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Erschienen in:
2013 | OriginalPaper | Buchkapitel
A Probabilistic Inequality Related to Negative Definite Functions
verfasst von : Mikhail Lifshits, René L. Schilling, Ilya Tyurin
Erschienen in: High Dimensional Probability VI
Verlag: Springer Basel
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We prove that for any pair of i.i.d. random vectors
X
,
Y
in
$$\mathbb{R}^n$$
and any real-valued continuous negative definite function
$$\psi\; : \;\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$$
the inequality
$$\mathbb{E}\;\psi\;(X\;-\;Y)\leqslant\mathbb{E}\;\psi\;(X\;+\;Y).$$
holds. In particular, for
$$\alpha\;\in\;(0,2]$$
and the Euclidean norm
$$\|\cdot\|_2$$
one has
$$\mathbb{E}\|(X\;-\;Y)\|^\alpha_2\leqslant\mathbb{E}\|(X\;+\;Y)\|^\alpha_2.$$
The latter inequality is due to A. Buja et al. [4] where it is used for some applications in multivariate statistics. We show a surprising connection with bifractional Brownian motion and provide some related counter-examples.