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01.10.2016 | Ausgabe 4/2016 Open Access

Finance and Stochastics 4/2016

A Feynman–Kac-type formula for Lévy processes with discontinuous killing rates

Zeitschrift:
Finance and Stochastics > Ausgabe 4/2016
Autor:
Kathrin Glau

Abstract

The challenge to fruitfully merge state-of-the-art techniques from mathematical finance and numerical analysis has inspired researchers to develop fast deterministic option pricing methods. As a result, highly efficient algorithms to compute option prices in Lévy models by solving partial integro-differential equations have been developed. In order to provide a solid mathematical foundation for these methods, we derive a Feynman–Kac representation of variational solutions to partial integro-differential equations that characterize conditional expectations of functionals of killed time-inhomogeneous Lévy processes. We allow a wide range of underlying stochastic processes, comprising processes with Brownian part as well as a broad class of pure jump processes such as generalized hyperbolic, multivariate normal inverse Gaussian, tempered stable, and \(\alpha\)-semistable Lévy processes. By virtue of our mild regularity assumptions as to the killing rate and the initial condition of the partial integro-differential equation, our results provide a rigorous basis for numerous applications in financial mathematics and in probability theory. We implement a Galerkin scheme to solve the corresponding pricing equation numerically and illustrate the effect of a killing rate.

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