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23.04.2019 | Foundations | Ausgabe 21/2019

Soft Computing 21/2019

A unified method for completions of posets and closure spaces

Zeitschrift:
Soft Computing > Ausgabe 21/2019
Autoren:
Zhongxi Zhang, Qingguo Li, Nan Zhang
Wichtige Hinweise
Communicated by A. Di Nola.

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Abstract

In this paper, we introduce the notion of a subset system on the category CL\(_{0}\) of all \(T_{0}\) closure spaces. And for each subset system Z, the concept of a Z-convergence space arises as a generalization of sober spaces and monotone convergence spaces. We define a Z-completion of a \(T_{0}\) closure space X to be a Z-convergence space \(X_{Z}\) together with a continuous function from X to \(X_{Z}\) satisfying the universal property. In the case that Z is a hereditary subset system, we prove that: (1) for each \(T_{0}\) closure space X, the set of all Z-tapered closed subsets of X endowed with the corresponding closure system is a Z-completion of X; (2) the category CS\(_{Z}\) of all Z-convergence spaces is reflective in the category CL\(_{0}\). The Dedekind–MacNeille completion, the Alexandroff completion, the Frink ideal completion, the ideal completion, the Z-completion for posets, the D-completion, the sobrification, the directed completion, etc., are special cases of the Z-completion.

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