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Über dieses Buch

Gegenstand des Buches sind Algorithmen zur Lösung gängiger Fragestellungen der Analysis und der Linearen Algebra. Die Gliederung erfolgt anhand der mathematischen Objekte, die in den vorgestellten Methoden die zentrale Rolle spielen. So stehen im vorliegenden Buch Zahlen, Vektoren und univariate Polynome im Mittelpunkt, während in einem nachfolgenden Band auf Algorithmen zu Matrizen, Funktionen und multivariaten Polynomen eingegangen wird. Nach einer Wiederholung der mathematischen Grundlagen stehen Entwicklung und Computerrealisierung der Lösungsmethoden im Vordergrund.

Der Leser erfährt, wie die jeweiligen mathematischen Objekte am Computer mit Hilfe von Datenstrukturen dargestellt werden können, und wie die damit verbundenen elementaren Rechenoperationen ausgeführt werden können, etwa die Addition rationaler Zahlen oder die Multiplikation zweier Polynome. Umfangreichere Problemstellungen werden hinsichtlich ihrer Lösbarkeit und ihrer Sensitivität gegenüber Störungen der Eingangsdaten untersucht. Darauf basierend werden Algorithmen zu deren Lösung hergeleitet und in Form von Pseudocode sowie anhand von Beispielen präsentiert. Die Diskussion der Algorithmen wird hinsichtlich des Aufwands, mit dem die Berechnung einer Lösung am Computer verbunden ist, sowie der Rechenfehler, die durch Diskretisierung, vorzeitigen Abbruch, Rundung und/oder fehlerhafte Eingangsdaten entstehen können, geführt. Tatsächliche Implementierungen in Mathematica und/oder Matlab der im Buch beschriebenen Algorithmen stehen als Download zur Verfügung.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

I. Grundbegriffe und Grundfragen einer algorithmischen Mathematik

In diesem Kapitel schaffen wir die Voraussetzungen für einen algorithmisch orientierten Zugang zur Lösung mathematischer Fragestellungen. Dazu überlegen wir uns, wie mathematische Probleme spezifiziert und welche Aussagen über deren Lösung getroffen werden können. Anhand einführender Beispiele wenden wir uns Algorithmen zur Problemlösung zu und diskutieren Eigenschaften von Algorithmen, die auch zu deren Qualitätsbeurteilung herangezogen werden können.
Phillipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

II. Zahlbereiche

Zahlen sind die Grundbausteine der Mathematik. Wir besprechen daher in diesem Kapitel verschiedene Zahlenmengen und ihre Darstellung am Computer. Für eine Menge A und n∈ℕ ist
$$ A^n : = A \times \cdots \times A: = \{ (a_1 , \ldots ,a_n ) | a_i \in {\rm A} f\ddot ur 1 \leqslant i \leqslant n\} , $$
(1)
wobei (a1,…,a n ) für ein n-Tupel stehlt. Als Grundoperationen auf einem Tupel tA n betrachten wir die Bestimmung der Anzahl der Komponenten, oft auch die Länge von t genannt und mit |t| bezeichnet, und den Zugriff t i (für 1≤i≤|t|) auf die einzelnen Komponenten des Tupels. Tupel sind nicht in ihrer Länge fixiert, wir wollen auch Operationen zum Einfügen und Löschen von Elementen an bestimmten Positionen und zum Zusammenhängen zweier Tupel zu einem längeren Tupel verwenden. Für jedes Tupel t bezeichnen wir mit t i:j das Tupel (t i ,…,t j ), wobei dies für i>j im leeren Tupel () resultiert. Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn sie gleiche Länge haben und alle Komponenten übereinstimmen.
Phillipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

III. Vektoren

Ein Vektorraum (über einem Körper K) ist eine mathematische Struktur, deren Objekte — die Vektoren — addiert und mit Elementen aus K multipliziert werden können. Die aus der Schule bekannten Vektoren mit zwei oder drei Koordinaten liefern geometrisch auschauliche Beispiele für Vektorräume (über ℝ), die Elemente eines Vektorraumes können aber auch viel abstrakterer Natur sein.
Phillipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

IV. Univariate Polynome

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Grundlagen zu univariaten Polynomen. Diese stellt man sich häufig als Summe von Potenzen einer Variable vor, auf der dann auch die Termdarstellung der Polynomfunktionen beruht. So besteht etwa ein Naheverhältnis zwischen dem Polynom 7−x+2x3 und der Funktion x→7−x+2x3. Wir erklären, wie man mit Polynomen rechnet und mit diesen am Computer umgeht. Insbesondere gehen wir auf die Polynomdivision mit Rest und die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers näher ein. Weiters stellen wir Algorithmen zur Polynomauswertung und zur klassischen Polynominterpolation vor.
Phillipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

Backmatter

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