Ähnlichkeitslösungen

Die Diskussion der Scherströmungen, insbesondere der freien Scherströmung, hat gezeigt, wie die Dimensionsanalyse Ansätze für Ähnlichkeitslösungen liefern kann. Das sind Lösungen, die sich dadurch auszeichnen, daß die (primitiven) unabhängig Veränderlichen, z. B. x und r, sich zu nur einer neuen Veränderlichen η = x/r kombinieren, von der die noch unbekannt gebliebenen Funktionen allein abhängen (siehe z. B. (6.246), (6.247)). Man spricht allgemein von Ähnlichkeitslösungen, wenn sich bei mehreren unabhängig Veränderlichen eine Reduktion der unabhängig Veränderlichen ergibt. Bei nur zwei primitiven, unabhängig Veränderlichen hat diese Reduktion zur Folge, daß das Problem durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden kann. Um diese Reduktion zu erreichen, sind oft Überlegungen notwendig, die über die Dimensionsanalyse hinausgehen und Symmetrie oder, allgemeiner, Invarianzeigenschaften der Differentialgleichungen und der Randbedingungen einbeziehen. Wir betrachten zunächst die reibungsfreien Strömungen und beschränken uns hier auf die Fälle, die sich durch Dimensionsbetrachtungen alleine reduzieren lassen. Bei den später zu besprechenden reibungsbehafteten Strömungen werden dimensionsanalytische Aussagen schon deswegen unschärfer ausfallen müssen, weil als zusätzliche dimensionsbehafte Größe die Viskosität auftritt, so daß dann weitere Erwägungen in Betracht kommen.