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Über dieses Buch

Dieses Buch bietet bunt gemischte Beiträge aus Algebra und Logik, Analysis, Geometrie, Zahlentheorie, Stochastik und vielem mehr. Die Artikel sind voneinander unabhängig und können in beliebiger Reihenfolge gelesen werden.
Das Buch wendet sich an alle, die sich gerne von unterhaltsamen Kuriositäten und oft unorthodoxen Anwendungen der Mathematik überraschen lassen wollen, insbesondere auch an interessierte SchülerInnen und LehrerInnen.

Die einzelnen Beiträge sind sogenannte ,,Mathe-Briefe'', die zwischen 2010 und 2020 von mehr als einem Dutzend österreichischer MathematikerInnen verfasst wurden. Die einzelnen Briefe umfassen meist wenige Seiten und entstanden auf Initiative und unter Betreuung von em. Prof. Gilbert Helmberg (Universität Innsbruck, 1928–2019); sie wurden auf der Webseite der Österreichischen Mathematischen Gesellschaft (ÖMG) veröffentlicht.

Der Herausgeber:

Georg Glaeser hat die Briefe in Buchform zusammengefasst und als Editor fungiert. Er ist Professor für Geometrie an der Universität für angewandte Kunst Wien und selbst Autor und Koautor einer Reihe von Büchern über Mathematik, Geometrie, Fotografie und Evolutionsbiologie.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

ALGEBRA UND LOGIK

Frontmatter

Kapitel 1. Adam Ries

1492, in dem Jahr, als Columbus Amerika entdeckte, wurde ADAM RIES, der bedeutendste Rechenmeister im deutschsprachigen Raum, geboren. In einem 1522 geschriebenen Buch, das ungeheure Verbreitung erlangte, erklärte er seinen Zeitgenossen das damals neue System, die unendlich vielen Zahlen mit Hilfe von nur neun Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zusammen mit der eigenartigen Ziffer 0 zu erfassen und mit ihnen zu rechnen. Der Trick beruht einfach darin, dass man die Zahlen in die Einheiten 1, 10, 100, 1000, 10000, . . . aufteilt.

Rudolf Taschner

Kapitel 2. Petrus Apianus und der Dreisatz

PETER BIENEWITZ hieß der 1495 in Leisnig in Sachsen geborene Mann, der sich später PETRUS APIANUS nannte. Apis ist nämlich das lateinische Wort für Honigbiene, und es war in der frühen Neuzeit sehr beliebt, seinen gewöhnlich klingenden deutschen Namen viel wichtiger und geheimnisvoller tönen zu lassen, indem man ihn ins Lateinische oder gar ins Griechische übersetzte. Im nahegelegenen Röchlitz ging PETRUS APIANUS in die Lateinschule und durfte danach in Leipzig an die Universität.

Rudolf Taschner

Kapitel 3. Olympische Spiele 2017

Nein, nein – keine Sorge, 2017 wurde auch nach der neuen Jahreszuordnung olympischer Spiele nicht in eine gerade Zahl umgewandelt. Im Folgenden ist die Rede von einigen Spiele-Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade, die im Jahr 2017 von Schülerinnen und Schülern bei mathematischen Wettbewerben zu bearbeiten waren, die in Form sogenannter Olympiaden ablaufen. Ich lade Sie ein, sich zuerst ein wenig an den vier Aufgaben zu versuchen und gegebenenfalls einen kurzen Blick auf die Lösungen zu werfen.

Walther Janous

Kapitel 4. Cardano und die algebraische Gleichung dritten Grades

Eine gute alte Bekannte ist die quadratische Gleichung.

Gilbert Helmberg

Kapitel 5. Kubische Gleichungen – eine Nachlese

Im vorangegangenen Abschnitt wurde die auf CARDANO und TARTAGLIA zurückgehende Lösung der kubischen Gleichung betrachtet. Dazu wird die kubische Gleichung auf die Form.

Gilbert Helmberg

Kapitel 6. Schneller rechnen!

Es ist ein seltsames Phänomen in der Mathematik, dass man manchmal Aufgaben einfacher oder schneller lösen kann, wenn man sie vorher komplizierter macht. Wir sehen uns zwei recht überraschende Beispiele dafür an. Eine Warnung vorab: Es handelt sich nicht darum, jemandem mit Rechenschwäche das Zusammenzählen von 19 und 23 zu erleichtern, sondern um die Erklärung von Techniken, die zweckmäßigerweise bei der Arbeit mit großen Zahlen per Computer angewandt werden können.

Günter Pilz

Kapitel 7. How to Share a Secret

Stellen Sie sich vor, Sie wären in einem großen Betrieb für die Sicherheit der geheimsten Herstellungsmethoden (Rezepte, Materialmischungen, . . . ) verantwortlich. Es sollte nicht ein Einziger Zugang zum Tresor mit den „großen Geheimnissen“ haben, sondern es sollten nur mehrere gleichzeitig den Tresor öffnen können. Es soll ja schon vorgekommen sein, dass sich der Herr Generaldirektor persönlich am Tresor bereichert hat.

Günter Pilz

Kapitel 8. Wer fürchtet sich vor der vollständigen Induktion?

Als ich als Mathematik-Student zum ersten Mal einen Beweis „mit vollständiger Induktion“ vorgeführt bekam, hatte ich den Eindruck, hier geschehe etwas Geheimnisvolles aus den lichten Höhen unzugänglicher Mathematik. Erst mit der Zeit habe ich begriffen, dass nur ein paar sehr einfache und durchaus verständliche Überlegungen angestellt werden, um sicherzustellen, dass eine angeblich für jede natürliche Zahl n geltende Behauptung tatsächlich zutrifft.

Gilbert Helmberg

Kapitel 9. Verblüffende Mathematik

Mit solchen und ähnlichen Tricks lassen sich vielleicht Volksschüler beeindrucken, aber jeder, der mit Unbekannten zu rechnen versteht, wird wissen, dass dahinter nur elementare Umformungen von Gleichungen stecken.

Leonhard Summerer

Kapitel 10. 7 = 5

Was für ein Unsinn, werden Sie sagen, und damit haben Sie natürlich Recht. Trotzdem möchte ich Ihnen eine kleine Geschichte erzählen, in der diese ‚Gleichung‘ vorkommt. Die Geschichte ist zwar nicht sehr seriös, aber das darf auch einmal (so hoffe ich) der Fall sein.

Gilbert Helmberg

Kapitel 11. 99 = 100?

Im vorangegangenen Abschnitt wurde im Mathebrief ein Beweis der arithmetischen Merkwürdigkeit 5 = 7 diskutiert. Erwartungsgemäß stellte sich heraus, dass der Beweis einen Fehler enthielt. Es wurde in einem Beweisschritt durch Null geteilt.

Manuel Kauers

Kapitel 12. Von Polynomen und solchen, die’s gern wären

Polynome gehören zu den einfachsten Funktionen und dennoch verblüffen sie uns mit so manch erstaunlichen Eigenschaften. Heute wollen wir Polynome in zwei Variablen über einem Körper K genauer unter die Lupe nehmen und der (erstmals in [1] beantworteten) Frage nachgehen, ob jede Funktion f : K2 → K, (x, y) ↦ f (x, y), die bei festem x ein Polynom in y und bei festem y eine Polynom in x ist, notwendig eine Polynomfunktion in den zwei Variablen x und y sein muss. Erstaunlicherweise hängt die Antwort auf diese Frage wesentlich davon ab, welchen Körper K man zugrunde legt und wir wollen stellvertretend für endliche, resp. abzählbar unendliche, resp. überabzählbar unendliche Körper die Fälle K = p, resp. K = ℚ, resp. K = ℝ untersuchen.

Leonhard Summerer

Kapitel 13. Wie kommt man auf Quaternionen?

Wenn man im Unterricht den Körper der komplexen Zahlen ℂ als Menge der Paare (a, b) = a + bi (mit reellen Zahlen a, b) einführt, könnte doch jemand fragen, ob es denn so weitergehen könnte, also ob es einen Körper gibt, der aus Tripeln (a, b, c) = a + bi + cj (mit reellen Zahlen a, b, c) besteht! Die Antwort ist: Leider nein!

Fritz Schweiger

ANALYSIS

Frontmatter

Kapitel 14. Das Problem der Dido

Von der legendären phönizischen Prinzessin Dido, die auf der Flucht vor ihrem machtgierigen Bruder Pygmalion, gemeinsam mit einem ganzen Hofstaat von Bediensteten und Beratern als Flüchtlingen, an der Küste des heutigen Tunesiens landete, wird berichtet, dass sie den dort regierenden Stammesführer Jarbas um Land bat. Dieser versprach ihr, dass sie soviel Land bekäme, wie sie mit einer Kuhhaut umspannen könne. Dido ging auf den Handel ein, schnitt aber daraufhin die Kuhhaut in hauchdünne Streifen, knüpfte diese aneinander und erhielt so ein langes Band, das sie als Umfang ihres Landes ausspannen wollte.

Rudolf Taschner

Kapitel 15. Volumina, Oberflächen und Schwerpunkte nach Archimedes

Im Folgenden überlegen wir uns, wie man das Volumen der Kugel elementargeometrisch ableiten und daraus z.B. die Oberfläche oder den Schwerpunkt einer Halbkugel bestimmen kann.

Georg Glaeser

Kapitel 16. Kurvenkrümmung

Aufgabenstellung: Was ist mit „Krümmung“ einer ebenen Kurve gemeint und wie kann sie mathematisch erfasst werden?

Gilbert Helmberg

Kapitel 17. Proportionen – ein Werkzeug zum Verständnis vieler mathematischer Fragen

Zwei Größen seien in Beziehung zueinander. Oft stellt sich die Frage: Was passiert mit der zweiten Größe, wenn man die erste verdoppelt, verdreifacht oder allgemeiner ver-k-facht. In einfachen Spezialfällen spricht man von direkter oder indirekter Proportionalität, direkt oder indirekt quadratischer Proportionalität, usw.

Georg Glaeser

Kapitel 18. Das Newtonsche Näherungsverfahren

Stellen wir uns vor, eine Funktion f einer reellen Variablen x wäre auf einem Intervall der x-Achse gegeben, wie etwa in Figur 1. Damit meinen wir, dass wir zu jedem Wert von x in diesem Intervall den zugehörigen Funktionswert f (x) kennen oder berechnen oder dem Graphen entnehmen können. Uns interessiert die Nullstelle x0 dieser Funktion, die offenbar zwischen 1 und 2 liegt.

Gilbert Helmberg

Kapitel 19. Die Koch-Kurve

Unser Ziel ist die Konstruktion einer bemerkenswerten Kurve in der Ebene: Sie hat den Anfangspunkt A = (0, 0), den Endpunkt B = (1, 0), hat im Dreieck mit den Eckpunkten $$ A,B,C{ = }\left( {\frac{1}{2},\frac{\sqrt 3 }{6}} \right) $$ Platz, ist aber unendlich lang, nirgends differenzierbar und in einem bestimmten Sinn (der durch ihre Dimension grösser als 1 und kleiner als 2 ausgedrückt wird) „dicker als eine Linie“ aber „dünner als ein Flächenstück“.

Gilbert Helmberg

Kapitel 20. Ein Mathematiker im Hotel

„ . . . und eine Flasche Wein aufs Zimmer!“ stand im diesjährigen Angebotsbrief unseres Schi-Hotels. Nun hatten wir zwar etliche FlaschenWein in unserem Keller, aber eine solche aufs Zimmer war etwas Besonderes. Außerdem hatte es uns die letzten zwei Jahre dort im Zimmer 26 gut gefallen, also fixierten wir die Bestellung.

Gilbert Helmberg

Kapitel 21. Logarithmisch rechnen – auch heute noch!

Wenn man logarithmisch rechnet, so kann man die so genannten Schutzstellen eines Taschenrechners ausnutzen, um die ersten Ziffern von auch sehr großen Zahlen herauszufinden, z.B. jene der größten bis heute bekannten Primzahl. Es ist doch eigentlich sehr erstaunlich, dass man mit einem normalen Taschenrechner bei einer Potenz, die ca. 13 Millionen Dezimalstellen hat, noch die ersten 7 Stellen ausrechnen kann! Wie dies geht, soll in der folgenden kurzen Note dargestellt werden.

Gilbert Helmberg

Kapitel 22. Fibonacci und näherungsweise exponentielles Wachstum

Der erste europäische Mathematiker war Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt (ca. 1170 – 1240), dessen Name heute hauptsächlich wegen der von ihm untersuchten Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . bekannt ist. Die Folge kann rekursiv definiert werden mit F(0) = F(1) = 1, F(i + 1) = F(i) + F(i − 1). Die nächste Zahl der Folge ist also die Summe der beiden vorangegangenen Zahlen.

Georg Glaeser

Kapitel 23. Ein hübscher Algorithmus und ein leichter Beweis eines verblüffenden Satzes

Man nennt zwei Mengen A und B gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung Ψ : A → B gibt. Man kann auch sagen, dass in diesem Fall A und B gleich viele Punkte haben. Hier soll ein einfacher Beweis gegeben werden, dass das Intervall {x : 0 < x ≤ 1} und das Quadrat {(ξ, η) : 0 < ξ ≤ 1, 0 < η ≤ 1} gleich viele Punkte haben.

Fritz Schweiger

Kapitel 24. Ein bewährter Weg zur Lösung einfacher Differentialgleichungen

In der Oberstufe verschiedener Schulen, vor allem im technischen Bereich, werden zu Recht Differentialgleichungen untersucht. Eine bewährte Methode ist es, ohne viele theoretische Betrachtungen formal zu arbeiten. Was heißt formal? Man verwendet Techniken, mit denen man darauf los rechnet, aber Fragen der Existenz oder Konvergenz einmal vergisst!

Fritz Schweiger

Kapitel 25. Was ist eine Funktion?

Von Mathematikern wird im Allgemeinen angenommen, dass sie sich immer hundertprozentig präzise ausdrücken. Umso größer kann die Verwirrung sein, die wir stiften, wenn wir diesem Anspruch einmal nicht ganz gerecht werden.

Manuel Kauers

Kapitel 26. Geschickt gewählt ist halb gewonnen

Sei A > 1 gegeben, so findet man eine Näherung von $$ \sqrt A $$ durch ein Verfahren, welches als Babylonisches Wurzelziehen bekannt ist.

Fritz Schweiger

Kapitel 27. Approximation von Quadratwurzeln

Vor der Erfindung elektronischer Rechner hat man viel Mühe verwendet oder verschwendet, Algorithmen zur Approximation von Quadratwurzeln zu finden. Ein bemerkenswertes Resultat ist mit G. STRATEMEYER verbunden. Man wähle eine ganze Zahl t0 ≥ 2 und berechne mittels der Rekursionsformel.

Fritz Schweiger

Kapitel 28. Die durch n Punkte in der Ebene bestimmten Abstände

Wenn Ihnen das nächste Mal auf dem Heimweg vom Einkaufen das Netz mit den Orangen aufplatzt und sich die Früchte nach kurzem Herumkollern am Boden verteilt haben, fangen Sie nicht gleich an zu fluchen, sondern aktivieren Sie Ihre mathematische Neugier! Sehen Sie die nunmehr auf dem Boden verteilten Orangen als n (auch wenn man diese Anzahl nicht zu kaufen bekommt) Punkte in der Ebene an: Welche Fragen würden Sie als MathematikerIn stellen?

Leonhard Summerer

GEOMETRIE

Frontmatter

Kapitel 29. Von Pythagoras zu Ptolemäus

Ziel dieses kurzen Ausfluges durch die Geometrie ist ein bemerkenswerter kreisgeometrischer Satz des ägyptischen Naturforschers CLAUDIUS PTOLEMÄUS (85–165), der sich besonders mit der Bewegung der Planeten und des Mondes beschäftigte. Das ptolemäische Weltsystem sieht die Erde im Mittelpunkt des Planetensystems. Es wurde vom kopernikanischen Weltsystem des deutschen Mathematikers und Astronomen NIKOLAUS KOPERNIKUS (NIKLAS KOPPERNIGK jun., 1473–1543) abgelöst, in dem die Sonne im Mittelpunkt des Planetensystems steht.

Gilbert Helmberg

Kapitel 30. Das Pentagramm und der Goldene Schnitt

Der goldene Schnitt spielt sowohl in der Natur als auch seit alten Zeiten als ästhetisches Prinzip in der Kunst und der Architektur eine bedeutsame Rolle: Eine Strecke AB wird von einem Punkt C nach dem Goldenen Schnitt geteilt, wenn die kürzere Strecke CB sich zur längeren Strecke AC so verhält wie diese Strecke AC zur ganzen Strecke AB, also zur Summe von AC und CB.

Gilbert Helmberg

Kapitel 31. Parkettierungen der Ebene

Bekannt sind die regulären platonischen Parkettierungen der Ebene mit regelmäßigen Dreiecken, Vierecken und Sechsecken.

Gerhard Kirchner

Kapitel 32. Vektorrechnung: Zwei anwendungsbezogene räumliche Aufgaben

Aufgabenstellung: Wie kann man geschickt die Winkel der Höhen im Tetraeder bestimmen bzw. den „sphärischen Pythagoras“ ableiten?

Georg Glaeser

Kapitel 33. Magie der Spiegelungen

Wenn wir uns im Spiegel betrachten, wo ist dann links und rechts? Eine Schrift sehen wir jedenfalls spiegelverkehrt. Was passiert, wenn wir in eine Kombination aus zwei Spiegeln blicken? Ist das Bild immer „kaleidoskopartig“ und damit wenig aussagekräftig? Ausgehend von Spiegelungen an zwei parallelen bzw. einander rechtwinklig schneidenden Ebenen, soll hier die faszinierende und technisch vielfach anwendbare Spiegelung im Quader untersucht werden.

Georg Glaeser

Kapitel 34. Reguläre und halbreguläre Polyeder

Auf S. 109ff wurden Parkettierungen der Ebene betrachtet. Dieser Mathebrief ist eine Fortsetzung dazu. Daher rufen wir uns zunächst einige der dort behandelten Gleichungen ins Gedächtnis: Für die archimedischen Parkette wurde damals aus der Bedingung, dass in jedem Eckpunkt die Winkelsumme der zusammentreffenden Winkel zusammen 360 Grad ergibt, die Gleichung.

Gerhard Kirchner, Gilbert Helmberg

Kapitel 35. Mathematik als Spiel – Auf der Suche nach Kurven

Altehrwürdig sind die Definitionen für Ellipse und Hyperbel: Gegeben seien zwei Punkte F1 und F2 (Brennpunkte genannt).

Fritz Schweiger

Kapitel 36. Das Autokino-Problem

In welcher Entfernung von der vertikalen Leinwand befindet sich ein Autokino-Besucher, der die vertikale Ausdehnung der Leinwand unter dem maximalen Winkel betrachtet?

Gilbert Helmberg

Kapitel 37. Verzerrungen, wohin beide Augen blicken – Stereoskopie

Wenn wir einäugig auf einen vermeintlichen (im Bild gelben) Quader (Punkte P, . . . ) blicken, könnte unser Quader unter Umständen ein (im Bild rotes) Polyeder sein, das in gewisser Weise mit dem Quader verwandt ist (Fig. 1): So sollten auch die Eckpunkte P*, . . . des „Ersatzquaders“ ebene Polygone bilden, weil wir nicht-ebene Oberflächen wegen der unterschiedlichen Schattierungseffekte relativ leicht ausmachen können.

Georg Glaeser

Kapitel 38. Erdvermessungund Winkelsummenauf der Kugel

Die Vermessung der Erde musste lange Zeit durch präzises und mühevolles Vermessen von Dreiecken erfolgen, wobei die Größe solcher Dreiecke von einigen Metern bis zu mehr als 100 Kilometern reichen kann. Die Vermessung der Welt ist eng mit dem Fortschritt der Geometrie und der Mathematik verknüpft: Bereits im alten Ägypten, wo durch die jährlichen Überschwemmungen des Nils regelmäßig Neuvermessungen stattfinden mussten, war beispielweise bekannt, dass ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 rechtwinkelig ist.

Johannes Wallner

Kapitel 39. Das Hexagrammum Mysticum von Pascal

BLAISE PASCAL (1623-1662) entdeckte sein hexagrammum mysticum im Alter von 16 Jahren: Wenn ein Sechseck einem Kegelschnitt eingeschrieben ist, dann liegen die Schnittpunkte der drei Paare gegenüberliegender Seiten auf einer Geraden.

Gilbert Helmberg

Kapitel 40. Ein geometrisches Optimierungsproblem

Die Transportlogistik spielt in der heutigen Zeit eine immer größere Rolle, sodass es sicherlich die Mühe wert ist, das eine oder andere damit zusammenhängende Problem aus mathematischem Blickwinkel zu analysieren.

Leonhard Summerer

Kapitel 41. Geometrisch klar, aber etwas schwieriger zu rechnen

Unsere Landkarten vermitteln den Eindruck, dass zwischen zwei Orten gleicher geographischer Breite der Breitenkreis die kürzeste Verbindung sei. Wer von Österreich in die USA fliegt, wird aber bemerken, dass der Flug weit in den Norden führt. Man wird darauf hinweisen, dass auf der Kugel die kürzeste Verbindung stets entlang eines Großkreises verläuft. Die geodätischen Linien, so haben wir es gehört oder gelernt, sind eben Großkreise.

Fritz Schweiger

ZAHLENTHEORIE

Frontmatter

Kapitel 42. Ägyptische Brüche

Ägypten, das vom Nil durchzogene Gebiet im Nordosten der Sahara, war neben Mesopotamien jenes Land, in dem eine der ersten Hochkulturen der Menschheit entstand. Vor mehr als 5000 Jahren entdeckten die Ägypter die Schrift. Ihre Schriftzeichen heißen Hieroglyphen, ein griechisches Wort, das heilige, in Stein geritzte Zeichen bedeutet. Mit ihnen verkündeten die Schreiber nicht nur die Wohltaten des Herrschers, genannt Pharao, das heißt wörtlich: hohes Haus, sondern auch alltägliche Dinge: welche Ereignisse sich in den Städten und auf dem Lande abspielten, vor allem: wie viel Korn von den Bauern in die reichen Kornkammern des Pharao gespeichert wurden.

Rudolf Taschner

Kapitel 43. Pythagoreische Zahlentripel

Wir suchen alle sogenannten pythagoreischen Tripel natürlicher Zahlen (a;b;c) mit der Eigenschaft.

Gilbert Helmberg

Kapitel 44. Wie findet man ägyptische Brüche?

Im alten Ägypten verwendete man (von $$ \frac{2}{3} $$ abgesehen) nur Stammbrüche, also Brüche der Form.

Fritz Schweiger

Kapitel 45. Addiere unendlich viele Zahlen!

Ein Dezimalbruch (Zehnerbruch) ist ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz 10k mit k ∈ℕ ist.

Anita Dorfmayr

Kapitel 46. Eine etwas andere Zahldarstellung

Die ganze Zahl g ≥ 2 sei gegeben, und [α] beschreibe die nächstkleinere ganze Zahl zu a. Wir betrachten die Abbildung.

Fritz Schweiger

Kapitel 47. Ein bisschen Zahlenmagie

Zahlen haben stets eine Faszination auf die Menschen ausgeübt. Bei vielen Sachverhalten sagen wir: „Das kann kein Zufall sein.“ In den Werken J.S.BACHs spielt die Zahl 14 eine wichtige Rolle. Damals war es weit verbreitet, den Buchstaben des Alphabets Zahlen zuzuordnen (A→1;B→2; ).

Georg Glaeser

Kapitel 48. Im Dickicht der Gitterpunkte

Es ist immer wieder erstaunlich, dass auch sehr abstrakte Teilgebiete der Mathematik mitunter anhand von sehr anschaulichen Problemen illustriert werden können. Ein Beispiel dazu, betreffend diophantische Approximation, möchte ich als Anregung zur näheren Untersuchung im Wahlpflichtfach oder im Rahmen einer Fachbereichsarbeit vorstellen.

Leonhard Summerer

Kapitel 49. Das schriftliche Wurzelziehen

Wie kann mithilfe der vier Grundrechnungsarten die Quadratwurzel aus einer gegebenen reellen Zahl A gezogen werden? In diesem Artikel soll neben dem Heronverfahren das schriftliche Wurzelziehen so dargestellt werden, dass der Rechenalgorithmus nicht nur operativ nachvollziehbar, sondern auch inhaltlich verständlich wird.

Bernhard Krön

Kapitel 50. Vernünftige Kreispunkte

Ganze Zahlen braucht man zum Zählen, Brüche zum Teilen: Wenn fünf Kinder von ihrem Taschengeld ein Kuchenstück kaufen wollen, das 2 Euro kostet, dann trifft es auf jedes Kind $$ \frac{2}{5} $$ Euro, oder 0,40 Cent. Wenn es nur drei Kinder sind, dann bekommt jedes Kind mehr, aber es muss auch mehr bezahlen, genau genommen $$ \frac{2}{3} $$ Euro. Allerdings führt das auf eine Schwierigkeit: Als Dezimalbruch geschrieben, wäre $$ \frac{2}{3} = 0,\overline{6} $$ (d.h. sechs periodisch), und $$ 0,\overline{6} $$ Euro gibt es nicht.

Gilbert Helmberg

Kapitel 51. Kann man die rationalen Zahlen nummerieren?

Sprechen wir voraus ab, dass wir es nur mit positiven Zahlen zu tun haben. Es brächte nichts Neues, die negativen Zahlen dazuzunehmen.

Gilbert Helmberg

Kapitel 52. Divergente Reihen

Ein guter Teil der Mathematik besteht aus dem (gelegentlich mühsamen) Nachweis der Konvergenz von Reihen, die sich dem Mathematiker herausfordernd entgegenstellen. Wieviel einfacher wäre es doch, wenn man sich über ihre Konvergenz keine Gedanken machen müsste!

Gilbert Helmberg

Kapitel 53. Die Sylvesterschen Reihen

Im Jahr 1880 hat JAMES J. SYLVESTER einen Algorithmus vorgeschlagen, der es gestattet eine rationale Zahl χ = a/b, 0 < a < b < 1 als endliche Summe von Stammbrüchen zu schreiben.

Fritz Schweiger

Kapitel 54. Die Eulersche Zahl

Keine Sorge, wir werden uns im Weiteren nicht mit dem Auftreten der Zahl e bei und in den Lösungen von Differentialgleichungen der Art $$ y^{\prime} = Cy $$ , $$ y^{\prime\prime} = ay^{\prime}{ + }by $$ oder dergleichen mehr beschäftigen, sondern uns auf einen kleinen und hoffentlich nicht allzu beschwerlichen Rundgang durch die Vielzahl algebraischer Eigenschaften der Eulerschen Zahl begeben.

Walther Janous

Kapitel 55. Die pythagoräische Konstante

Woher der mitunter verwendete Name der Protagonistin des aktuellen Mathe-Briefs, nämlich der Zahl.

Walther Janous

Kapitel 56. Die Bibel, Archimedes, und Ludolf van Ceulen zu π

Die Vermessung des Kreises war seit ältester Zeit eine der größten Herausforderungen der Mathematik in den frühen Hochkulturen und in der Antike. Ägyptische Vermessungsbeamte fanden, wie der Papyrus Rhind berichtet, dass das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser des Kreises 44 : 34 beträgt, was auf den Zahlenwert $$ \frac{256}{81} \approx 3,16 $$ hinausläuft. Die babylonischen Gelehrten schlugen $$ 3{ + }\frac{1}{8} = 3,125 $$ als Wert dieses Verhältnisses vor.

Rudolf Taschner

STOCHASTIK

Frontmatter

Kapitel 57. Damals entstand die Wahrscheinlichkeitstheorie

Was, würden Sie vermuten, kommt öfter vor: mindestens eine Sechs, wenn man mit einem Würfel viermal wirft, oder mindestens eine Doppelsechs, wenn man mit zwei Würfeln vierundzwanzigmal wirft? Eine absurde Frage, meinen Sie?

Gilbert Helmberg

Kapitel 58. Spieltheorie

Die Spieltheorie beschäftigt sich mit Entscheidungssituationen, mit strategischen Konflikten, in denen mindestens zwei Parteien (Spieler) interagieren. Sie kann optimales Verhalten und strukturelle Ähnlichkeiten aufzeigen. Die grundlegende Idee besteht darin, die Situation als strategisches Spiel zu modellieren.

Anita Dorfmayr

Kapitel 59. Das Smarties-Spiel

In weiser Voraussicht für den Regentag hat Opa Smarties besorgt, drei Kaffeetassen bereit gestellt und Anna und Bernhard ein Spiel vorgeschlagen.

Gilbert Helmberg

Kapitel 60. Ein weiteres Smarties–Spiel

Wieder einmal ist ein Regentag, und Opa hat für Anna, Bernhard, Christoph und Dora Smarties vorbereitet. Diesmal erklärt er ihnen folgendes Spiel: „Ihr bekommt jeweils einen Haufen von 7 Smarties, ein Blatt Papier und einen Bleistift. Ihr sollt die Smarties schrittweise in kleinere Haufen aufteilen, wobei immer ein Haufen in zwei Teile geteilt wird.

Gerhard Kirchner

Kapitel 61. Das widerspricht doch der Intuition

Kann es sein, dass ein Mann immer bessere Argumente hat, aber seine Frau/Freundin am Ende des Tages doch gewinnt? Ja! Sehen wir uns folgende Situation an. Einige Frauen und Männer kommen zur Fahrprüfung. Hier sind die Ergebnisse von 2 Tagen.

Günter Pilz

OLYMPISCHES

Frontmatter

Kapitel 62. Die Österreichische Mathematik-Olympiade

Zur Vorbereitung auf die Wettbewerbe der Mathematik-Olympiade werden Unverbindliche bungen an den Schulen abgehalten. Falls Sie Interesse an der Einrichtung eines Kurses an Ihrer Schule haben, möchten wir Sie auf die alljährlich in Mariazell stattfindenden Seminare für Kursleiter/innen hinweisen.

Walther Janous, Gerhard Kirchner

Kapitel 63. Die Mitteleuropäische Mathematikolympiade

Die Mitteleuropäische Mathematikolympiade (MEMO) hat im Sommer 2016 zum 10. Mal stattgefunden. Sie ist ein Schülerwettbewerb, wurde (wie die erste MEMO) von Österreich veranstaltet und fand vom 22. bis 28. August in Vöcklabruck statt. Wettbewerbe dieser Art wären ohne eine gezielte Vorbereitung und das oft unbedankte Engagement vieler Lehrerinnen und Lehrer sicher nicht möglich.

Walther Janous

Kapitel 64. Die Internationale Mathematik-Olympiade

Die Internationale Mathematik-Olympiade (IMO) findet seit 1959 jährlich (mit einer Ausnahme) statt. Jedes Land entsendet jetzt sechs Teilnehmer/innen. DerWettbewerb findet an zwei aufeinanderfolgenden Vormittagen statt, an denen jeweils drei Aufgaben in 4,5 Stunden zu lösen sind.

Gilbert Helmberg, Walther Janous, Gerhard Kirchner

Kapitel 65. Acht Jahre Summer School Mathematik

Seit dem Jahr 2006 bieten die Universitäten Wien und Innsbruck gemeinsam eine Sommerschule für Schülerinnen und Schüler an, die sich in den Ferien gerne mit Mathematik beschäftigen, mit Blick auf ihre Studienwahl in Kontakt mit Universitätslehrerinnen und -lehrern treten möchten und dabei noch gerne eine Ferienwoche mit ebenfalls mathematisch interessierten Gleichaltrigen verbringen wollen. Dabei steht im Unterschied zur Mathematikolympiade nicht das Lösen von schwierigen Mathematikaufgaben im Vordergrund, sondern ein anderer Aspekt der Mathematik, nämlich das Entwickeln, Ausarbeiten und Anwenden von Theorien, die über den Lehrplan der Schulmathematik hinausgehen. Kommunikation und Diskussion sind dazu ein wesentlicher Bestandteil und werden durch das gewählte Format bestmöglich gefördert.

Leonhard Summerer

Kapitel 66. Ein Mathematiker unter den fünf Österreichern des Jahres

Die Tageszeitung Die Presse veranstaltete zum Nationalfeiertag am 26. Oktober 2010 zum siebenten Mal einen Gala-Abend, auf dem im Fernsehen fünf österreichische Persönlichkeiten vorgestellt wurden, die von den Lesern in den fünf Kategorieen Humanitäres Engagement, Kulturmanagement, Forschung, Creative Industries und Wirtschaft als Österreicher des Jahres gewählt worden waren. In der Kategorie Forschung war dies der Mathematiker Bruno Buchberger, Professor an der Universität Linz und Leiter des von ihm mit Unterstützung des Landes Oberösterreich errichteten Softwareparkes Hagenberg. Mit nominiert waren in dieser Sparte die Leiterin des Österreichischen Archäologischen Instituts, Sabine Ladstätter, sowie das Forscherehepaar Thomas Rosenau und Antje Potthast (Zellulose-Chemiker an der Boku Wien).

Gilbert Helmberg

Kapitel 67. Olga Taussky-Todd 1906 –1995

OLGA TAUSSKY (1906 –1995) war eine Mathematikerin, deren Karriere bewusst geplant und vorgezeichnet schien. 1906 in Olmütz (Mähren), damals Österreich, heute Tschechien, geboren, konnte sie die für Mädchen eröffneten Bildungschancen ergreifen und aufgrund ihres mathematischen Talents problemlos bis zur Promotion gelangen. Seit der ersten Promotion einer Mathematikerin 1900 in Österreich hatten inzwischen bis 1930 mehr als 30 Frauen eine mathematische Dissertation erfolgreich verteidigen können.

Christa Binder

Kapitel 68. Johann Radon 1887 –1956

JOHANN RADON war ein bedeutender österreichischer Mathematiker, der in Fachkreisen weltweit bekannt ist, und dessen Name in zahlreichen Fachbegriffen weiterlebt, die zum Teil zur mathematischen Allgemeinbildung gehören (Radon-Integral, Radon-Nikodym-Ableitung, Radon-Transformation, etc.).

Christa Binder

Kapitel 69. Hilda Geiringer (verh. Pollaczek, von Mises) 1893 –1973

HILDA GEIRINGER war die erste der in Wien promovierten Mathematikerinnen, die weiterhin in der Forschung tätig war, und sie war 1928 im deutschen Sprachraum erst die zweite Frau nach EMMY NOETHER in Göttingen 1919, die sich habilitieren konnte.

Christa Binder

DIVERSES

Frontmatter

Kapitel 70. Optimale Wege — der Dijkstra-Algorithmus

Eine Aufgabe der Praxis der Routenplanung, Telekommunikation, Internet-Organisation usw., die nach mathematischer Behandlung ruft, ist die folgende: Eine Anzahl von Örtlichkeiten ist durch Wege miteinander verbunden. Eine Benützung jedes dieserWege ist aber mit einem bestimmten Aufwand an Zeit oder Kosten verbunden (wir werden kurz Kosten dazu sagen).Wie muss die Route geplant werden, auf der ich mit dem geringsten Kostenaufwand von meinem Startort zu meinem Zielort gelange?

Gilbert Helmberg

Kapitel 71. Vergiftung durch Medikamente?

Wenn jemand regelmäßig ein Medikament einnimmt, wird dann nicht mit der Zeit die Konzentration im Blut zu hoch und der Patient stirbt? Vom Medikament, das man heute nimmt, ist ja auch noch etwas – wenn auch nicht viel – in den Folgetagen im Körper und bei jeder neuen Einnahme kommt wieder eine volle Dosis dazu. Ob, wann und wie sehr man sich fürchten muss, soll jetzt untersucht werden.

Günter Pilz

Kapitel 72. Mathematik macht Mut

Im Frühling ist die Zeit der Allergien. Wenn Sie betroffen sind, werden Sie nicht mutlos! Mathematik kann Ihnen helfen, Allergene (und sogar Kombinationen davon) herauszufinden. Und die Methode funktioniert auch für viele andere Situationen im Leben. Immer dann, wenn Sie wissen wollen, welche Effekte Zutaten zu einem Endprodukt haben, liefert Ihnen das folgende Verfahren sogar eine Formel dafür. Das ist fast wie eine Lizenz zum Gelddrucken Lassen Sie sich überraschen!

Günter Pilz

Kapitel 73. Ultrascharfe Fotos?

Fotografie übt auf viele Menschen eine Faszination aus – auch auf Mathematiker und insbesondere auf Geometrie-Begeisterte. Im Geometrie-Unterricht sagt man etwas vereinfachend: Fotografien entsprechen Zentralprojektionen (Perspektiven) des Raums. Damit geht eine Reduktion des dreidimensionalen Raums in die zweidimensionale Ebene einher.

Georg Glaeser

Kapitel 74. Technologienutzung am Beispiel von Differenzengleichungen

Der Begriff Rechner zeigt schon, dass sich die Diskussion über Chancen und Gefahren von Technologienutzung im Mathematikunterricht meist auf Veränderungen beim Operieren beschränkt. Moderne Unterrichtssoftware ist aber nicht nur ein reines Rechenwerkzeug. Folgende Funktionen unterstützen und verändern den mathematischen Lernprozess und damit mathematische Kompetenz.

Helmut Heugl

Kapitel 75. GeoGebra

Liebe Kolleginnen und Kollegen, vielleicht haben Sie sich schon gefragt, mit welchem, möglicherweise teuren, Programm die Zeichnungen in den Mathe-Briefen 8, 10 und 12 angefertigt wurden. Hier wäre dann die Antwort: mit GeoGebra, einer kostenlosen Software für Schule, Uni und daheim, die gratis von der Internet-Adresse http://www.geogebra.org/ heruntergeladen werden kann.

Gilbert Helmberg

Kapitel 76. Mathematik nicht ertragen, sondern erleben . . .

. . . , so lautet das Motto von „MATh.en.JEANS“ (auf Deutsch Mathe in Jeans), eines Projekts, das an vielen Lyzeen in Frankreich, aber auch in französischen Schulen außerhalb der Landesgrenzen, den Forschergeist in den Schülern wecken soll, als Ergänzung zum normalen Mathematikunterricht.

Leonhard Summererer

Kapitel 77. Mathematik mit Humor

Die Mathematik muss keineswegs eine unzugängliche, sperrige Wissenschaft sein und darf auch eine emotionale Dimension haben.

Georg glaeser
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