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Erschienen in:
Rigid Body Dynamics and Conformal Geometric Algebra Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

2011 | OriginalPaper | Buchkapitel

16. A Homogeneous Model for Three-Dimensional Computer Graphics Based on the Clifford Algebra for ℝ3

verfasst von : Ron Goldman

Erschienen in: Guide to Geometric Algebra in Practice

Verlag: Springer London

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Abstract

We construct a homogeneous model for Computer Graphics using the Clifford Algebra for ℝ3. To incorporate points as well as vectors within this model, we employ the odd-dimensional elements of this graded eight-dimensional algebra to represent mass-points by exploiting the pseudoscalars to represent mass. The even-dimensional elements of this Clifford Algebra are isomorphic to the quaternions, which operate on the odd-dimensional elements by sandwiching. Along with the standard sandwiching formulas for rotations and reflections, this paradigm allows us to use sandwiching to compute perspective projections.

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Fußnoten
1
Editorial note: The reader may find the geometrical view of Gunn (in Chap. 15, this volume) enlightening: the basis vectors represent normal vectors of coordinate planes, and the point at the origin is then the trivector representing the intersection of those three coordinate planes.
 
2
Editorial note: Since this chapter uses the algebra ℝ3, bivectors from its 3-D space ℝ3 are always also 2-blades, but the author prefers to use the term ‘bivector’. In contrast, he describes the planes in the 4-D representational space consistently as ‘planes’, giving their spanning 4-D vectors but not representing them algebraically.
 
3
Editorial note: Note that this chapter gives a geometric algebra description of a perspective projection onto a plane. For a geometric algebra representation of a general projective transformation in 3-D, the reader is referred to Chap. 13 in this volume, which uses ℝ3,3.
 
Literatur
1.
Doran, C., Lasenby, A.: Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press, Cambridge, UK (2003) MATH
2.
Dorst, L., Fontijne, D., Mann, S.: Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry. Morgan Kaufmann, Amsterdam (2007)
3.
Du Val, P.: Homographies, Quaternions and Rotations. Oxford Mathematical Monographs. Clarendon, Oxford (1964) MATH
4.
Foley, J., van Dam, A., Feiner, S., Hughes, J.: Computer Graphic: Principles and Practice, 2nd edn. Addison Wesley, Reading (1990)
5.
Goldman, R.: On the algebraic and geometric foundations of computer graphics. Trans. Graph. 21, 1–35 (2002) CrossRef
6.
Goldman, R.N.: Understanding quaternions. Graph. Models 73, 21–49 (2011) CrossRef
7.
Goldman, R.N.: Modeling perspective projections in 3-dimensions by rotations in 4-dimensions. Trans. Vis. Comput. Graph. (2010, to appear)
8.
9.
Perwass, C.: Geometric Algebra with Applications in Engineering. Springer, Berlin (2009) MATH
Metadaten
Titel
A Homogeneous Model for Three-Dimensional Computer Graphics Based on the Clifford Algebra for ℝ3
verfasst von
Ron Goldman
Copyright-Jahr
2011
Verlag
Springer London
Buch
Guide to Geometric Algebra in Practice

Print ISBN: 978-0-85729-810-2

Electronic ISBN: 978-0-85729-811-9

Copyright-Jahr: 2011

DOI
https://doi.org/10.1007/978-0-85729-811-9_16