10. Stabilität exakter Lösungen von Differentialgleichungen

Unter Stabilität einer Lösung und speziell eines stationären Punktes wird die Eigenschaft verstanden, bei kleinen Störungen ebenfalls nur kleine Änderungen in der Lösung zu zeigen bzw. sogar wieder in den stationären Punkt zurückzukehren. Befindet sich ein System im Gleichgewicht, so ist von elementarer Bedeutung, ob Störungen sich nachhaltig auswirken oder nach einiger Zeit abklingen und verschwinden. Die Anwendung und Bedeutung bei Klimamodellen ist offensichtlich. Daher ist wichtig, ob und wie das Stabilitätsverhalten von Gleichgewichtslösungen analytisch untersucht werden kann. Es geht hier um die exakte Lösung der Modellgleichungen, noch nicht um ihre numerische Approximation in einer Simulation. Bei einer Simulation können wiederum Instabilitäten des angewendeten numerischen Verfahrens auftreten. Es ist wichtig, beide Phänomene auseinderhalten zu können. Die Stabilitätsuntersuchung der exakten Lösung ist jedoch – vor allem bei nichtlinearen Systemen – nicht einfach. In diesem Kapitel werden die Stabilitätsbegriffe definiert sowie analytische Aussagen angegeben.