisten
11.3 Gewinnmaximum und Durchschnittskosten
11.4 Gewinnmaximierung
11.5 COBB-DOUGLAS-Funktion
11.6 Stückkostenkurve und Grenzkosten
11.7 Grenzerträge
11.8 Zwei Güter
11.9 Minimalkostenkombinationen
11.10 Output-Maximierung
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus

Folgen, Reihen und Finanzmathematik

Frontmatter
12. Folgen mit Reihen
Zusammenfassung
Folgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich aus der Menge der natürlichen Zahlen besteht. So nüchtern diese Definition klingt, so anspruchsvoll ist für Viele das Verständnis von Folgen und vor allem von den Reihen, die eigentlich nichts anderes sind als speziell rekursiv konstruierte Folgen. Ausführliche Beispiele helfen beim Verstehen:
12.1 Folgen als spezielle Funktionen
12.2 Beschränktheit und Monotonie, alternierende Folgen
12.3 Konvergenz und Divergenz von Folgen
12.4 Rekursiv beschriebene Folgen
12.5 Reihen
12.6 Grenzwert einer Funktion
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
13. Grundzüge der Finanzmathematik
Zusammenfassung
Es ist nur logisch, dass den Ausführungen über Folgen und Reihen deren wichtigste Anwendung in der betrieblichen Praxis folgt - die Finanzmathematik. Insbesondere bei Finanzaktionen, die sich über Jahre erstrecken, erweist sich der souveräne Umgang mit gewissen Reihen als außerordentlich hilfreich:
13.1 Vorbemerkungen, Begriffe, Zeitstrahl
13.2 Zins und Zinseszins bei jährlicher Verzinsung
13.3 Unterjährige und stetige Verzinsung
13.4 Ein- und Rückzahlung innerhalb desselben Jahres
13.5 Mindestens ein Jahreswechsel zwischen Ein- und Rückzahlung
13.6 Verzinsung von Ratenverträgen
13.7 Renten
13.8 Tilgungen
13.9 Fairness, Unfairness und effektiver Jahreszins
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus

Lineare Algebra und Optimierung

Frontmatter
14. Lineare Algebra: Matrizen
Zusammenfassung
Der souveräne Umgang mit Matrizen und linearen Gleichungssystemen gehört zu den Grundfertigkeiten, die künftige Betriebswirte erwerben müssen. Dementsprechend wird im ersten Kapitel dieses Teils sehr ausführlich nur über Matrizen gesprochen:
14.1 Allgemeines
14.2 Matrizen-Begriffe
14.3 Quadratische Matrizen
14.4 Einfache Rechenregeln für Matrizen
14.5 Matrizenmultiplikation
14.6 Inverse Matrix
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
15. Lineare Algebra: Determinanten
Zusammenfassung
Determinanten sind Kennzahlen von quadratischen Matrizen. Nicht-quadratische Matrizen besitzen keine Determinante. Da die Bedeutung von Determinanten zumeist innermathematisch ist, ist dieses Kapitel speziell dem Grundverständnis gewidmet:
15.1 Der Determinantenbegriff
15.2 Bedeutung der Determinante
15.3 Berechnung von Determinanten
15.4 Determinanten spezieller Matrizen
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
16. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Lineare Gleichungssysteme treten bei der Lösung von betriebswirtschaftlichen Problemen außerordentlich oft auf. Deshalb ist es sehr wichtig, die Linearität erkennen zu können, über die möglichen Lösungssituationen Bescheid zu wissen und den berühmten Algorithmus von Gauß zu beherrschen:
16.1 Definition, Darstellungsformen und Begriffe
16.2 Das Lösungsverhalten linearer Gleichungssysteme
16.3 Die Regel von CRAMER für kleine quadratische Systeme
16.4 Der Gauß’sche Algorithmus
16.5 Kanonische Formen und Basislösungen
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
17. Lineare Optimierung: Rechnerische Lösung
Zusammenfassung
Viele Aufgabenstellungen, bei denen unter vielen möglichen Lösungen die beste gesucht ist, führen auf lineare Optimierungsprobleme. Unter Verwendung der Erkenntnisse aus der Theorie der linearen Gleichungssysteme kommt man zum Austauschverfahren, das später mit einer genialen Steuerung der Pivotwahl zum Simplex-Algorithmus wird:
17.1 Standard-Maximum-Probleme der linearen Optimierung
17.2 Schlupfvariable und ihre Bedeutung
17.3 Das Austauschverfahren zum Basistausch
17.4 Basislösungen für die Produktionsplanung
17.5 Schlussfolgerungen und Aufgabenstellung
17.6 Das Simplex-Verfahren
17.7 Engpässe, Schattenpreise, Opportunitätskosten
17.8 Nicht-Standard-Probleme der linearen Optimierung
17.9 Dualität in der linearen Optimierung
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
18. Lineare Optimierung: Grafische Lösung
Zusammenfassung
Hat ein lineares Optimierungsproblem speziell nur zwei Problemvariable, dann kann es sogar mit grafischen Methoden gelöst werden, indem der zulässige Bereich gezeichnet wird und eine Linie der Zielfunktion geeignet verschoben wird. Dabei kann man sich leicht anschaulich vorstellen, wie es zur Unlösbarkeit linearer Optimierungsprobleme kommen kann:
18.1 Wiederholung: Optimales Produktionsprogramm
18.2 Grafische Lösung des optimalen Produktionsprogramms
18.3 Ein Diätproblem
18.4 Weitere grafisch lösbare angewandte Aufgabenstellungen
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
19. Lineare Algebra und Betriebswirtschaftslehre
Zusammenfassung
Auch für diesen wichtigen Abschnitt gibt es abschließend ein Kapitel, in dem exemplarisch einige Aufgaben aus der Praxis vorgestellt und mit ihrer Lösung präsentiert werden:
19.1 Rohstoffe und Endprodukte
19.2 Mehrstufige Produktion
19.3 Maschinenzeitfonds
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus

Zufall, Wahrscheinlichkeit, Verteilungsfunktionen

Frontmatter
20. Wiederholung: Wahrscheinlichkeit
Zusammenfassung
Obwohl der Schwerpunkt der Ausführungen zu Wahrscheinlichkeits- Rechnung und Statistik in diesem Buch eindeutig auf die Statistik gerichtet ist, macht es sich doch notwendig, kurz auf den fundamentalen Begriff der Wahrscheinlichkeit einzugehen und die wichtigsten Rechenregeln für den Umgang mit Wahrscheinlichkeiten vorzustellen:
20.1 Zufällige Ereignisse
20.2 Das Ereignisfeld
20.3 Wahrscheinlichkeitsbegriffe
20.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhängige Ereignisse
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
21. Zufallsgrößen und Verteilungen
Zusammenfassung
Wenn nur solche Zufallsexperimente betrachtet werden, die entweder sofort Zahlen liefern (wie z.B. das Würfeln) oder deren Ergebnisse sinnvoll durch Zahlen kodiert werden können, dann spricht man von Zufallsgrößen. Für Zufallsgrößen kann der Begriff der Verteilungsfunktion definiert werden:
21.1 Zufallsgrößen
21.2 Zugang zur Verteilungsfunktion
21.3 Eigenschaften von Verteilungsfunktionen alternativer Zufallsgrößen
21.4 Eigenschaften von Verteilungsfunktionen diskreter Zufallsgrößen
21.5 Vertiefendes Beispiel
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
22. Verteilungen alternativer und diskreter Zufallsgrößen
Zusammenfassung
Kennt man die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße, so lassen sich daraus alle gewünschten Informationen über das damit beschriebene Zufallsexperiment ablesen, insbesondere erhält man Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten:
22.1 Von der Verteilung zu den Eigenschaften der Zufallsgröße
22.2 Poisson-Verteilung
22.3 Binomial-Verteilung
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
23. Stetige Verteilungen und stetige Zufallsgrößen
Zusammenfassung
Liefert ein Zufallsexperiment unüberschaubar viele verschiedene zufällige Zahlenwerte (zum Beispiel bei Messungen), dann spricht man von einer stetigen Zufallsgröße. Deren Verteilungsfunktionen haben einen Graphen ohne Sprünge, hier interessieren nur Intervall-Wahrscheinlichkeiten:
23.1 Einführung
23.2 Exponentialverteilung
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
24. Normalverteilung
Zusammenfassung
Unter allen stetigen Verteilungen besitzt die Normalverteilung mit großem Abstand die größte Bedeutung. Deswegen wird sie mit ihren Eigenschaften in diesem Kapitel ganz besonders ausführlich behandelt:
24.1 Einführung, Normalität zufälliger Daten
24.2 Normalverteilte Zufallsgrößen
24.3 Erkennen von Normalverteilungen
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
25. Dichtefunktion, Standardnormalverteilung, Quantile
Zusammenfassung
Stetige Verteilungsfunktionen besitzen erzeugende Funktionen, die so genannten Dichtefunktionen. Für die Normalverteilung hat die Dichtefunktion die Gestalt der berühmten Gaußschen Glockenkurve. Weiter wird der Begriff des Quantils vorgestellt, der für die beurteilende Statistik sehr wichtig ist:
25.1 Glockenkurve, Dichtefunktion der Normalverteilung
25.2 Standardnormalverteilung
25.3 Quantile
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus

Beurteilende Statistik

Frontmatter
26. Statistische Tests: Prüfung von Verteilungen
Zusammenfassung
Kennt man die Verteilung einer Zufallsgröße, dann ist das damit beschriebene Zufallsexperiment vollständig beschrieben, alle gewünschten Informationen können erhalten werden. Daraus ergibt sich die Frage, wie man aus einer zufällig beobachteten Datenmenge eines Zufallsexperiments, einer Stichprobe, gewisse Informationen über die Verteilung erhalten könnte:
26.1 Das Problem
26.2 Prüfung der Poisson-Verteilung
26.3 Verallgemeinerung: Prüfung von diskreten Verteilungen
26.4 Prüfung einer stetigen Verteilung mit bekannten Parametern
26.5 Prüfung einer stetigen Verteilung mit unbekannten Parametern
26.6 Ergänzung: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung aus Tafeln ablesen
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
27. Statistische Tests: Parametertests
Zusammenfassung
Wenn über die Qualität einer Verteilung bereits eine Information vorliegt, dann reduziert sich die Testaufgabe auf das Prüfen einer Hypothese über die Parameter der Verteilung. Parametertests haben die Besonderheit, daß es immer drei mögliche Problemstellungen gibt, abhängig von der formulierten Gegenhypothese:
27.1 Gegenhypothesen, Fragestellungen bei Parametertests
27.2 Beispiel
27.3 Parameterprüfung bei großen Stichproben
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
28. Parameterprüfung bei kleinen Stichproben
Zusammenfassung
Oft lassen die technischen Gegebenheiten keine Entnahme von großen Stichproben zu. Für diesen Fall mußten die Statistiker Testmethoden entwickeln, die auch bei kleinen Stichproben die Prüfung von Hypothesen über Parameterwerte zulassen:
28.1 Prüfung des Erwartungswertes bei bekannter Standardabweichung
28.2 Prüfung des Erwartungswertes bei unbekannter Standardabweichung
28.3 Prüfung der Varianz
Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für BWL-Bachelor
verfasst von
Heidrun Matthäus
Wolf-Gert Matthäus
Copyright-Jahr
2015
Electronic ISBN
978-3-658-06206-4
Print ISBN
978-3-658-06205-7
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-06206-4