Algebraische Topologie

Die algebraische Topologie ist ein Teilgebiet der Topologie; der Zusatz algebraisch bedeutet, daß algebraische Hilfsmittel benutzt werden, um topologische Probleme zu lösen. Wer algebraische Topologie lernen will, muß daher eine Vorstellung von der Topologie haben, von der Vielfalt der konkreten Beispiele und Probleme, die sich hinter den Grundbegriffen topologischer Raum und stetige Abbildung verbergen. Viele Studenten begegnen der Topologie zuerst auf dem abstrakten Niveau der mengentheoretischen Topologie; sie lernen dort, daß folgenkompakt und kompakt nicht dasselbe ist und verwenden viel Scharfsinn, Räume zu konstruieren, die normal, aber nicht vollständig regulär sind. Um all das geht es hier überhaupt nicht. Alle Räume, die wir betrachten, sind geometrisch einfache Teilräume euklidischer Räume, oder sie sind aus solchen einfachen Teilräumen in bestimmter Weise zusammengesetzt; in der Regel haben sie alle topologischen Eigenschaften, die man in der mengentheoretischen Topologie kennenlernt. Und es geht nicht etwa um die Frage, wann ein Lindelöf-Raum parakompakt ist [Boto, 10.9], sondern um ganz andere Probleme, von denen wir im folgenden einen Eindruck geben.

Homotopie ist einer der wichtigsten Grundbegriffe der Topologie. Die Grundzüge der Homotopietheorie, die in diesem Paragraphen dargestellt werden, sind für das Verständnis aller folgenden Abschnitte unerläßlich.

Der allgemeine Begriff des topologischen Raumes ist zu umfassend, um eine für alle Räume gültige und inhaltsreiche Theorie entwickeln zu können. Wenn man konkrete topologische Probleme lösen will, beschränkt man sich daher auf spezielle Räume. Eine wichtige Klasse von Räumen bilden die Polyeder, die wir in diesem Abschnitt behandeln.

Für viele topologische Untersuchungen sind Polyeder zu speziell und komphziert und behebige topologische Räume zu allgemein. Wir führen daher eine weitere Klasse von Räumen ein, die CW-Räume (auch: CW-Komplexe, Zellenkomplexe). Da dieses Thema eigenthch in die mengentheoretische Topologie gehört, werden wir nicht alle Sätze beweisen, sondern gelegenthch auf die Literatur verweisen.

In diesem Kapitel beginnen wir mit der Algebraischen Topologie. Jedem Raum X wird eine Gruppe zugeordnet, die Fundamentalgruppe von X. Wir entwickeln Methoden zu ihrer Berechnung und geben verschiedene Anwendungen der Fundamentalgruppe auf topologische Probleme. Wir setzen im folgenden voraus, daß Sie mit den Grundbegriffen der Gruppentheorie vertraut sind (Gruppen, Homomorphismen, Untergruppen, Normalteiler, Restklassen usw.). Weitergehende Begriffe der Gruppentheorie werden erläutert; das Wichtigste über abelsche Gruppen finden Sie in 8.1.

Überlagerungen, sind in der Topologie und in einigen anderen Bereichen der Mathematik ein wichtiges Hilfsmittel. Wir entwickeln in diesem Kapitel die Theorie der Überlagerungen, behandeln ihren engen Zusammenhang mit Fundamentalgruppen und skizzieren einige Anwendungsbeispiele.

Unter den algebraischen Invarianten, die man topologischen Räumen zuordnen kann, sind die Homologiegruppen wegen ihrer leichten Berechenbarkeit und ihren vielfältigen Anwendungen besonders wichtig. Wirfolgen der historischen Entwicklung und führen zuerst die geometrisch sehr anschaulichen Homologiegruppen von Simplizialkomplexen ein. Der Leser, der noch wenig Erfahrung im Umgang mit abelschen Gruppen hat, sollte vor diesem Kapitel erst 8.1 lesen.

Wir stellen in diesem Kapitel das algebraische Werkzeug bereit, das zur Weiterführung der Homologietheorie unerläßlich ist. Dabei versuchen wir, den algebraischen Apparat zu minimieren, nicht, weil wir die Algebra nicht mögen, sondern um zu verhindern, daß die algebraische Topologie an ihrem Adjektiv erstickt.

Wir verallgemeinern die Überlegungen von Kapitel 7 und definieren für jeden topologischen Raum X die sogenannten singulären Homologiegruppen von X. Die Namensgebung ist historisch bedingt und irreführend: Diese Gruppen sind nicht singulär oder entartet, sie sind im Gegenteil die wichtigsten Invarianten topologischer Räume, die man in einem einführenden Kurs Algebraische Topologie kennenlernt.

Im folgenden ist G eine fest vorgegebene abelsche, additiv geschriebene Gruppe. Durch eine einfache Verallgemeinerung der Konstruktionen in den Abschnitten 7 und 9 erhält man statt der dort definierten Homologiegruppen die Homologiegruppen mit Koeffizienten in G. Für die topologischen Anwendungen sind besonders folgende Fälle wichtig: G = Z oder G = Z_n oder G = R = additive Gruppe der reellen Zahlen. Es ist nützlich, wenn man sich G im folgenden als eine dieser Gruppen vorstellt.

Als erste Anwendung beweisen wir den Satz 1.1.17 von der Invarianz der Dimension; der damalige Beweis ist ja unvollständig, da wir den unbewiesenen Satz von der Invarianz des Gebiets vorausgesetzt hatten. Zu zeigen ist, daß für m ≠ n sowohl S ^m ≉ S ⁿ als auch R^m ≉ Rⁿ gilt (zur Aussage D ^m ≉ D ⁿ siehe 11.2.5). Für m = 0 ist beides trivial. Sei m ’ 0. Dann ist H_m(S^m) ≅ Z und H _m (S ⁿ ) = 0, also sind S^m und S ⁿ nicht homöomorph (sie haben sogar verschiedenen Homotopietyp). Aus R^m ≈ Rⁿ folgt durch Übergang zu den Einpunktkompaktifizierungen S ^m ≈ Sⁿ, also m = n. Wer diese Konstruktion nicht benutzen will, kann auch so argumentieren: Aus R^m ≈ Rⁿ folgt R^m\0 ≈ Rⁿ\0, daraus S^m-1 ≃ S^n-1 und somit m = n.

Wir zeigen in diesem Kapitel, wie man die Homologiegruppen eines Produktraumes X × Y berechnet, wenn man die Homologie von X und Y kennt. Wichtiger als das Ergebnis 12.4.3 werden die entwickelten Methoden sein, die noch viele weitere Anwendungen haben. Die geometrische Grundidee zur Berechnung der Homologie von X × Y ist folgende: Je zwei Ketten c ∈ S _P (X) und d ∈ S _q (Y) wird eine Produktkette c × d ∈ S _p+q (X × Y) zugeordnet. Wir skizzieren zunächst, wie man sich diese Konstruktion geometrisch vorstellen kann.

Jedem Kettenkomplex C kann man außer den Homologiegruppen H _q (C) noch die sogenannten Cohomologiegruppen H ^q (C) zuordnen. Wendet man diese algebraische Konstruktion auf die simplizialen, zellulären und singulären Kettenkomplexe an, so erhält man die Cohomologiegruppen von Simplizialkomplexen, CW-Räumen und topologischen Räumen. Wir entwickeln in diesem Abschnitt nur die notwendige Technik; sie ist recht aufwendig und nicht besonders inhaltsreich — daß sie nützlich ist, wird erst in den Abschnitten 14 und 15 klar werden.

Der durch das universelle Koeffiziententheorem beschriebene Zusammenhang zwischen Cohomologie- und Homologiegruppen eines beliebigen Raumes ist rein algebraischer Natur und hat nichts mit Topologie zu tun. Bei Mannigfaltigkeiten gibt es jedoch noch einen anderen Zusammenhang zwischen Cohomologie und Homologie, der tiefliegende geometrisch-topologische Eigenschaften dieser Räume beschreibt: den Poincaréschen Dualitätssatz 14.2.1.

Die algebraischen Invarianten topologischer Räume, die wir bisher kennengelernt haben, sind Gruppen (Fundamentalgruppe, Co- und Homologiegruppen) oder Vektorräume (Co- und Homologiegruppen mit Koeffizienten in einem Körper). Im folgenden werden wir jedem topologischen Raum einen Ring zuordnen und damit topologische Eigenschaften der Räume beschreiben, die sich mit den früheren Methoden nicht erfassen lassen. In diesem ganzen Kapitel betrachten wir die Cohomologiegruppen H ^P (X; G), wobei wir voraussetzen, daß der Koeffizientenbereich G nicht nur eine abelsche Gruppe, sondern sogar ein kommutativer Ring mit 1- Element ist (nur die Fälle G = Z, Z _k . und G = Körper werden eine Rolle spielen).

In diesem Abschnitt führen wir die Homotopiegruppen ein, die höherdimensionale Verallgemeinerungen der Fundamentalgruppe sind. Wir setzen dabei voraus, daß der Leser die Homologietheorie verstanden hat. Zwar kann man die Homotopiegruppen auch definieren, ohne Homologiegruppen zu benutzen (vgl. die Aufgaben zu 16.2.A1-A4), aber da man sie dann kaum verstehen und nur wenig berechnen kann, ziehen wir den geschilderten Weg vor. Zur Vorbereitung untersuchen wir zunächst „hochzusammenhängende Räume“ und „hochzusammenhängende Raumpaare“; dabei werden nur elementare Methoden der Homotopietheorie aus Abschnitt 2 und die Theorie der CW-Räume aus Abschnitt 4 benutzt.

Die Schlußkette zur Berechnung von Homotopiegruppen bei Überlagerungen (vgl. 16.4.10) läßt sich auf eine wesentlich allgemeinere Situation, nämlich die der Faserungen, übertragen, und daraus ergeben sich weitere Berechnungsmöglichkeiten von Homotopiegruppen. Wir wollen nun eine kurze Einführung in die Theorie der Faserungen anschließen, die zugehörige exakte Sequenz der Homotopiegruppen herleiten und Homotopiegruppen einiger Räume mit ihrer Hilfe berechnen.

Mit den bisher entwickelten Methoden (Homologie-, Cohomologie- und Homotopiegruppen) greifen wir das Problem an, für gegebene Räume X und Y die Homotopieklassen der stetigen Abbildungen X → Y zu bestimmen, d.h. die Menge [X, Y] zu beschreiben.