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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie.

Das Buch wurde für die 5. Auflage vollständig durchgesehen und um einen ausführlichen Abschnitt zum semidirekten Produkt von Gruppen erweitert. Zudem wurden Lösungsmethoden inklusive Beispiele für manche typischen Aufgabenstellungen übersichtlich zusammengestellt, z.B. zum Nachweis der Reduzibilität bzw. Irreduzibilität von Polynomen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Gruppen

Frontmatter

Kapitel 1. Halbgruppen

Auch wenn das Thema des ersten Teils dieses Buches die Gruppen $$(G, \cdot )$$ ( G , · ) sind, beschäftigen wir uns vorab mit Halbgruppen $$(H, \cdot )$$ ( H , · ) . Das hat Vorteile, die wir in der Ringtheorie nutzen können. Ein weiterer Vorteil liegt darin, dass die Halbgruppen einen leichten Einstieg in die Gruppen liefern.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 2. Gruppen

Eine Halbgruppe G mit neutralem Element heißt Gruppe,Gruppe wenn $$G^\times = G$$ G × = G gilt, d. h. wenn jedes Element von G invertierbar ist. Dieser abstrakte Gruppenbegriff geht auf A. Cayley 1854 (für endliche Gruppen), auf L. Kronecker 1870 (für abelsche Gruppen) und in endgültiger Form auf H. Weber 1892 zurück. Vorher wurden nur endliche Permutationsgruppen und Gruppen geometrischer Transformationen betrachtet.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 3. Untergruppen

Der erste etwas tieferliegende Struktursatz der Theorie endlicher Gruppen ist der Satz von Lagrange. Er besagt, dass eine endliche Gruppe mit n Elementen höchstens Untergruppen U haben kann, deren Ordnungen Teiler von n sind. Der Weg zum Beweis dieses Satzes von Lagrange führt über sogenannte Nebenklassen $$a \, U$$ a U .

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 4. Normalteiler und Faktorgruppen

Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so liefert die Menge der Linksnebenklassen $$a \, U$$ a U eine Partition von G. Wir wollen auf dieser Menge M der Linksnebenklassen eine Verknüpfung erklären, sodass M damit ebenfalls eine Gruppe ergibt. Das ist so einfach aber nicht möglich, die Untergruppe U muss dazu eine weitere Eigenschaft erfüllen – sie muss ein Normalteiler sein.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 5. Zyklische Gruppen

Zyklische Gruppen sind jene Gruppen, die von einem Element erzeugt werden, genauer: Eine Gruppe G ist zyklischGruppezyklische, wenn es ein Element $$a \in G$$ a ∈ G mit $$G = \langle a \rangle $$ G = ⟨ a ⟩ gibt.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 6. Direkte und semidirekte Produkte

In Kap. 5 wurden sämtliche zyklische Gruppen bestimmt. Um nun weitere Klassen von Gruppen klassifizieren können, versuchen wir, die im Allgemeinen sehr komplexen Gruppen in Produkte von kleineren oder einfacheren Gruppen zu zerlegen.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 7. Gruppenoperationen

Am häufigsten treten Gruppen in der Natur als Gruppen bijektiver Abbildungen auf. Das ist nicht verwunderlich, da man ja nach dem Satz von Cayley jede Gruppe G so darstellen kann.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 8. Die Sätze von Sylow

Die Sylow’schen Sätzen enthalten Aussagen über die Existenz und Anzahl von p-Untergruppen einer endlichen Gruppe. Diese Sätze sind Grundstein für die gesamte Strukturtheorie endlicher Gruppen.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 9. Symmetrische und alternierende Gruppen

Nach Korollar2.16 ist jede endliche Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe auffassbar. In diesem Kapitel untersuchen wir die symmetrischen Gruppen genauer. Wir werden unter anderem feststellen, dass jede symmetrische Gruppe $$S_n$$ S n , $$n \ge 2$$ n ≥ 2 , einen Normalteiler $$A_n$$ A n mit $$\vert A_n \vert = \frac{1}{2} \, n!$$ | A n | = 1 2 n ! besitzt – die alternierende Gruppe vom Grad n.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 10. Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

Das Ziel dieses Kapitels ist es, die endlichen abelschen Gruppen zu klassifizieren. Wir zeigen, dass jede endliche abelsche Gruppe inneres direktes Produkt zyklischer Gruppen ist, genauer: Ist G eine endliche abelsche Gruppe, so gibt es nicht notwendig verschiedene Primzahlen $$p_1 ,\ldots ,\,p_r$$ p 1 , … , p r und natürliche Zahlen $$\nu _1 ,\ldots ,\,\nu _r$$ ν 1 , … , ν r , so dass $$G \cong {\mathbb {Z}}/{p_1^{\nu _1}} \times \cdots \times {\mathbb {Z}}/{p_r^{\nu _r}}$$ G ≅ Z / p 1 ν 1 × ⋯ × Z / p r ν r . Wir erreichen eine vollständige Übersicht über alle endlichen abelschen Gruppen.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 11. Auflösbare Gruppen

In Kap. 10 haben wir die endlichen abelschen Gruppen klassifiziert.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 12. Freie Gruppen *

In einer Gruppe G mit Erzeugendensystem S ist nach dem Darstellungssatz 3.2 jedes Gruppenelement darstellbar als endliches Produkt von (nicht notwendig verschiedenen) Elementen aus $$S \cup S^{-1}$$ S ∪ S - 1 .

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Ringe

Frontmatter

Kapitel 13. Grundbegriffe der Ringtheorie

Der Ringbegriff ist aus der linearen Algebra bekannt. Dort werden üblicherweise die Ringe $${\mathbb {Z}}, \, {\mathbb Q}, \, {\mathbb R}, \, {\mathbb C}$$ Z , Q , R , C , der Ring der $$n \times n$$ n × n -Matrizen $$K^{n \times n}$$ K n × n für jeden Körper K und jede natürliche Zahl n und eventuell auch der Ring K[X] aller Polynome über einem Körper K behandelt.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 14. Polynomringe

Reelle Polynome werden in der linearen Algebra oft ungenau als formale Ausdrücke

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 15. Ideale

Für die Ringtheorie sind weniger die Teilringe eines Ringes von Interesse, vielmehr sind es die Ideale. Dabei ist ein Teilring A des Ringes R ein Ideal, wenn $$R \, A \subseteq A$$ R A ⊆ A und $$A \, R \subseteq A$$ A R ⊆ A gilt. In diesem Sinne sind Ideale das ringtheoretische Pendant zu den Normalteilern in der Gruppentheorie.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 16. Teilbarkeit in Integritätsbereichen

In diesem Kapitel wollen wir einige der üblichen Begriffsbildungen der elementaren Arithmetik im Ring $${\mathbb {Z}}$$ Z auf beliebige Integritätsbereiche übertragen. Dies bringt einen gleichzeitigen Zugang zur Arithmetik in $${\mathbb {Z}}$$ Z , in den wichtigsten Polynomringen und in anderen Integritätsbereichen, die wir noch kennenlernen werden.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 17. Faktorielle Ringe

Im Integritätsbereich $${\mathbb {Z}}$$ Z lässt sich jedes Element $$a \not = 0, \, \pm 1$$ a ≠ 0 , ± 1 , von der Reihenfolge der Faktoren abgesehen, auf genau eine Weise als ein Produkt einer Einheit in $${\mathbb {Z}}$$ Z und Primzahlen $$p_1 ,\ldots ,\,p_n$$ p 1 , … , p n darstellen: $$a = \pm p_1 \cdots p_n$$ a = ± p 1 ⋯ p n . Wir befassen uns jetzt mit der Existenz und Eindeutigkeit solcher Primfaktorzerlegungen allgemeiner: Einen Integritätsbereich, in dem jede Nichteinheit $$\not = 0$$ ≠ 0 eine (von der Reihenfolge der Faktoren abgesehen) eindeutige Zerlegung in Primelemente hat, nennen wir faktoriellen Ring. Die meisten Integritätsbereiche, die wir kennen, sind faktoriell.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 18. Hauptidealringe. Euklidische Ringe

Im vorliegenden Kapitel untersuchen wir Hauptidealringe (das sind Integritätsbereiche, in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist) und euklidischen Ringe (das sind Integritätsbereiche, die einen euklidischen Betrag haben). Sowohl Hauptidealringe als auch euklidische Ringe sind faktorielle Ringe. Die Hauptaussagen dieses Kapitels lassen sich prägnant zusammenfassen: Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, und jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 19. Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe

Dieses letzte Kapitel zur Ringtheorie widmen wir erneut den Polynomringen. Das hat seinen Grund: Jeder Polynomring K[X] über einem Körper K ist ein Hauptidealring. Jedes von einem irreduziblen Polynom P erzeugte Hauptideal (P) ist ein maximales Ideal in K[X].

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Körper

Frontmatter

Kapitel 20. Grundlagen der Körpertheorie

Körper wurden bereits im Abschn. 13.7 eingeführt. Eigentlich kennt man auch schon aus der linearen Algebra den Begriff eines Körpers. In diesem ersten Kapitel zur Körpertheorie beginnen wir von Neuem: Wir definieren Körper, bringen zahlreiche Beispiele und führen die wichtigsten Begriffe wie Charakteristik, Primkörper, Grad einer Körpererweiterung, Körperadjunktion und algebraische Elemente ein.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 21. Einfache und algebraische Körpererweiterungen

Die einfachste Körpererweiterung L/K ist die einfache Körpererweiterung K(a)/K, also der Fall $$L = K(a)$$ L = K ( a ) für ein $$a \in L$$ a ∈ L . Tatsächlich ist dieser Fall schon sehr allgemein, da sich für $$L = K(a_1 ,\ldots ,\,a_n)$$ L = K ( a 1 , … , a n ) mit über K algebraischen Elementen $$a_1 ,\ldots ,\,a_n$$ a 1 , … , a n oft ein Element $$a \in L$$ a ∈ L bestimmen lässt, sodass $$K(a_1 ,\ldots ,\,a_n) = K(a)$$ K ( a 1 , … , a n ) = K ( a ) gilt (man vgl. etwa Aufgabe 20.11 und den Satz 25.6 vom primitiven Element).

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 22. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal *

Sprichwörtlich ist die Quadratur des Kreises schon vielfach gelungen – aber eben nur sprichwörtlich, denn tatsächlich ist dies mit den klassischen Methoden nicht durchführbar: Es ist nicht möglich, allein mit Zirkel und Lineal ein Quadrat zu konstruieren, dessen Flächeninhalt gleich dem eines gegebenen Kreises ist. Die Unlösbarkeit dieses Problemes liegt an der Transzendenz der Zahl $$\pi $$ π .

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 23. Transzendente Körpererweiterungen *

Ist L/K eine Körpererweiterung, so ist ein Element a in L entweder algebraisch oder transzendent über K. Die Körpererweiterung L/K selbst nannten wir algebraisch, wenn jedes Element $$a \in L$$ a ∈ L algebraisch über K ist. Eine nichtalgebraische Körpererweiterung heißt transzendent – bei einer solchen Körpererweiterung gibt es also in L über K transzendente Elemente. Es muss aber keineswegs jedes Element aus $$L \setminus K$$ L \ K transzendent über K sein.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 24. Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper

Ein Großteil des Erfolgs der modernen Algebra beruht auf der Idee der Körpererweiterung. Erst die Erweiterung der reellen Zahlen $${\mathbb R}$$ R zum Körper $${\mathbb C}$$ C der komplexen Zahlen ermöglichte etwa die einheitliche Behandlung quadratischer Gleichungen $$a \, X^2 + b \, X + c = 0$$ a X 2 + b X + c = 0 mit $$a, \, b, \, c \in {\mathbb R}$$ a , b , c ∈ R , $$a \not = 0$$ a ≠ 0 .

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 25. Separable Körpererweiterungen

Wir unterscheiden algebraische Körpererweiterungen in separable und inseparable Erweiterungen. Separabilität bedeutet dabei, dass die Wurzeln eines irreduziblen Polynoms in einem Erweiterungskörper getrennt voneinander liegen, also nicht mehrfach auftreten. Ob ein Polynom mehrfache Wurzeln hat, kann man mithilfe der aus der Analysis bekannten Ableitung entscheiden.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 26. Endliche Körper

Die endlichen Körper sind vollständig bekannt: Zu jeder Primzahlpotenz $$p^n$$ p n gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit $$p^n$$ p n Elementen, weitere endliche Körper gibt es nicht. Mit den endlichen Körpern sind auch alle Teilkörper endlicher Körper und auch die Automorphismengruppen der endlichen Körper angebbar.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 27. Die Galoiskorrespondenz

Die genaue Kenntnis der Zwischenkörper einer gegebenen Körpererweiterung L/K ist von entscheidender Bedeutung. Sind L und K endliche Körper, so haben wir dieses Problem in Kap. 26 erledigt. Im vorliegenden Kapitel untersuchen wir den Fall einer sogenannten Galoiserweiterung. Wir werden zeigen, dass im Falle einer endlichen Galoiserweiterung L/K, d. h., die Körpererweiterung L/K ist endlich, normal und separabel, der Zwischenkörperverband von L/K vollständig angegeben werden kann. Dabei wird das Problem des Auffindens aller Zwischenkörper reduziert auf das zum Teil erheblich leichtere Aufsuchen aller Untergruppen der sogenannten Galoisgruppe $$\Gamma (L/K)$$ Γ ( L / K ) der Erweiterung L/K. Dieses Zusammenspiel von Körpertheorie und Gruppentheorie ist das Charakteristische der Galoistheorie. Die Theorie hat Anwendungen für die Auflösung algebraischer Gleichungen und liefert Antworten auf Konstruierbarkeitsfragen. Auch die algebraische Abgeschlossenheit von $${\mathbb C}$$ C kann mit ihrer Hilfe begründet werden. Ausführliche Beispiele bringen wir im nächsten Kapitel.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 28. Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung *

Mit dem Hauptsatz der endlichen Galoistheorie ist die Aufgabe, den Zwischenkörperverband einer endlichen Galoiserweiterung L/K zu bestimmen, auf die im Allgemeinen einfachere Aufgabe, den Untergruppenverband der Galoisgruppe $$\Gamma (L/K)$$ Γ ( L / K ) zu bestimmen, zurückgeführt. Außerdem besagt der Hauptsatz, dass ein Zwischenkörper E von L/K genau dann galoissch über K ist, wenn die zugehörige Untergruppe $$E^+ = \Gamma (L/E)$$ E + = Γ ( L / E ) von $$\Gamma (L/K)$$ Γ ( L / K ) ein Normalteiler von $$\Gamma (L/K)$$ Γ ( L / K ) ist.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 29. Kreisteilungskörper

Aus der Analysis ist bekannt, dass die n-ten (komplexen) Einheitswurzeln, das sind die Lösungen der Gleichung $$X^n -1 = 0$$ X n - 1 = 0 in $$\mathbb {C}$$ C , die Ecken eines regulären n-Ecks in $$\mathbb {C}$$ C bilden; es sind dies die n verschiedenen komplexen Zahlen $$1, \, \text {e}^{\frac{2 \pi {\text {i}}}{n}}, \, \text {e}^{\frac{4 \pi {\text {i}}}{n}} ,\ldots ,\,\text {e}^{\frac{2 (n-1) \pi {\text {i}}}{n}}$$ 1 , e 2 π i n , e 4 π i n , … , e 2 ( n - 1 ) π i n .

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 30. Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale

Unter einer algebraischen Gleichung versteht man eine Gleichung der Form $$P(X) = 0$$ P ( X ) = 0 mit einem Polynom P über einem Körper K. Die Lösungen dieser Gleichung sind nichts anderes als die Wurzeln des Polynoms P. Die Wurzeln von $$X^2 + p \, X + q \in {\mathbb R}[X]$$ X 2 + p X + q ∈ R [ X ] in $$\mathbb {C}$$ C haben bekanntlich die Form $$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{d}$$ - p 2 ± d mit $$d := \left( \frac{p}{2} \right) ^2 -q$$ d : = p 2 2 - q . Dabei bezeichnet $$\sqrt{d}$$ d ein Element aus $$\mathbb {C}$$ C mit $$(\sqrt{d})^2 = d$$ ( d ) 2 = d . Wie Tartaglia und del Ferro im 16. Jahrhundert zeigten, haben die Wurzeln von $$X^3 + p \, X + q \in {\mathbb R}[X]$$ X 3 + p X + q ∈ R [ X ] in $$\mathbb {C}$$ C die Form

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Kapitel 31. Die allgemeine Gleichung

Wir beenden nun diesen einführenden Kurs in die Algebra mit dem bedeutenden und berühmten Ergebnis von P. Ruffini und N. H. Abel. Salopp ausgedrückt besagt dieses Ergebnis: Es gibt keine allgemeine Lösungsformel mit den Operationen $$+$$ + , −, $$\cdot $$ · , $$\sqrt{\cdot }$$ · , mit der man aus den Koeffizienten eines Polynoms vom Grad $$\ge 5$$ ≥ 5 die Wurzeln dieses Polynoms ermitteln kann.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Moduln

Frontmatter

Kapitel 32. Moduln

Neben den Gruppen, Ringen und Körpern gehören auch die Moduln zu den wichtigsten algebraischen Strukturen. Die Theorie der Moduln hat sich als Erweiterung der Ringtheorie aus der Darstellungstheorie von Gruppen, Ringen und Algebren entwickelt. In ihr finden die Methoden der Ringtheorie und der linearen Algebra Anwendung. An den Beispielen werden wir sehen, dass der Begriff des Moduls über einem Ring viele der bisher behandelten algebraischen Strukturen verallgemeinert.

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

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