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2017 | OriginalPaper | Buchkapitel

An Introduction to the Theory of Harmonic Maass Forms

verfasst von : Claudia Alfes-Neumann

Erschienen in: L-Functions and Automorphic Forms

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

In this note we give a short introduction to the theory of harmonic Maass forms. We start by introducing modular forms and Maass forms and then present the notion of (vector valued) harmonic Maass forms as developed by Bruinier and Funke in [4]. We end by giving two recent applications of this theory.

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Literatur
1.
Zurück zum Zitat Alfes, C.: CM values and Fourier coefficients of harmonic Maass forms. Dissertation. TU prints (2015) Alfes, C.: CM values and Fourier coefficients of harmonic Maass forms. Dissertation. TU prints (2015)
2.
Zurück zum Zitat Alfes, C., Griffin, M., Ono, K., Rolen, L.: Weierstrass mock modular forms and elliptic curves. Res. Number Theory 1(1), 1–31 (2015) Alfes, C., Griffin, M., Ono, K., Rolen, L.: Weierstrass mock modular forms and elliptic curves. Res. Number Theory 1(1), 1–31 (2015)
3.
Zurück zum Zitat Bringmann, K., Folsom, A., Ono, K., Rolen, L.: Harmonic Maass Forms and Mock Modular Forms: Theory and Applications, vol. 64. American Mathematical Society, Colloquium Publications (2018) Bringmann, K., Folsom, A., Ono, K., Rolen, L.: Harmonic Maass Forms and Mock Modular Forms: Theory and Applications, vol. 64. American Mathematical Society, Colloquium Publications (2018)
4.
Zurück zum Zitat Bruinier, J.H., Funke, J.: On two geometric theta lifts. Duke Math. J. 125(1), 45–90 (2004) Bruinier, J.H., Funke, J.: On two geometric theta lifts. Duke Math. J. 125(1), 45–90 (2004)
5.
Zurück zum Zitat Bruinier, J.H., Funke, J.: Traces of CM values of modular functions. J. Reine Angew. Math. 594, 1–33 (2006) Bruinier, J.H., Funke, J.: Traces of CM values of modular functions. J. Reine Angew. Math. 594, 1–33 (2006)
6.
Zurück zum Zitat Bruinier, J.H., Ono, K.: Heegner divisors, L-functions and harmonic weak Maass forms. Ann. Math. (2) 172(3), 2135–2181 (2010) Bruinier, J.H., Ono, K.: Heegner divisors, L-functions and harmonic weak Maass forms. Ann. Math. (2) 172(3), 2135–2181 (2010)
7.
Zurück zum Zitat Bruinier, J.H., Ono, K.: Algebraic formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic weak Maass forms. Adv. Math. 246, 198–219 (2013) Bruinier, J.H., Ono, K.: Algebraic formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic weak Maass forms. Adv. Math. 246, 198–219 (2013)
8.
Zurück zum Zitat Bruinier, J.H., Ono, K., Rhoades, R.C.: Differential operators for harmonic weak Maass forms and the vanishing of Hecke eigenvalues. Math. Ann. 342(3), 673–693 (2008) Bruinier, J.H., Ono, K., Rhoades, R.C.: Differential operators for harmonic weak Maass forms and the vanishing of Hecke eigenvalues. Math. Ann. 342(3), 673–693 (2008)
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Zurück zum Zitat Bruinier, J.H., van der Geer, G., Harder, G., Zagier, D.: The 1-2-3 of Modular Forms. In: Ranestad, K. (ed.) Lectures from the Summer School on Modular Forms and their Applications held in Nordfjordeid, June 2004. Universitext. Springer, Berlin (2008) Bruinier, J.H., van der Geer, G., Harder, G., Zagier, D.: The 1-2-3 of Modular Forms. In: Ranestad, K. (ed.) Lectures from the Summer School on Modular Forms and their Applications held in Nordfjordeid, June 2004. Universitext. Springer, Berlin (2008)
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Zurück zum Zitat Diamond, F., Shurman, J.: A First Course in Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics, vol. 228. Springer, New York (2005) Diamond, F., Shurman, J.: A First Course in Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics, vol. 228. Springer, New York (2005)
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Zurück zum Zitat Koecher, M., Krieg, A.: Elliptische Funktionen und Modulformen, Revised edn. Springer, Berlin (2007) Koecher, M., Krieg, A.: Elliptische Funktionen und Modulformen, Revised edn. Springer, Berlin (2007)
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Zurück zum Zitat Ono, K.: Unearthing the visions of a master: Harmonic Maass forms and number theory. In: Current Developments in Mathematics, 2008, pp. 347–454. International Press, Somerville, MA (2009) Ono, K.: Unearthing the visions of a master: Harmonic Maass forms and number theory. In: Current Developments in Mathematics, 2008, pp. 347–454. International Press, Somerville, MA (2009)
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Zurück zum Zitat Zagier, D.B.: Traces of singular moduli. In: Motives, Polylogarithms and Hodge theory, Part I (Irvine, CA, 1998). International Press Lecture Series, vol. 3, pp. 211–244. International Press, Somerville, MA (2002) Zagier, D.B.: Traces of singular moduli. In: Motives, Polylogarithms and Hodge theory, Part I (Irvine, CA, 1998). International Press Lecture Series, vol. 3, pp. 211–244. International Press, Somerville, MA (2002)
18.
Zurück zum Zitat Zwegers, S.P.: Mock θ-functions and real analytic modular forms. In: q-Series with Applications to Combinatorics, Number Theory, and Physics (Urbana, IL, 2000). Contemporary Mathematics, vol. 291, pp. 269–277. American Mathematical Society, Providence, RI (2001) Zwegers, S.P.: Mock θ-functions and real analytic modular forms. In: q-Series with Applications to Combinatorics, Number Theory, and Physics (Urbana, IL, 2000). Contemporary Mathematics, vol. 291, pp. 269–277. American Mathematical Society, Providence, RI (2001)
Metadaten
Titel
An Introduction to the Theory of Harmonic Maass Forms
verfasst von
Claudia Alfes-Neumann
Copyright-Jahr
2017
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-69712-3_17