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2023 | Buch

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4000 Jahre Zahlentheorie

Geschichte - Kulturen - Menschen I. Von Babel bis Abel

verfasst von: Franz Lemmermeyer

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Vom Zählstein zum Computer

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

4000 Jahre Zahlentheorie nimmt die Leser und Leserinnen mit auf eine Reise durch die Geschichte eines lange Zeit belächelten Gebiets der Mathematik. Im ersten Teil wird das Auf und Ab mathematischer Kulturen geschildert, beginnend mit den ersten zahlentheoretischen Fragestellungen der Babylonier, dem Studium von Primzahlen und vollkommenen Zahlen bei den Griechen und in der islamischen Welt, bis zu den Untersuchungen rechtwinkliger Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen in Indien und China. Die Erfindung des Buchdrucks und die Wiederentdeckung der griechischen Mathematik, insbesondere des Werks von Diophant, führte zu einem ungeheuren Aufschwung in der Zahlentheorie unter den Händen von Fermat, Euler, Lagrange und Legendre bis hin zu Gauß und seinem Jahrhundertwerk, den Disquisitiones Arithmeticae. Der dritte Teil beschäftigt sich mit der Generation von Zahlentheoretikern nach Gauß, die sich intensiv mit den Disquisitiones auseinandergesetzt haben und welche mit der Anwendung analytischer Methoden Ergebnisse erzielt haben, welche mit elementaren Techniken nur schwer oder gar nicht erreichbar sind; dazu gehören Dirichlet, Jacobi, Abel und Eisenstein. Während die Zahlentheorie bis Fermat nur wenige Kenntnisse der Mathematik verlangt, benötigt man für das Verständnis des Eulerschen Werks bereits Vertrautheit mit der Oberstufenanalysis, danach punktuell auch deutlich mehr.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Die Zahlentheorie in Antike und Mittelalter

Frontmatter

Kapitel 1. Babylonische Quellen der Zahlentheorie

Zusammenfassung

Von Zahlentheorie als einer mathematischen Disziplin kann vor Euklid nicht die Rede sein. Wenn wir hier von Quellen der Zahlentheorie reden, dann stellen wir einige Beispiele mathematischer Erkenntnisse der Babylonier in einen Zusammenhang, den wir konstruiert haben.

Franz Lemmermeyer

Kapitel 2. Von Nannas Herden zu Helios' Rindern

Zusammenfassung

Was im Mittelmeerraum (Italien, Griechenland, Kleinasien und Nordafrika) zwischen dem Ende des trojanischen Kriegs um 1200 v. Chr. und der Gründung von Rom oder den griechischen Kolonien geschehen ist, entzieht sich noch immer weitgehend unserer Kenntnis. Erst ab etwa 800 v. Chr. tauchen mit Homer, später mit Thales und Pythagoras, die Namen auf, die wir mit dem Erblühen der griechischen Kultur in Verbindung bringen. Wir wollen uns hier die Frage stellen, ob es Zufall ist, dass die Wiege der griechischen Kultur in Kleinasien (und nicht in Athen) gestanden hat, und werden dabei auf die zahlentheoretischen Leistungen insbesondere der Ägypter, Inder und Chinesen im letzten vorchristlichen Jahrtausend eingehen.

Franz Lemmermeyer

Kapitel 3. Die Zahlentheorie der Griechen

Zusammenfassung

Gegen Ende des zweiten Jahrtausends v. Chr. begannen die Griechen, an vielen Orten vor allem an der Nord- und der Ostküste des Mittelmeers Handelsniederlassungen und Siedlungen zu gründen. Zu diesen Städten gehören Marseille ebenso wie Neapel (Neapolis bedeutet Neustadt), Städte in Süditalien und vor allem in Kleinasien.

Franz Lemmermeyer

Kapitel 4. Die Zahlentheorie im antiken Orient

Zusammenfassung

Während der Zeit zwischen dem allmählichen Niedergang der griechischen Kultur nach der Einverleibung Griechenlands in das römische Reich und ihrer Renaissance in Europa am Ende des Mittelalters fand der wissenschaftliche Fortschritt fast ausschließlich in der islamischen Welt (die sich in den Zeiten ihrer größten Ausdehnung von Spanien bis nach Indien erstreckte) und in Asien (Indien und China) statt.

Franz Lemmermeyer

Die Klassische Zahlentheorie

Frontmatter

Kapitel 5. Die Auferstehung Diophants

Zusammenfassung

Die Mathematik hatte nach dem Niedergang der griechischen Kultur auf europäischen Boden einen schweren Stand. Neben dem Desinteresse der Römer an höherer Mathematik ist der fast vollständige Zusammenbruch des römischen Bildungssystems ein wichtiger Grund für den Verfall der Wissenschaften.

Franz Lemmermeyer

Kapitel 6. Fermat

Zusammenfassung

Obwohl Fermat auch auf anderen Gebieten der Mathematik Herausragendes geleistet hat, ist sein Name doch untrennbar mit der Zahlentheorie verbunden. Ebenso untrennbar mit Fermats Namen verbunden sind diejenigen seiner Korrespondenzpartner, etwa Mersenne und Frénicle, da wir fast alles, was wir über Fermats zahlentheoretische Leistungen wissen, aus seinen Briefen erfahren haben.

Franz Lemmermeyer

Kapitel 7. Euler und Lambert

Zusammenfassung

Die Mathematik zu Beginn des 18. Jahrhunderts wurde mathematisch von der Schweiz dominiert: Die Gelehrtenfamilie der Bernoullis, welche ebenso wie Euler aus Basel stammte, sowie später Lambert aus Mülhausen, drückten der Mathematik ihren Stempel auf.

Franz Lemmermeyer

Kapitel 8. Lagrange und Legendre

Zusammenfassung

Wurde die Mathematik zu Beginn des 18. Jahrhunderts vor allem durch Schweizer Mathematiker geprägt, entwickelte sich in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts Frankreich zur mathematischen Großmacht. Selbst wenn man den gebürtigen Italiener Lagrange (seine Vorfahren väterlicherseits kamen allerdings aus Frankreich) nicht dazurechnet, sprechen die Namen Clairaut, d'Alembert, Monge, Laplace, Legendre und Fourier für sich. In der Zahlentheorie sind es vor allem Lagrange und Legendre, die Herausragendes geleistet haben.

Franz Lemmermeyer

Kapitel 9. Gauß

Zusammenfassung

Carl-Friedrich Gauß ist zweifellos der größte Mathematiker, den Deutschland hervorgebracht hat. Obwohl er kaum direkte Schüler hatte, prägte er eine ganze Generation deutscher Zahlentheoretiker mit seinem Jahrhundertwerk Disquisitiones Arithmeticae. Schüler kennen seinen Namen vor allem durch das „Gaüsche Eliminationsverfahren“, das bereits die Chinesen entwickelt haben und das ab dem Ende des 19.

Franz Lemmermeyer

Der Beginn der Modernen Zahlentheorie

Frontmatter

Kapitel 10. Dirichlet

Zusammenfassung

Gauß hat der nachfolgenden Generation mit der Komposition quadratischer Formen, der Kreisteilung, der Bemerkung über die analoge Teilung der Lemniskate und mit dem biquadratischen Reziprozitätsgesetz den Weg in das gelobte Land gezeigt. Alle diese Fragen haben die Entwicklung der Zahlentheorie im 19. (und sogar noch im 20.) Jahrhundert außerordentlich befruchtet.

Franz Lemmermeyer

Kapitel 11. Abel, Jacobi und Cauchy

Zusammenfassung

Die Namen Abel und Jacobi sind aus der Geschichte der elliptischen Funktionen nicht wegzudenken: In einem dramatischen Wettlauf haben diese beiden Mathematiker die Grundlagen der doppelt-periodischen Funktionen geschaffen und auf zahlentheoretische Probleme angewandt. Jacobis Arbeiten stehen dabei der Zahlentheorie des 19. Jahrhunderts näher als die Abels: Deren Auswirkungen auf zahlentheoretische Fragen, vor allem in der arithmetischen Geometrie, wurden erst viel später erkannt – insbesondere Kronecker hat damit begonnen, Abels Einsichten in das Wesen der komplexen Multiplikation und ihrer Zusammenhänge mit der Zahlentheorie auszuarbeiten.

Franz Lemmermeyer

Kapitel 12. Eisenstein

Zusammenfassung

Ferdindand Gotthold Maximilian Eisenstein gehört zusammen mit Galois, Abel und Riemann zu den ganz großen Mathematikern des 19. Jahrhunderts, die schon sehr jung starben (zu diesen kann man auch Alfred Clebsch, William Clifford und Jegor Zolotarev zählen). Während die Arbeiten von Galois zu Beginn unverstanden blieben, sich aber bald nach seinem Tod relativ zügig verbreiteten, war es bei Eisenstein umgekehrt.

Franz Lemmermeyer

Backmatter

Titel: 4000 Jahre Zahlentheorie
verfasst von: Franz Lemmermeyer
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-68110-7
Print ISBN: 978-3-662-68109-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-68110-7