Algebraische Körpererweiterungen

Es sei

$$ K $$

ein Körper und

$$ L $$

ein Erweiterungskörper von

$$ K $$

, so dass sich also Addition und Multiplikation von

$$ L $$

zu den gegebenen Verknüpfungen auf

$$ K $$

einschränken. Man nennt

$$ L $$

eine

algebraische Körpererweiterung

von

$$ K $$

, wenn jedes Element

$$ \alpha \in L $$

eine algebraische Gleichung über

$$ K $$

erfüllt, also eine Gleichung des Typs

$$ {\alpha ^n} + {c_1}{\alpha ^{n - 1}} + \ldots + {c_n} = 0 $$

mit Koeffizienten

$$ {c_1}, \ldots ,{c_n} \in K $$

. Zentraler Punkt dieses Kapitels ist das Studium algebraischer Körpererweiterungen, wobei als Schlüssel hierzu die so genannten

endlichen

Körpererweiterungen dienen. Dabei heißt

$$ L $$

über

$$ K $$

endlich, wenn

$$ L $$

aufgefasst als

K

-Vektorraum von endlicher Dimension ist. Beispielsweise zeigt ein simples Dimensionsargument für Vektorräume, dass jede endliche Körpererweiterung algebraisch ist. Die Umkehrung hierzu ist nicht allgemein gültig. Erfüllt aber ein Element

$$ \alpha \in L $$

eine algebraische Gleichung über

$$ K $$

, so zeigt sich, dass

$$ K(\alpha ) $$

, der kleinste Teilkörper von

$$ L $$

, der

$$ K $$

und

$$ \alpha $$

enthält, bereits endlich und damit algebraisch über

$$ K $$

ist.