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26.11.2019 | Foundations | Ausgabe 2/2020

Soft Computing 2/2020

Algebraic semantics of the \(\left\{ \rightarrow ,\square \right\} \)-fragment of Propositional Lax Logic

Zeitschrift:
Soft Computing > Ausgabe 2/2020
Autoren:
Sergio A. Celani, Daniela Montangie
Wichtige Hinweise
Communicated by A. Di Nola.

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Abstract

In this paper, we will study a particular subvariety of Hilbert algebras with a modal operator \(\square \), called Lax Hilbert algebras. These algebras are the algebraic semantic of the \(\left\{ \square ,\rightarrow \right\} \)-fragment of a particular intuitionistic modal logic, called Propositional Lax Logic (\(\mathcal {PLL}\)), which has applications to the formal verification of computer hardware. These algebras turn to be a generalization of the variety of Heyting algebras with a modal operator studied, under different names, by Macnab (Algebra Univ 12:5–29, 1981), Goldblatt (Math Logic Q 27(31–35):495–529, 1981; J Logic Comput 21(6):1035–1063, 2010) and by Bezhanishvili and Ghilardi (Ann Pure Appl Logic 147:84–100, 2007). We shall prove that the set of fixpoints of a Lax Hilbert algebra \(\left\langle A,\square \right\rangle \) is a Hilbert algebra such that its dual space is homeomorphic to the subspace of reflexive elements of the dual space of A. We will define the notion of subframe of a Hilbert space \(\left\langle X,{\mathcal {K}}\right\rangle \), and we will prove that there is a 1–1 correspondence between subframes of \(\left\langle X,{\mathcal {K}}\right\rangle \) and binary relations \(Q\subseteq X\times X\) such that \(\left\langle X,{\mathcal {K}},Q\right\rangle \) is a Lax Hilbert space. In addition, we will define the notion of subframe variety and we will prove that any variety of Hilbert algebras is a subframe variety.

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