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01.08.2016 | Original Paper | Ausgabe 1/2017

Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing 1/2017

A construction of several classes of two-weight and three-weight linear codes

Zeitschrift:
Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing > Ausgabe 1/2017
Autoren:
Chengju Li, Qin Yue, Fang-Wei Fu

Abstract

Linear codes constructed from defining sets have been extensively studied and may have a few nonzero weights if the defining sets are well chosen. Let \({\mathbb {F}}_q\) be a finite field with \(q=p^m\) elements, where p is a prime and m is a positive integer. Motivated by Ding and Ding’s recent work (IEEE Trans Inf Theory 61(11):5835–5842, 2015), we construct p-ary linear codes \({\mathcal {C}}_D\) by
$$\begin{aligned} {\mathcal {C}}_D=\{{\mathbf {c}}(a,b)=\big (\text {Tr}_m(ax+by)\big )_{(x,y)\in D}: a, b \in {\mathbb {F}}_q\}, \end{aligned}$$
where \(D \subset {\mathbb {F}}_q^2\) and \(\text {Tr}_m\) is the trace function from \({\mathbb {F}}_q\) onto \({\mathbb {F}}_p\). In this paper, we will employ exponential sums to investigate the weight enumerators of the linear codes \({\mathcal {C}}_D\), where \(D=\{(x, y) \in {\mathbb {F}}_q^2 \setminus \{(0,0)\}: \text {Tr}_m(x^{N_1}+y^{N_2})=0\}\) for two positive integers \(N_1\) and \(N_2\). Several classes of two-weight and three-weight linear codes and their explicit weight enumerators are presented if \(N_1, N_2 \in \{1, 2, p^{\frac{m}{2}}+1\}\). By deleting some coordinates, more punctured two-weight and three-weight linear codes \({\mathcal {C}}_{\overline{D}}\) which include some optimal codes are derived from \({\mathcal {C}}_D\).

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