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Erschienen in:
2017 | OriginalPaper | Buchkapitel
2014
verfasst von : Volodymyr Brayman, Alexander Kukush
Erschienen in: Undergraduate Mathematics Competitions (1995–2016)
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Abstract
For \(\pi /2\le x\le \pi ,\) it holds \(\cos x\le 0<e^{-x^2/2},\) hence it remains to consider \(0<x<\pi /2\).After taking the logarithm on both sides the inequality turns to \(\ln \,\cos x<-x^2/2,\) or equivalently \({x^2/2+\ln \,\cos x<0},\) \(0<x<\pi /2\). The function \(f(x)=x^2/2+\ln \,\cos x\) is decreasing on \([0,\pi /2),\) because \(f'(x)=x-\tan x<0,\) \({0<x<\pi /2.}\) Therefore, \(f(x)<f(0)=0,\) \(0<x<\pi /2\).