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Erschienen in:

2017 | OriginalPaper | Buchkapitel

11. Affine Algebraic Geometry

verfasst von : Alexey L. Gorodentsev

Erschienen in: Algebra II

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

In this chapter we assume by default that \(\mathbb{k}\) is an algebraically closed field.

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See Sect. 5.1.2 of Algebra I.

See Lemma 5.1 of Algebra I.

Compare with Sect. 11.2.4 of Algebra I.

See Problem 5.6 of Algebra I.

See Sect. 5.2.2 of Algebra I.

That is, has no nilpotent elements; see Sect. 2.4.2 of Algebra I.

See Lemma 2.5 of Algebra I.

If \(\mathbb{k}\) is not algebraically closed, then the map φ ↦ kerφ still embeds the set of homomorphisms \(\mathbb{k}[X] \rightarrow \mathbb{k}\) into \(\mathop{\mathrm{Spec}_{\mathrm{m}}}\nolimits A\). However, some maximal ideals \(\mathfrak{m} \subset A\) may not be represented as the kernels of homomorphisms \(A \rightarrow \mathbb{k}\). For example, the kernel of the evaluation \(\mathop{\mathrm{ev}}\nolimits _{i}: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{C}\), f ↦ f(i), where \(i \in \mathbb{C}\), i ² = −1, certainly is a maximal ideal in \(\mathbb{R}[x]\), but it cannot be realized as the kernel of a homomorphism \(\varphi: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}\), because for the latter, \(\mathbb{R}[x]/\ker \varphi = \mathbb{R}\), whereas \(\mathbb{R}[x]/\ker \mathop{\mathrm{ev}}\nolimits _{i} = \mathbb{R}[x]/(x^{2} + 1) \simeq \mathbb{C}\).

See Sect. 2.4.2 of Algebra I.

Recall that an ideal \(\mathfrak{p} \subset A\) is called prime if the quotient ring \(A/\mathfrak{p}\) has no zero divisors; see Sect. 5.2.3 of Algebra I.

In the sense of Example 9.13 on p. 203.

In the sense of Example 9.14 on p. 204.

See Sect. 5.4 of Algebra I.

See Proposition 5.4 of Algebra I.

Compare with Proposition 5.3 of Algebra I.

This is the same notation as in Sect. 4.1 of Algebra I.

Recall that it consists of all fractions f∕g with \(f \in \mathbb{k}[X]\), \(g \in \mathbb{k}[X]^{\circ }\), and f ₁∕g ₁ = f ₂∕g ₂ if and only if f ₁g ₂ = f ₂g ₁. (See Sect. 4.1 of Algebra I and compare it with Problem 9.10 on p. 224.)

See Sect. 4.1.1 of Algebra I.

That is, there exist \(f_{1},f_{2},\ldots,f_{m} \in \mathbb{k}[X]\) such that every \(h \in \mathbb{k}[X]\) can be written as h = ∑ φ ^∗(g _i) f _i for appropriate \(g_{i} \in \mathbb{k}[Y ]\).

Here (E − M)^∨ means the adjunct matrix of (E − M); see Sect. 9.6.1 of Algebra I and the proof of Lemma 10.1 on p. 227.

Recall that in the second statement, we assume \(\mathbb{k}[X]\) to be an integral domain.

That is, φ(U) is open in Y for every open U ⊂ X.

Whose closed sets are \(V (I) =\{ \mathfrak{m} \in \mathop{\mathrm{Spec}_{\mathrm{m}}}\nolimits C^{0}(X)\mid I \subset \mathfrak{m}\}\) for all ideals I ⊂ C ⁰(X).

[DK]

Danilov, V.I., Koshevoy, G.A.: Arrays and the Combinatorics of Young Tableaux, Russian Math. Surveys 60:2 (2005), 269–334.MathSciNetCrossRef

[Fu]

Fulton, W.: Young Tableaux with Applications to Representation Theory and Geometry. Cambridge University Press, 1997.MATH

[FH]

Fulton, W., Harris, J.: Representation Theory: A First Course, Graduate Texts in Mathematics. Cambridge University Press, 1997.MATH

[Mo]

Morris, S. A.: Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups, London Math. Society LNS 29. Cambridge University Press, 1977.

Titel: Affine Algebraic Geometry
verfasst von: Alexey L. Gorodentsev
Verlag: Springer International Publishing
Buch: Algebra II
Print ISBN: 978-3-319-50852-8

Electronic ISBN: 978-3-319-50853-5

Copyright-Jahr: 2017
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-50853-5_11

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Abstract

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