Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Bereits vor 4000 Jahren wurden quadratische Gleichungen gelöst. Im 16. Jahrhundert fand man allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades, aber entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades schlugen fehl. Nach fast dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

Gemäß der Intention des Buchs, auch die Geschichte der Algebra zu berücksichtigen, wurden in dieser Neuauflage diverse Faksimiles ergänzt. Begleitend zu den Faksimiles wurde insbesondere das erste Kapitel erheblich erweitert, so dass die maßgeblichen kulturhistorischen Kontexte der Epochen bis Cardano deutlicher werden. Schließlich wurden zum Kapitel über Artins Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie einige Anmerkungen zum historischen und mathematischen Hintergrund hinzugefügt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Kubische Gleichungen

Zusammenfassung
Mit solchen Aufgaben in Textform wurden schon Generationen von Schülern „beglückt“. Die Aufgabe selbst ist übrigens bereits einige Jahrhunderte alt. Es handelt sich um die erste von 30 Aufgaben, die 1535 Nicolo Tartaglia (1499 oder 1500–1557) in einem Wettstreit gestellt bekam. Herausforderer im Wettstreit war Antonio Fior (1506–?), dem Tartaglia im Gegenzug ebenfalls 30 Aufgaben stellte.
Jörg Bewersdorff

Kapitel 2. Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen

Zusammenfassung
Wie schon die Aufgabenstellung des ersten Kapitels ist auch diese Gleichung als „klassisch“ zu bezeichnen, da sie aus Cardanos Buch Ars magna stammt. Allerdings geht Cardano, der einfach 3 als Lösung angibt und dann noch zwei weitere Lösungen berechnet, auf die Schwierigkeiten, die bei einer Verwendung der Cardanischen Formel entstehen, nicht näher ein – sie dürften ihm aber kaum verborgen geblieben sein.
Jörg Bewersdorff

Kapitel 3. Biquadratische Gleichungen

Zusammenfassung
Auch die dritte Problemstellung ist klassisch und entstammt Cardanos Buch Ars magna. Allerdings bereitete es Cardano Schwierigkeiten, solche biquadratischen Gleichungen überhaupt zu behandeln, da sie ihm keine geometrische Interpretation boten. Dazu bemerkte er im Vorwort: „Da positio auf eine Linie, quadratum auf eine Fläche und cubum auf einen Körper hinweisen, wäre es sehr töricht, über dieses hinauszugehen. Die Natur erlaubt es nicht“.
Jörg Bewersdorff

Kapitel 4. Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften

Zusammenfassung
Historisch weckten die Erfolge bei der Auflösung der kubischen und biquadratischen Gleichung fast zwangsläufig den Wunsch, auch für Gleichungen höherer Grade Lösungsformeln zu finden. Damit verbunden entwickelte sich ein Interesse dafür, die prinzipiellen Eigenschaften von Gleichungen noch besser und vor allem systematischer zu studieren. In diesem Zusammenhang wurde auch die hier wiedergegebene Aufgabe gestellt und gelöst.
Jörg Bewersdorff

Kapitel 5. Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln

Zusammenfassung
Die von Cardano veröffentlichten Verfahren zur Auflösung von kubischen und biquadratischen Gleichungen markieren den Beginn einer historischen Periode, in der es vielfältige Versuche gegeben hat, eine allgemeine Formel zur Lösung von Gleichungen fünften Grades zu finden. Für dieses Ziel war es natürlich naheliegend, nach Gemeinsamkeiten der bereits gefundenen Lösungsverfahren zu suchen. Dabei konnten im Fall der biquadratischen Gleichung sogar diverse Alternativen zu Ferraris Lösungsmethode mit einbezogen werden, die mit anderen Äquivalenzumformungen und anderen Zwischenergebnissen zu letztlich übereinstimmenden Resultaten führen.
Jörg Bewersdorff

Kapitel 6. Gleichungen, die sich im Grad reduzieren lassen

Zusammenfassung
Handelten die bisherigen Kapitel von Techniken, für Gleichungen eines bestimmten Grades allgemein gültige Auflösungsformeln zu finden, so haben wir nun Abels Nachweis für die Unmöglichkeit, die allgemeine Gleichung fünften oder höheren Grades mit Radikalen zu lösen, dadurch Rechnung zu tragen, uns bei Gleichungen ab dem fünften Grad auf spezielle Gleichungen zu beschränken.
Jörg Bewersdorff

Kapitel 7. Die Konstruktion regelmäßiger Vielecke

Zusammenfassung
Die Entdeckung des achtzehnjährigen Gauß vom 29. März 1796 markiert den Beginn eines mathematischen Lebenswerkes, das an Umfang und Bedeutung kaum seines Gleichen finden dürfte.
Jörg Bewersdorff

Kapitel 8. Auflösung von Gleichungen fünften Grades

Zusammenfassung
Bei der angeführten Gleichung handelt es sich wieder um ein klassisches Beispiel. Bereits Leonhard Euler erkannte 1762 anlässlich seiner Studien über die Auflösung von Gleichungen, dass diese Gleichung zu einer Klasse von Gleichungen fünften Grades gehört, die allesamt mit Radikalen gelöst werden können. Wie auch andere Mathematiker seiner Zeit hatte Euler versucht, die Auflösungsmethoden für Gleichungen bis zum vierten Grad auf Gleichungen fünften Grades zu übertragen.
Jörg Bewersdorff

Kapitel 9. Die Galois-Gruppe einer Gleichung

Zusammenfassung
Die formulierte Frage ist die natürliche Fortsetzung der bisherigen Resultate: Wenn es schon keine Auflösung für die allgemeine Gleichung gibt, so stellt sich fast zwangsläufig die Frage, welche speziellen Gleichungen mit Radikalen lösbar sind? Beantwortet wurde die Frage von dem erst zwanzigjährigen französischen Mathematiker Evariste Galois, und zwar kurz bevor er sich 1832 einem ihm den Tod bringenden Duell stellte.
Jörg Bewersdorff

Kapitel 10. Algebraische Strukturen und Galois-Theorie

Zusammenfassung
Das letzte Kapitel soll dazu dienen, eine Brücke zu schlagen zwischen zwei Sichtweisen der Galois-Theorie, nämlich der im vorherigen Kapitel dargelegten „elementaren“, das heißt stark an Polynomen orientierten, Sichtweise einerseits und der „modernen“, das heißt zu Beginn des zwanzigsten Jahrhundert begründeten, Sichtweise andererseits. Dabei wird sich zeigen, dass die „moderne“, begrifflich auf algebraischen Strukturen aufbauende Theorie trotz oder gerade wegen ihrer Abstraktion in vielen Punkten einfacher verständlich ist, sofern man auf einem bestimmten Grundwissen aufbauen kann. Konkret dürften in den Genuss dieses einfacheren Zugangs diejenigen kommen können, die das erste Semester Mathematik bereits hinter sich gebracht haben und denen dabei Begriffe wie Gruppe, Normalteiler, Faktorgruppe, Körper, Vektorraum, Basis, Dimension, Homomorphismus und Automorphismus im Rahmen einer Vorlesung über „Lineare Algebra“ vertraut geworden sind.
Jörg Bewersdorff

Kapitel 11. Artins Version des Hauptsatzes der Galois-Theorie

Zusammenfassung
In seinem 1942 erstmals erschienenen Buch Galois Theory, später als deutsche Übersetzung unter dem Titel Galoissche Theorie herausgegeben, präsentierte Emil Artin einen Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie, der in erheblichem Maße von den davor bekannten Beweisen abwich. Anders als die älteren Beweise kommt Artins Beweis nämlich völlig ohne die Konstruktion einer Galois-Resolvente beziehungsweise ohne Verwendung des entsprechenden Satzes vom primitiven Element aus. Stattdessen erdachte Artin einen Aufbau der Galois-Theorie, der es erlaubt, den im Wesentlichen nur im Hinblick auf die Voraussetzungen umformulierten Hauptsatz vollständig mit Sätzen der Linearen Algebra zu beweisen.
Jörg Bewersdorff

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

    Bildnachweise