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Über dieses Buch

Aus den Besprechungen: "Wodurch unterscheidet sich das hiermit begonnene Lehrwerk der Analysis von zahlreichen anderen, zum Teil im gleichen Verlag erschienenen, exzellenten Werken dieser Art? Mehreres ist zu nennen: (1) die ausführliche Berücksichtigung des Warum und Woher, der historischen Gesichtspunkte also, die in unserem von der Ratio geprägten Zeitalter ohnehin immer zu kurz kommen; (2) die Anerkennung der Existenz des Computers. Der Autor verschließt sich nicht vor der Tatsache, daß die Computermathematik (hier vor allem verstanden als numerische Mathematik) oft interessante Anwendungen der klassischen Analysis bietet. Als weitere attraktive Merkmale des Buches nennen wir (3) die große Fülle von Beispielen und nicht-trivialen (aber lösbaren) Übungsaufgaben, sowie (4) der häufige Bezug zu den Anwendungen. Man denke: Sogar die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, vor der manche Lehrbuchautoren eine unüberwindliche Scheu zu haben scheinen, ist gut lesbar dargestellt, mit vernünftigen Anwendungen. Alles in allem kann das Buch jedem Studierenden der Mathematik wegen der Fülle des Gebotenen und wegen des geschickten didaktischen Aufbaus auf das Wärmste empfohlen werden."
ZAMP

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

A. Grundlagen

Zusammenfassung
Die Entwicklung des Zahlbegriffs ist im Grundwissen-Band 1 Zahlen ausführlich dargestellt. Wir gehen darauf nur insoweit ein, als es zum Verständnis der Analysis in ihrem historischen Werdegang notwendig erscheint.
Wolfgang Walter

B. Grenzwert und Stetigkeit

Zusammenfassung
Zu den wichtigsten und ältesten Themen der Mathematik gehört die Bildung und Untersuchung von Grenzwerten. Bereits bei den Babyloniern gibt es Überlegungen im Vorfeld des Grenzwertbegriffs, und zwar im Zusammenhang mit der Approximation von irrationalen Größen, wie sie bei Aufgaben mit quadratischen Gleichungen vorkommen. Uns sind bewundernswerte Approximationen aus dieser Zeit überliefert, z.B. der Näherungswert
$$ 1;24;51;10 = 1 + \frac{{24}}{{60}} + \frac{{51}}{{{{60}^2}}} + \frac{{10}}{{{{60}^3}}} = 1,41421296$$
für \( \sqrt 2\) mit einem Fehler 6·10-7. Jedoch fehlen, soweit wir wissen, grundsätzliche Untersuchungen über die Unmöglichkeit, den genauen Wert anzugeben.
Wolfgang Walter

C. Differential- und Integralrechnung

Zusammenfassung
Länge, Fläche und Volumen, die klassischen Aufgaben der Integrationstheorie, gehören zu den ältesten und fruchtbarsten mathematischen Themen. Sie waren für die Babylonier der Anlaß, sich mit quadratischen Gleichungen zu beschäftigen und Quadratwurzeln zu berechnen. Beim Längenvergleich entdeckten die Griechen irrationale (inkommensurable) Größen. Fragen der Rektifikation, Quadratur und Kubatur (Längen-, Flächen- und Volumenbestimmung) führten mit Notwendigkeit zu infinitesimalen Betrachtungen. Daraus entwickelten die Griechen den Limesbegriff im geometrischen Gewand, wie ihn Eudoxos in aller Strenge formuliert hat. Schließlich hat im 17. Jahrhundert vor allem anderen das Quadraturproblem die Entwicklung der Differential- und Integralrechnung angeregt.
Wolfgang Walter

Backmatter

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