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Über dieses Buch

Ausgehend von einer grundlegenden Einführung in Begriffe und Methoden der Algebra werden im Buch die wesentlichen Ergebnisse dargestellt und ein Einblick in viele Entwicklungen innerhalb der Algebra gegeben, die mit anderen Gebieten der Mathematik stark verflochten sind.

Beginnend mit Begriffsbildungen wie Gruppe und Ring führt das Buch hin zu den Körpererweiterungen und der Galoistheorie. Danach werden zentrale Teile der Theorie der Moduln, Algebren und Ringe behandelt. Die Theorie der Divisionsalgebren und ihre Klassifikation mit Hilfe der Brauergruppe werden entwickelt. Es schließen sich Einführungen in die algebraischen Zahlentheorie und die Theorie der quadratischen Formen an.

In zahlreichen Supplementen findet man Ausblicke auf weiterführende Themen. Betrachtet werden zum Beispiel allgemeine lineare Gruppen, Schiefpolynomringe, Darstellungen, Erweiterungen von Moduln, projektive Moduln und Frobenius-Algebren.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

I. Gruppen : Grundlagen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die grundlegenden Begriffe der Gruppentheorie eingeführt und erste Eigenschaften und Beispiele von Gruppen gegeben. Wir betrachten Gruppenerweiterungen, insbesondere semi-direkte Produkte, und Gruppenoperationen.
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

II. Gruppen : Strukturtheorie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die Gruppentheorie von Kapitel I fortgeführt. Die klassischen Sätze von Sylow werden bewiesen. Wir betrachten spezielle Klassen von Gruppen (auflösbare, nilpotente). Insbesondere werden alle endlichen abelschen Gruppen beschrieben.
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

III. Ringe

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die grundlegenden Begriffe der Ringtheorie eingeführt und erste Eigenschaften und Beispiele von Ringen gegeben. Wir betrachten dann die Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen, also die Frage nach der Existenz und der Eindeutigkei einer Primfaktorzerlegung.
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

IV. Polynomringe

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden Polynomringe (in einer und in mehreren Veränderlichen) eingeführt. Eigenschaften von Nullstellen von Polynomen werden bewiesen. Wir betrachten die Primfaktorzerlegung in Polynomringen und geben Kriterien für die Irreduzibilität von Polynomen an.
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

V. Elementare Theorie der Körpererweiterungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die allgemeine Theorie von Körpererweiterungen entwickelt. Wir betrachten spezielle Klassen von Erweiterungen: einfache, algebraische, endliche, normale, separable. Es wird gezeigt, daß jeder Körper eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung hat. Am Schluß wird die allgemeine Theorie auf die Beschreibung aller endlichen Körper angewendet.
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

VI. Galoistheorie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird zunächst der Hauptsatz der Galoistheorie bewiesen; danach gibt es unter bestimmten Voraussetzungen eine Bijektion von der Menge aller Zwischenkörper einer Körpererweiterung auf die Menge aller Untergruppen einer Automorphismengruppe. Diese Bijektion wird in bestimmten Fällen genauer beschrieben, insbesondere, wenn die Körpererweiterung durch Adjunktion einer Einheitswurzel oder, allgemeiner, einer beliebigen Wurzel, entsteht. Als Anwendung erhält man das klassische Resultat von Galois über die Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale. Außerdem beweisen wir die Existenz spezieller Basen („Normalbasen“) für die hier betrachteten Erweiterungen.
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

VII. Moduln : Allgemeine Theorie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die grundlegenden Begriffe der Modultheorie eingeführt und erste Eigenschaften und Beispiele von Moduln gegeben. Wir behandeln noethersche Moduln und untersuchen genauer die Theorie der Moduln über einem Hauptidealring. Schließlich werden Tensorprodukte von Moduln über kommutativen Ringen betrachtet.
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

VIII. Halbeinfache und artinsche Moduln und Ringe

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die Modultheorie von Kapitel VII fortgesetzt und auf die Ringtheorie angewendet, insbesondere auf die Theorie der nichtkommutativen Ringe. Die Theorie der einfachen und halbeinfachen Moduln führt zu einer Klassifikation der halbeinfachen Ringe. Mit Hilfe der Theorie der artinschen Moduln und des Radikals eines Moduls sehen wir, daß artinsche Ringe noethersch sind. Schließlich betrachten wir Moduln endlicher Länge und beweisen die grundlegenden Sätze von Jordan & Hölder (über Kompositionsreihen) und von Krull & Schmidt (über Zerlegungen in Unzerlegbare).
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

IX. Zentrale einfache Algebren

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die Theorie der endlich dimensionalen Divisionsalgebren über einem beliebigen Körper K entwickelt. Dabei kann man sich auf den Fall beschränken, daß K das Zentrum der Divisionalgebra ist. Es erweist sich als zweckmäßig, allgemeiner Matrizenringe über solchen Divisionsalgebren zu betrachten. Nach einem Satz von Wedderburn sind diese Matrizenringe bis auf Isomorphie genau die endlich dimensionalen K–Algebren mit Zentrum K, die keine echten zweiseitigen Ideale ungleich Null enthalten. Dies sind gerade die zentralen einfachen Algebren im Titel dieses Kapitels.
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

X. Ganze Ringerweiterungen und Dedekindringe

Zusammenfassung
Dem Begriff der algebraischen Körpererweiterung entspricht in der Ringtheorie der Begriff der ganzen Ringerweiterung, der bei Anwendungen in der algebraischen Geometrie und in der algebraischen Zahlentheorie eine große Rolle spielt. Im zweiten Fall betrachtet man als zentrale Objekte für jede endliche Körpererweiterung K \(/\mathbb{Q}\) den größten Unterring von K, der ganz über \(\mathbb{Z}\) ist — den Ring der ganzen Zahlen in K. Diese Ringe sind im Gegensatz zu \(\mathbb{Z}\) im allgemeinen keine Hauptidealringe mehr. Sie haben aber statt einer Zerlegung der Elemente in Primfaktoren eine (eindeutige) Zerlegung der Ideale als Produkte von Primidealen. Diese von Dedekind entdeckte Tatsache führt zum allgemeinen Begriff eines Dedekindringes, der nicht nur solche Zahlringe, sondern auch Ringe von algebraischen Funktionen umfaßt.
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

XI. Quadratische Formen

Zusammenfassung
Quadratische Formen über den ganzen Zahlen und die zugehörige arithmetische Theorie bilden als eine spezielle Klasse einen grundlegenden Gegenstand des Studiums der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen im Ring \(\mathbb{Z}\) oder im Körper der rationalen Zahlen. Ausgehend von Diophantos sind wesentliche Teile der Zahlentheorie der vergangenen Jahrhunderte durch Untersuchungen zu diesen Formen und ihren Verallgemeinerungen über algebraischen Zahlkörpern, verbunden mit den Namen Fermat, Gauss, Dirichlet und Minkowski, geprägt.
Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer

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