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04.06.2018 | Original Research

A note on the number of vertices of the Archimedean tiling

Zeitschrift:
Journal of Applied Mathematics and Computing
Autoren:
Xianglin Wei, Weiqi Wang
Wichtige Hinweise
This research was supported by National Natural Science Foundation of China (11471095), Natural Science Foundation of Hebei Province (A2014208095).

Abstract

There are 11 Archimedean tilings in $$\mathbb {R}^{2}$$. Let E(n) denote the ellipse of short half axis length n $$(n\in \mathbb {Z}^{+})$$ centered at an arbitrary vertex of the Archimedean tiling by regular polygons of edge length 1, and let $$\mathcal {N}(E(n))$$ denote the number of vertices of the Archimedean tiling that lie inside or on the boundary of E(n). In this paper, we present an algorithm to calculate the number $$\mathcal {N}(E(n))$$, and get a unified formula $$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\frac{\mathcal {N}(E(n))}{n^{2}}=m\cdot \frac{\pi }{S}$$, where S is the area of the central polygon, and m is the ratio of long half axis length and short half axis length of the ellipse. Let $$\mathcal {C}$$ be a cube-tiling by cubes of edge length 1 in $$\mathbb {R}^{3}$$, and the vertex of cube-tiling is called a C-point. Let S(n) denote the sphere of radius $$n(n\in \mathbb {Z}^{+})$$ centered at an arbitrary C-point, and let $$\mathcal {N}_{C}(S(n))$$ denote the number of C-points that lie inside or on the surface of S(n). In this paper, we present an algorithm to calculate the number $$\mathcal {N}_{C}(S(n))$$ and get a formula $$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\frac{\mathcal {N}_{C}(S(n))}{n^{3}}=\frac{4\pi }{3V}$$, where V is the volume of the cube.

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