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2024 | Buch

Algebra

Gruppen – Ringe – Körper

verfasst von: Christian Karpfinger

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher hat sich der Autor bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden. Der Autor hat stets darauf geachtet, dass erst dann neue Begriffe und Konzepte eingeführt werden, wenn ein gewisses Vertrauen im Umgang mit den bis dahin entwickelten Begriffen und Konzepten besteht. Das Vorgehen wird stets motiviert, schwierige Sachverhalte werden ausführlich erklärt und an Beispielen erprobt. DieLeser erhalten dadurch einen einfachen Zugang zu dem nicht ganz leichten Thema der Algebra.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie.

Das Buch wurde für die 6. Auflage vollständig durchgesehen und um zwei Beweise des quadratischen Reziprozitätsgesetzes ergänzt. Zudem erhalten Sie Zugang auf 300 Flashcards (Springer-Nature-Flashcards-App), mit denen Sie Ihr Verständnis der Theorie auf spielerische Weise testen und einüben können.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Gruppen

Frontmatter
1. Halbgruppen

Auch wenn das Thema des ersten Teils dieses Buches die Gruppen.

Christian Karpfinger
2. Gruppen

Eine Halbgruppe G mit neutralem Element heißt Gruppe, wenn G × = G $$G^\times = G$$ gilt, d. h. wenn jedes Element von G invertierbar ist.

Christian Karpfinger
3. Untergruppen

Der erste etwas tieferliegende Struktursatz der Theorie endlicher Gruppen ist der Satz von Lagrange. Er besagt, dass eine endliche Gruppe mit n Elementen höchstens Untergruppen U haben kann, deren Ordnungen Teiler von n sind.

Christian Karpfinger
4. Normalteiler und Faktorgruppen

Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so liefert die Menge der Linksnebenklassen.

Christian Karpfinger
5. Zyklische Gruppen

Zyklische Gruppen sind jene Gruppen, die von einem Element erzeugt werden, genauer.

Christian Karpfinger
6. Direkte und semidirekte Produkte

In Kap. 5 wurden sämtliche zyklische Gruppen bestimmt. Um nun weitere Klassen von Gruppen klassifizieren können, versuchen wir, die im Allgemeinen sehr komplexen Gruppen in Produkte von kleineren oder einfacheren Gruppen zu zerlegen.

Christian Karpfinger
7. Gruppenoperationen

Am häufigsten treten Gruppen in der Natur als Gruppen bijektiver Abbildungen auf. Das ist nicht verwunderlich, da man ja nach dem Satz von Cayley jede Gruppe G so darstellen kann.

Christian Karpfinger
8. Die Sätze von Sylow

Die Sylow'schen Sätzen enthalten Aussagen über die Existenz und Anzahl von p-Untergruppen einer endlichen Gruppe. Diese Sätze sind Grundstein für die gesamte Strukturtheorie endlicher Gruppen.

Christian Karpfinger
9. Symmetrische und alternierende Gruppen

In diesem Kapitel untersuchen wir die symmetrischen Gruppen genauer.

Christian Karpfinger
10. Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

Das Ziel dieses Kapitels ist es, die endlichen abelschen Gruppen zu klassifizieren.

Christian Karpfinger
11. Auflösbare Gruppen

In Kap. 10 haben wir die endlichen abelschen Gruppen klassifiziert. Im vorliegenden Kapitel werden wir eine Verallgemeinerung abelscher Gruppen untersuchen – die auflösbaren Gruppen. Die Namensgebung hängt mit der Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen zusammen; dieser Zusammenhang wird erst im Kap. 31 erläutert.

Christian Karpfinger
12. Freie Gruppen *

In einer Gruppe G mit Erzeugendensystem S ist nach dem Darstellungssatz 3.2 jedes Gruppenelement darstellbar als endliches Produkt von (nicht notwendig verschiedenen) Elementen aus S ∪ S − 1 $$S \cup S^{-1}$$ . Die weitere Struktur von G wird dann durch gewisse Beziehungen (man sagt auch Relationen) zwischen den erzeugenden Elementen bestimmt. So gilt etwa für die Diedergruppe D n $$D_n$$ (siehe Abschn. 3.1.5 ): D n = 〈 α , β 〉 mit α 2 = 1 , β n = 1 , α β α − 1 = β − 1 , $$\displaystyle D_n = \langle \alpha , \, \beta \rangle \quad \text{mit} \quad \alpha ^2 = 1 \, , \ \beta ^n = 1 \, , \ \alpha \, \beta \, \alpha ^{-1} = \beta ^{-1} \, , $$ wobei natürlich 1 das neutrale Element der Diedergruppe D n $$D_n$$ bezeichnet. Man sagt, D n $$D_n$$ wird durch die Erzeugenden α , β $$\alpha , \, \beta $$ und die Relationen α 2 = 1 , β n = 1 , α β α − 1 = β − 1 $$\alpha ^2 = 1 \, , \ \beta ^n = 1 \, , \ \alpha \, \beta \, \alpha ^{-1} = \beta ^{-1}$$ definiert.

Christian Karpfinger

Ringe

Frontmatter
13. Grundbegriffe derRingtheorie

Der Ringbegriff ist aus der linearen Algebra bekannt. Dort werden üblicherweise die Ringe ℤ , ℚ , ℝ , ℂ $${\mathbb {Z}}, \, {\mathbb Q}, \, {\mathbb R}, \, {\mathbb C}$$ , der Ring der n × n $$n \times n$$ -Matrizen K n × n $$K^{n \times n}$$ für jeden Körper K und jede natürliche Zahl n und eventuell auch der Ring K [ X ] $$K[X]$$ aller Polynome über einem Körper K behandelt.

Christian Karpfinger
14. Polynomringe

Reelle Polynome werden in der linearen Algebra oft ungenau als formale Ausdrücke a 0 + a 1 X + ⋯ + a n X n $$\displaystyle \begin{aligned} a_0 + a_1 \, X + \cdots + a_n \, X^n \end{aligned}$$ mit Koeffizienten a 0 , … , a n ∈ ℝ $$a_0 ,\ldots ,\, a_n \in {\mathbb R}$$ in einer Unbestimmten X erklärt. Addition und Multiplikation solcher reeller Polynome erfolgen dabei nach den Regeln ∑ i = 0 n a i X i + ∑ j = 0 m b j X j = ∑ i = 0 max { n , m } ( a i + b i ) X i und ∑ i = 0 n a i X i ⋅ ∑ j = 0 m b j X j = ∑ k = 0 n + m ∑ i + j = k ( a i b j ) X k , $$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{i=0}^n a_i \, X^i + \sum_{j=0}^m b_j \, X^j & = \sum_{i=0}^{\max\{n, m\}} (a_i + b_i) \, X^i \quad \text{und } \\ \sum_{i=0}^n a_i \, X^i \cdot \sum_{j=0}^m b_j \, X^j & = \sum_{k=0}^{n + m} \sum_{i+j=k}(a_i \, b_j) \, X^k \, , \end{aligned} $$ wobei a i = 0 $$a_i = 0$$ für i > n $$i > n$$ bzw. b j = 0 $$b_j = 0$$ für j > m $$j > m$$ gesetzt wird. Eines unserer Ziele in diesem Kapitel ist es, eine einwandfreie Definition von Polynomen zu geben. Dabei wollen wir uns nicht auf nur eine Unbestimmte X beschränken, sondern auch Polynome in den Unbestimmten X 1 , … , X n $$X_1 ,\ldots ,\, X_n$$ einführen.

Christian Karpfinger
15. Ideale

Für die Ringtheorie sind weniger die Teilringe eines Ringes von Interesse, vielmehr sind es die Ideale. Dabei ist ein Teilring A des Ringes R ein Ideal, wenn R A ⊆ A $$R \, A \subseteq A$$ und A R ⊆ A $$A \, R \subseteq A$$ gilt. In diesem Sinne sind Ideale das ringtheoretische Pendant zu den Normalteilern in der Gruppentheorie. Analog zur Bildung von Faktorgruppen nach Normalteilern kann man Faktorringe nach Idealen bilden. Dies liefert eine bedeutende Konstruktionsmethode von Ringen und ist Grundlage für die Körpertheorie.

Christian Karpfinger
16. Teilbarkeit in Integritätsbereichen

In diesem Kapitel wollen wir einige der üblichen Begriffsbildungen der elementaren Arithmetik im Ring ℤ $${\mathbb {Z}}$$ auf beliebige Integritätsbereiche übertragen. Dies bringt einen gleichzeitigen Zugang zur Arithmetik in ℤ $${\mathbb {Z}}$$ , in den wichtigsten Polynomringen und in anderen Integritätsbereichen, die wir noch kennenlernen werden.

Christian Karpfinger
17. Faktorielle Ringe

Abstract

Christian Karpfinger
18. Hauptidealringe. Euklidische Ringe

Abstract

Christian Karpfinger
19. Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe

Dieses letzte Kapitel zur Ringtheorie widmen wir erneut den Polynomringen. Das hat seinen Grund: Jeder Polynomring K [ X ] $$K[X]$$ über einem Körper K ist ein Hauptidealring. Jedes von einem irreduziblen Polynom P erzeugte Hauptideal ( P ) $$(P)$$ ist ein maximales Ideal in K [ X ] $$K[X]$$ . Der Faktorring K [ X ] ∕ ( P ) $$K[X]/(P)$$ ist damit ein Körper. Damit landen wir in der Körpertheorie; wir beginnen damit im nächsten Kapitel. Im vorliegenden Kapitel entwickeln wir Kriterien, anhand derer wir entscheiden können, ob gegebene Polynome irreduzibel sind oder nicht.

Christian Karpfinger
20. Das Quadratische Reziprozitätsgesetz *

Wir gehen der Frage nach, für welche Zahlen a ∈ ℤ $$a \in {\mathbb {Z}}$$ und m ∈ ℕ $$m\in {\mathbb N}$$ die Kongruenzgleichung X 2 ≡ a ( mod m ) . $$\displaystyle \begin{aligned} X^2 \equiv a \, (\operatorname{mod} \, m) \, . \end{aligned}$$ lösbar ist, ob also a ein Quadrat oder ein Nichtquadrat modulo m ist. Erste Teilantworten auf diese Frage aus der Zahlentheorie – man spricht von einer quadratischen Diophantischen Gleichung – lieferten Fermat, Euler und Lagrange. Gauß veröffentlichte 1801 den ersten vollständigen Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, das ein effektives Verfahren liefert, um zu entscheiden, ob eine gegebene Zahl modulo einer Primzahl ein Quadrat oder ein Nichtquadrat ist. Gauß gab 8 verschiedene Beweise dieses Gesetzes an, heutzutage kennt man mehr als 150 verschiedene Beweise. Wir geben im vorliegenden Kapitel einen elementaren Beweis an, in einem späteren Abschn. 30.5 liefern wir einen kurzen Beweis, der aber einige weitere Kenntnisse verlangt.

Christian Karpfinger

Körper

Frontmatter
21. Grundlagen der Körpertheorie

Eigentlich kennt man auch schon aus der linearen Algebra den Begriff eines Körpers.

Christian Karpfinger
22. Einfache und algebraische Körpererweiterungen

Die einfachste Körpererweiterung L ∕ K $$L/K$$ ist die einfache Körpererweiterung K ( a ) ∕ K $$K(a)/K$$ , also der Fall L = K ( a ) $$L = K(a)$$ für ein a ∈ L $$a \in L$$ . Tatsächlich ist dieser Fall schon sehr allgemein, da sich für L = K ( a 1 , … , a n ) $$L = K(a_1 ,\ldots ,\, a_n)$$ mit über K algebraischen Elementen a 1 , … , a n $$a_1 ,\ldots ,\, a_n$$ oft ein Element a ∈ L $$a \in L$$ bestimmen lässt, sodass K ( a 1 , … , a n ) = K ( a ) $$K(a_1 ,\ldots ,\, a_n) = K(a)$$ gilt (man vgl. etwa Aufgabe 21.11 und den Satz 26.6 vom primitiven Element). Insofern ist es wichtig, die Struktur der einfachen Körpererweiterungen K ( a ) ∕ K $$K(a)/K$$ aufzuklären. Das ist nach L. Kronecker und H. Weber mit dem Polynomring K [ X ] $$K[X]$$ möglich. Das Ergebnis ist denkbar einfach: Ist a transzendent über K, so gilt K ( a ) ≅ K ( X ) $$K(a) \cong K(X)$$ , ist a algebraisch über K, so gilt K ( a ) ≅ K [ X ] ∕ ( m a , K ) $$K(a) \cong K[X] / (m_{a, \, K})$$ .

Christian Karpfinger
23. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal *

Sprichwörtlich ist die Quadratur des Kreises schon vielfach gelungen – aber eben nur sprichwörtlich, denn tatsächlich ist dies mit den klassischen Methoden nicht durchführbar: Es ist nicht möglich, allein mit Zirkel und Lineal ein Quadrat zu konstruieren, dessen Flächeninhalt gleich dem eines gegebenen Kreises ist.

Christian Karpfinger
24. Transzendente Körpererweiterungen *

Ist L ∕ K $$L/K$$ eine Körpererweiterung, so ist ein Element a in L entweder algebraisch oder transzendent über K.

Christian Karpfinger
25. Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper

Ein Großteil des Erfolgs der modernen Algebra beruht auf der Idee der Körpererweiterung. Erst die Erweiterung der reellen Zahlen ℝ $${\mathbb R}$$ zum Körper ℂ $${\mathbb C}$$ der komplexen Zahlen ermöglichte etwa die einheitliche Behandlung quadratischer Gleichungen a X 2 + b X + c = 0 $$a \, X^2 + b \, X + c = 0$$ mit a , b , c ∈ ℝ $$a, \, b, \, c \in {\mathbb R}$$ , a ≠ 0 $$a \neq 0$$ . Der (klassische) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass nicht nur quadratische Polynome, sondern jedes Polynom aus ℂ [ X ] $${\mathbb C}[X]$$ vom Grad ≥ 1 $$\geq 1$$ in ℂ $${\mathbb C}$$ eine Wurzel hat und somit über ℂ $${\mathbb C}$$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Einen (jetzt beliebigen) Körper K mit dieser Eigenschaft nennt man algebraisch abgeschlossen. Ist ein Körper K nicht algebraisch abgeschlossen, so werden wir eine algebraische Erweiterung K ¯ ∕ K $$\overline K/K$$ konstruieren, wobei K ¯ $$\overline K$$ algebraisch abgeschlossen ist. Das heißt, wir begründen einen fundamentalen Satz der Algebra: Jeder Körper hat einen algebraischen Erweiterungskörper, der algebraisch abgeschlossen ist – dieser ist im Wesentlichen eindeutig bestimmt. So ist beispielsweise ℂ $${\mathbb C}$$ dieser bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte algebraische Abschluss von ℝ $${\mathbb R}$$ .

Christian Karpfinger
26. Separable Körpererweiterungen

Abstract

Christian Karpfinger
27. Endliche Körper

Abstract

Christian Karpfinger
28. Die Galoiskorrespondenz

Abstract

Christian Karpfinger
29. Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung *

Mit dem Hauptsatz der endlichen Galoistheorie ist die Aufgabe, den Zwischenkörperverband einer endlichen Galoiserweiterung

Christian Karpfinger
30. Kreisteilungskörper

Aus der Analysis ist bekannt, dass die n-ten (komplexen) Einheitswurzeln.

Christian Karpfinger
31. Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale

Unter einer algebraischen Gleichung versteht man eine Gleichung der Form.

Christian Karpfinger
32. Die allgemeine Gleichung

Wir beenden nun diesen einführenden Kurs in die Algebra mit dem bedeutenden und berühmten Ergebnis von P. Ruffini und N. H. Abel.

Christian Karpfinger

Moduln

Frontmatter
33. Moduln *

Neben den Gruppen, Ringen und Körpern gehören auch die Moduln zu den wichtigsten algebraischen Strukturen.

Christian Karpfinger
Backmatter
Metadaten
Titel
Algebra
verfasst von
Christian Karpfinger
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-68656-0
Print ISBN
978-3-662-68655-3
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68656-0

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