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Über dieses Buch

Eine verständliche, konzise und immer flüssige Einführung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgfältige didaktische Aufbereitung bei vielen Studierenden Freunde findet. Die vorliegende Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit Lösungshinweisen) sowie einführenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die berühmten Formeln aus dem 16. Jahrhundert zur Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausführlich erläutert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.

Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das für das Studium der Algebra unentbehrlich ist.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Elementare Gruppentheorie

Der Gruppenbegriff ist im Rahmen dieses Buches in zweierlei Hinsicht von Bedeutung. Einerseits beinhaltet er eine grundlegende mathematische Struktur, die man insbesondere bei Ringen, Körpern, Vektorräumen und Moduln findet, wenn man die dort gegebene Addition als Verknüpfung benutzt. Gruppen dieses Typs sind stets kommutativ. Daneben sind für uns aber auch die auf E. Galois zurückgehenden Galois-Gruppen von zentralem Interesse, da diese für die Theorie algebraischer Gleichungen benötigt werden. Galois-Gruppen sind aus einfachster Sicht Permutationsgruppen, also Gruppen, deren Elemente als bijektive Selbstabbildungen einer gegebenen endlichen Menge, etwa \( \{ 1, \ldots ,n\} \), aufgefasst werden. In diesem Kapitel werden in knapper Form einige elementare Grundlagen über Gruppen zusammengestellt, Dinge, die den meisten Lesern bereits geläufig sein werden. Neben der Definition einer Gruppe handelt es sich um die Einführung von Normalteilern, der zugehörigen Faktorgruppen sowie um die Diskussion zyklischer Gruppen.
Siegfried Bosch

2. Ringe und Polynome

Ein Ring ist eine additiv geschriebene Kommutative Gruppe \( R \), auf der zusätzlich eine Multiplikation definiert ist, wie etwa beim Ring \( Z \) der ganzen Zahlen. Dabei verlangt man, dass Addition und Multiplikation im Sinne der Distributivgesetze miteinander verträglich sind. Bilden die von Null verschiedenen Elemente eines Ringes eine kommutative Gruppe bezüglich der Multiplikation, so handelt es sich um einen Körper.Wir benötigen Körper als Koeffizientenbereiche für algebraische Gleichungen, bzw. als Koeffizientenringe für Polynome. Zu Beginn des Kapitels wiederholen wir einige allgemeine Grundlagen zu Ringen und studieren dann insbesondere Polynomringe einer Variablen mit Koeffizienten aus einem Körper, bzw. allgemeiner Hauptidealringe. Als zentrales Thema folgt die Theorie der Primfaktorzerlegung einschließlich des Satzes von Gauß. In einem optionalen Abschnitt illustrieren wir schließlich noch das Rechnen in Hauptidealringen, indem wir auf die so genannte Elementarteilertheorie eingehen.
Siegfried Bosch

3. Algebraische Körpererweiterungen

Es sei \( K \) ein Körper und \( L \) ein Erweiterungskörper von \( K \), so dass sich also Addition und Multiplikation von \( L \) zu den gegebenen Verknüpfungen auf \( K \) einschränken. Man nennt \( L \) eine algebraische Körpererweiterung von \( K \), wenn jedes Element \( \alpha \in L \) eine algebraische Gleichung über \( K \) erfüllt, also eine Gleichung des Typs \( {\alpha ^n} + {c_1}{\alpha ^{n - 1}} + \ldots + {c_n} = 0 \) mit Koeffizienten \( {c_1}, \ldots ,{c_n} \in K \). Zentraler Punkt dieses Kapitels ist das Studium algebraischer Körpererweiterungen, wobei als Schlüssel hierzu die so genannten endlichen Körpererweiterungen dienen. Dabei heißt \( L \) über \( K \) endlich, wenn \( L \) aufgefasst als K-Vektorraum von endlicher Dimension ist. Beispielsweise zeigt ein simples Dimensionsargument für Vektorräume, dass jede endliche Körpererweiterung algebraisch ist. Die Umkehrung hierzu ist nicht allgemein gültig. Erfüllt aber ein Element \( \alpha \in L \) eine algebraische Gleichung über \( K \), so zeigt sich, dass \( K(\alpha ) \), der kleinste Teilkörper von \( L \), der \( K \) und \( \alpha \) enthält, bereits endlich und damit algebraisch über \( K \) ist.
Siegfried Bosch

4. Galois-Theorie

Eine algebraische Körpererweiterung \( K \subset L \) heißt normal, wenn jedes irreduzible Polynom aus \( K(X) \), welches in \( L \) eine Nullstelle hat, in \( L[X] \) bereits vollständig in lineare Faktoren zerfällt. Sind diese Faktoren stets paarweise verschieden, so ist die Erweiterung \( K \subset L \) separabel, und man spricht von einer Galois-Erweiterung. Hauptziel ist in diesem Kapitel die Herleitung des so genannten Hauptsatzes der Galois-Theorie, der für eine endliche Galois-Erweiterung \( K \subset L \) deren Zwischenkörper in Beziehung setzt zu den Untergruppen der Galois-Gruppe \( {\rm{Gal}}(L/K) \), d. h. der Gruppe aller Automorphismen von \( L \), die \( K \) invariant lassen. Eine Fülle von Anwendungen und Vertiefungen schließt sich an, darunter das Studium von Kreisteilungskörpern sowie zyklischen Erweiterungen als Vorbereitung zur Charakterisierung der Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. Die Thematik wird abgerundet durch einige weiterführende optionale Abschnitte, in denen unendliche Galois-Erweiterungen, Kummer-Theorie, Witt-Vektoren und Galois- Descent behandelt werden.
Siegfried Bosch

5. Fortführung der Gruppentheorie

Wir beginnen auf ganz elementare Weise mit Gruppenaktionen. Prototyp einer solchen Aktion ist die Interpretation der Galois-Gruppe einer algebraischen Gleichung \( f(x) = 0 \) als Gruppe von Permutationen der zugehörigen Lösungen. Als Anwendung beweisen wir die nach L. Sylow benannten Sätze über endliche Gruppen. Diese machen Aussagen über die Existenz von Untergruppen, deren Ordnung eine Primpotenz ist. Sodann haben wir einige Grundlagen über Permutationsgruppen zusammengestellt und behandeln insbesondere auflösbare Gruppen. Eine Gruppe \( G \) heißt auflösbar, wenn es eine Kette von Untergruppen \( G = {G_0} \supset {G_1} \supset \ldots \supset {G_n} = \{ 1\} \) gibt, so dass \( {G_{i + 1}} \) jeweils ein Normalteiler in \( {G_i} \) ist und die Faktoren \( {G_i}/{G_{i + 1}} \) alle kommutativ sind. Wir zeigen unter anderem, dass die symmetrische Gruppe \( {S_n} \) für \( n \ge 5 \) nicht auflösbar ist, woraus sich ergeben wird, dass die allgemeine Gleichung n-ten Grades für \( n \ge 5 \) nicht durch Radikale auflösbar ist.
Siegfried Bosch

6. Anwendungen der Galois-Theorie

In diesem Kapitel wenden wir die Galois-Theorie auf einige berühmte klassische Fragestellungen an. An prominenter Stelle ist hier das Problem der Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale zu nennen, also dasjenige Problem, welches E. Galois zur Entwicklung seiner “Galois”-Theorie motiviert hat. Wir zeigen für ein normiertes separables Polynom \( f \) mit Koeffizienten aus einem Körper \( K \), dass die algebraische Gleichung \( f(x) = 0 \) genau dann durch Radikale auflösbar ist, wenn die zugehörige Galois-Gruppe im gruppentheoretischen Sinne auflösbar ist. Zur rechnerischen Illustration behandeln wir anschließend die expliziten Auflösungsformeln für algebraische Gleichungen vom Grad 3 und 4. In weiteren Anwendungen geben wir einen Galois-theoretischen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra und gehen auch auf klassische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ein.
Siegfried Bosch

7. Transzendente Erweiterungen

Abschließend beschäftigen wir uns mit der Struktur allgemeiner Körpererweiterungen \( K \subset L \) ohne Algebraizitätsvoraussetzung. Man kann zu einer solchen Erweiterung ein System \( x = {({x_i})_{i \in I}} \) von Elementen aus \( L \) konstruieren, so dass dieses die Eigenschaften eines Systems von Variablen über \( K \) hat und \( L \) algebraisch über dem “Funktionenkörper” \( K(x) \) ist. Es wird \( x \) als Transzendenzbasis von \( L \) über \( K \) bezeichnet. Obwohl der Zwischenkörper \( K(x)\) nicht notwendig eindeutig durch die Erweiterung \( K \subset L \) bestimmt ist, verhalten sich Transzendenzbasen ähnlich wie Vektorraumbasen. Insbesondere sind je zwei Transzendenzbasen einer Erweiterung \( K \subset L \) von gleicher Mächtigkeit. Wir übertragen sodann im Rahmen optionaler Abschnitte die Begriffe separabel und rein inseparabel, oder primär, wie wir sagen werden, auf allgemeine Körpererweiterungen, wobei als wesentliches Hilfsmittel die Theorie der Tensorprodukte entwickelt wird. Alternativ zeigen wir, dass sich die Separabilität auch mit Mitteln formaler Differentialrechnung charakterisieren lässt.
Siegfried Bosch

Backmatter

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