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Über dieses Buch

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik relevant sind. Der Text wurde für die 7. Auflage weiter überarbeitet und es kamen einige neue Aufgaben und Abbildungen sowie ein Symbolverzeichnis hinzu.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

§ 1. Mengenalgebren

Zusammenfassung
In diesem Paragraphen führen wir Mengenringe, Mengenalgebren und σ-Algebren ein, das sind gewisse Systeme von Teilmengen einer Grundmenge. Sie dienen als Definitionsbereich von Inhalten und Maßen, die im nächsten Paragraph eingeführt werden. Mengenalgebren sind abgeschlossen gegenüber Komplementbildung sowie endlichen Vereinigungen und Durchschnitten. In σ-Algebren sind sogar Vereinigungen und Durchschnitte von abzählbaren Familien möglich. Wichtig für das Lebesgue-Maß im ℝ n ist der Mengenring der endlichen Quadersummen sowie die davon erzeugte σ-Algebra der Borelschen Teilmengen des ℝ n .
Otto Forster

§ 2. Inhalte, Prämaße, Maße

Zusammenfassung
Ein Inhalt ist eine nicht-negative numerische Funktion auf einem Mengenring mit der Eigenschaft, dass der Inhalt einer Vereinigung zweier punktfremder Mengen gleich der Summe der Inhalte der einzelnen Mengen ist. Wichtig für die Integrations-Theorie ist eine Verschärfung dieser Eigenschaft, die σ-Additivität. Ein Inhalt heißt σ-additiv, wenn der Inhalt einer abzählbaren Vereinigung punktfremder Mengen gleich der Summe der Inhalte der einzelnen Mengen ist. Der elementar-geometrische Inhalt auf dem Mengenring der Quadersummen im ℝ n hat diese Eigenschaft. Sie ist wesentlich dafür, dass man diesen Inhalt zu einem Maß auf der Borel-Algebra des ℝ n fortsetzen kann, was im nächsten Paragraphen durchgeführt wird. Ein Maß ist dabei ein σ-additiver Inhalt, der auf einer σ-Algebra definiert ist.
Otto Forster

§ 3. Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß

Zusammenfassung
Wir haben im vorigen Paragraphen das Lebesguesche Prämaß in Anlehnung an den elementargoemetrischen Inhalt auf dem Mengenring der endlichen Quadersummen im ℝ n definiert. Wir zeigen jetzt, dass man dieses Prämaß eindeutig zu einem Maß auf die σ-Algebra aller Borelschen Mengen fortsetzen kann, so dass also insbesondere jeder kompakten Teilmenge des ℝ n eine wohldefinierte Maßzahl (Volumen) zugeordnet werden kann. Dieser Fortsetzungsprozess funktioniert allgemeiner für beliebige σ-endliche Prämaße auf einem Mengenring eines abstrakten Raumes. Ein solches Prämaß kann eindeutig zu einem Maß auf der von dem Mengenring erzeugten σ-Algebra fortgesetzt werden.
Otto Forster

§ 4. Integration messbarer Funktionen

Zusammenfassung
Nachdem wir nunmehr Maße zu Verfügung haben, insbesondere das Lebesguesche Maß, können wir Integrale definieren. Damit eine auf einem Maßraum (Ω,𝔄, µ) definierte numerische Funktion f integrierbar ist, ist zunächst einmal Voraussetzung, dass f messbar ist, d.h. dass für jede reelle Zahl c die Menge {x ∈ Ω : f (x) ≥ c} zur σ-Algebra 𝔄 gehört. Insbesondere ist die charakteristische Funktion ΧA einer Teilmenge A ⊂ Ω genau dann messbar, wenn A ∈ 𝔄. In diesem Fall ist das Integral ∫ ΧA definitionsgemäß gleich µ(A). Verlangt man noch die Linearität sowie die Vertauschbarkeit des Integrals mit monotonen Limiten, so ergibt sich die allgemeine Definition des Integrals fast automatisch.
Otto Forster

§ 5. Konvergenz- und Approximations-Sätze

Zusammenfassung
Der Vorteil der Lebesgueschen Integrationstheorie gegenüber der Riemannschen ist vorallem durch die stärkeren Konvergenzsätze begründet. Wir beweisen hier die zwei wichtigsten Konvergenzsätze, den Satz von der monotonen Konvergenz und den Satz von der majorisierten Konvergenz. Der letztere Satz sagt aus, dass bei einer Folge (f k ) von integrierbaren Funktionen, die punktweise gegen eine Funktion f konvergiert, Integration und Limesbildung vertauscht werden kann, falls nur alle Funktionen |f k | eine gemeinsame integrierbare Majorante besitzen. Außerdem zeigen wir in diesem Paragraphen, dass jede integrierbare Funktion beliebig genau (im Sinne der sog. L 1-Norm) durch Treppenfunktionen approximiert werden kann. Auf dem ℝ n ist eine solche Approximation auch durch stetige Funktionen mit kompaktem Träger möglich.
Otto Forster

§ 6. Bewegungs-Invarianz des Lebesgueschen Maßes

Zusammenfassung
Das Lebesguesche Maß im ℝ n wurde ausgehend vom elementar-geometrischen Volumen achsen- paralleler Quader konstruiert. Diese Definition hängt scheinbar vom gewählten Koordinaten- System ab. Wir werden aber in diesem Paragraphen zeigen, dass das Lebesguesche Maß nur von der Euklidischen Metrik abhängt, d.h. invariant gegenüber längentreuen Abbildungen ist. Allgemeiner untersuchen wir das Verhalten unter beliebigen linearen Transformationen. Es zeigt sich, dass dabei das Maß mit einem Faktor multipliziert wird, der gleich dem Absolutbetrag der Determinante der linearen Transformation ist. Daraus leiten wir noch das Transformations- Verhalten des Lebesgueschen Integrals bei linearen Abbildungen ab.
Otto Forster

§ 7. Cavalierisches Prinzip, Satz von Fubini

Zusammenfassung
Das Cavalierische Prinzip erlaubt es, das Volumen einer messbaren Menge im ℝ n auf das Volumen von (n−1)-dimensionalen Schnittmengen und ein eindimensionales Integral zurückzuführen; allgemeiner auf das Volumen (nk)-dimensionaler Schnittmengen und ein k-dimensionales Integral.Wir werden dieses Prinzip benutzen, um das Volumen einiger einfacher Körper im ℝ n , insbesondere der n-dimensionalen Einheits-Kugel, explizit zu berechnen. Allgemeiner als das Cavalierische Prinzip ist der Satz von Fubini, bei dem ein Integral über den ℝ n auf (nk)-dimensionale Integrale und ein Integral über den ℝ k zurückgeführt wird. Durch Induktion ergibt sich, dass man ein n-dimensionales Integral mittels lauter eindimensionaler Integrale berechnen kann.
Otto Forster

§ 8. Rotationssymmetrische Funktionen

Zusammenfassung
In diesem Paragraphen untersuchen wir die Integration rotationssymmetrischer Funktionen im ℝ n , die man auf die Integration von Funktionen einer Veränderlichen zurückführen kann. Obwohl dies nur ein Spezialfall eines allgemeineren Satzes ist, den wir in § 14 beweisen werden, behandeln wir diesen einfachen Fall schon jetzt. Er liefert uns Beispielmaterial für spätere Paragraphen und ist zugleich eine schöne Illustration der Integration nach einem Bildmaß.
Otto Forster

§ 9. Die Transformationsformel

Zusammenfassung
Die Transformationsformel für Integrale von Funktionen mehrerer Veränderlichen ist die Verallgemeinerung der Substitutionsregel für Funktionen einer Veränderlichen. Sie macht eine Aussage darüber, wie sich das Integral bei stetig differenzierbaren Koordinatentransformationen verhält. Dies ist uns für lineare Koordinatentransformationen bereits aus § 6 bekannt. Für beliebige differenzierbare Koordinatentransformationen erfolgt der Beweis durch Zurückführung auf den linearen Fall mittels lokaler Approximation. Ein für viele Anwendungen nützlicher Spezialfall ist die Integration bzgl. Polarkoordinaten. Eine wesentliche Rolle spielt die Transformationsformel später in der Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten (siehe § 14).
Otto Forster

§ 10. Partielle Integration

Zusammenfassung
Wir werden jetzt die bekannte Regel der partiellen Integration von Funktionen einer reellen Veränderlichen in einem speziellen Fall auf mehrere Veränderliche verallgemeinern. Dies ist eine Vorstufe für die in späteren Paragraphen zu beweisenden Integralsätze im ℝ n . Als eine Anwendung der partiellen Integration leiten wir den Begriff des adjungierten Differentialoperators her. Außerdem leiten wir in diesem Paragraphen mit Hilfe der Transformationsformel für mehrfache Integrale und partieller Integration die Darstellung des Laplace-Operators in krummlinigen Koordinaten ab.
Otto Forster

§ 11. Parameterabhängige Integrale

Zusammenfassung
Häufig sind Funktionen definiert durch Integrale der Gestalt g(t) = ∫ f (x, t)dx. Wir untersuchen in diesem Paragraphen, unter welchen Voraussetzungen für f die entstehende Funktion g stetig bzw. differenzierbar von t abhängt. Unter Benutzung der Konvergenzsätze der Lebesgueschen Integrationstheorie ergeben sich hier viel stärkere Sätze als bei den entsprechenden Untersuchungen in An. 2, §10, im Rahmen der Riemannschen Integrationstheorie.
Otto Forster

§ 12. Die Lp-Räume

Zusammenfassung
Wir führen jetzt die L p -Räume (p ≥ 1) ein, die in der Analysis eine wichtige Rolle spielen. Sie bestehen aus allen messbaren Funktionen f, für die das Integral von | f | p endlich ist. Die p-te Wurzel aus diesem Integral definiert eine Norm auf L p , bzgl. der L p vollständig ist. Insbesondere ergibt sich, dass L 2 ein Hilbertraum ist.
Otto Forster

§ 13. Fourier-Integrale

Zusammenfassung
Zu den wichtigsten parameterabhängigen Integralen gehören die Fourier-Integrale, die das kontinuierliche Analogon der Fourier-Reihen sind. Bei der Darstellung der Theorie der Fourier-Integrale werden wir Gelegenheit haben, alle bisher gelernten Sätze der Integrations-Theorie anzuwenden.
Otto Forster

§ 14. Integration auf Untermannigfaltigkeiten

Zusammenfassung
In diesem Paragraphen soll präzisiert werden, was es heißt, Funktionen über Flächen zu integrieren und wie der Flächeninhalt (von gekrümmten Flächen im Raum) definiert ist. Der klassische Fall sind die zweidimensionalen Flächen im dreidimensionalen Raum. Wir behandeln jedoch gleich allgemeiner k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten im ℝ n , die lokal als Nullstellengebilde von nk differenzierbaren Funktionen beschrieben werden, deren Funktionalmatrix maximalen Rang hat.
Otto Forster

§ 15. Der Gaußsche Integralsatz

Zusammenfassung
Wir kommen jetzt zum wichtigsten Satz der Integralrechnung im ℝ n , dem Gaußschen Integralsatz. Er erlaubt, das Volumenintegral über die Divergenz eines Vektorfeldes durch ein Oberflächenintegral zu ersetzen. Dies ist das n-dimensionale Analogon des Fundamentalsatzes der Integral- und Differentialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen. Der Gaußsche Integralsatz hat viele Anwendungen in der mathematischen Physik, wovon wir einige in den folgenden Paragraphen kennenlernen werden.
Otto Forster

§ 16. Die Potentialgleichung

Zusammenfassung
In diesem Paragraphen benützen wir die Greensche Integralformel, um Integraldarstellungen für Lösungen der homogenen (inhomogenen) Potentialgleichung Δu = 0 (bzw. Δu = ρ) abzuleiten.
Otto Forster

§ 17. Distributionen

Zusammenfassung
In diesem Paragraphen führen wir den Begriff der Distribution ein. Distributionen sind verallgemeinerte Funktionen. Die Klasse der Distributionen hat viele angenehme Eigenschaften, die innerhalb der kleineren Klasse der stetigen Funktionen nicht gelten. Z.B. ist jede Distribution beliebig oft differenzierbar; bei Distributionen ist Limesbildung und Differentiation immer vertauschbar. Die Distributionen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen; z.B. lässt sich der Begriff der Fundamental-Lösung (die im vorigen Paragraphen behandelten Newton-Potentiale sind ein Spezialfall davon) erst in der Theorie der Distributionen befriedigend definieren. Wir bestimmen in diesem Paragraphen Fundamental-Lösungen für die Potentialgleichung, die Helmholtzsche Schwingungsgleichung und die Wärmeleitungsgleichung.
Otto Forster

§ 18. Pfaffsche Formen, Kurvenintegrale

Zusammenfassung
In den folgenden vier Paragraphen wollen wir die mehrdimensionale Integration noch einmal von einem anderen Gesichtspunkt aus mit Hilfe des Differentialformen-Kalküls betrachten. Wir definieren zunächst die Differentialformen 1. Ordnung, die sog. Pfaffschen Formen. Sie können über Kurven integriert werden. Dabei interessiert uns insbesondere die Frage, unter welchen Umständen das Integral nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve, nicht aber von der speziellen Kurve selbst abhängt. Als Spezialfall ergibt sich insbesondere der Cauchysche Integralsatz für holomorphe Funktionen.
Otto Forster

§ 19. Differentialformen höherer Ordnung

Zusammenfassung
Wir führen jetzt die Differentialformen höherer Ordnung ein. Sie sind Linearkombinationen von äußeren Produkten Pfaffscher Formen. Dazu sind zunächst einige algebraische Vorbereitungen über alternierende Multilinearformen nötig. Neben den algebraischen Operationen gibt es für Differentialformen die äußere Ableitung, die aus einer Differentialform der Ordnung k eine der Ordnung k+1 macht und die eine Verallgemeinerung des totalen Differentials von Funktionen ist. Im Differentialformen-Kalkül ist die klassische Vektoranalysis mit ihren Begriffsbildungen wie Gradient, Rotation, Divergenz enthalten.
Otto Forster

§ 20. Integration von Differentialformen

Zusammenfassung
Während Pfaffsche Formen über Kurven integriert werden, sind die Integrationsbereiche für k-Formen k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten. Dabei spielt der Begriff der Orientierung eine große Rolle, den wir in diesem Paragraphen eingehend diskutieren. Speziell für Hyperflächen ist die Orientierung gleichbedeutend mit der Vorgabe eines Normalen-Einheitsfeldes. Insbesondere kann für ein Kompaktum mit glattem Rand im ℝ n der Rand durch das äußere Normalenfeld kanonisch orientiert werden. Wir behandeln in diesem Paragraphen außerdem für Hyperflächen den Zusammenhang zwischen der Integration von (n−1)-Formen und der Integration von Funktionen bzgl. des Flächenelements.
Otto Forster

§ 21. Der Stokessche Integralsatz

Zusammenfassung
Wir kommen jetzt zum Höhepunkt der Integrationstheorie im ℝ n , dem allgemeinen Stokesschen Integralsatz für Untermannigfaltigkeiten. Dieser Integralsatz besticht schon durch seine elegante Formulierung
A dω = ∫ A ω.
Dabei ist A ein Kompaktum mit glattem Rand ∂A auf einer k-dimensionalen Untermannigfaltigkeit und ω eine stetig differenzierbare (k − 1)-Form in einer Umgebung von A. Der allgemeine Stokessche Satz enthält als Spezialfälle den Gaußschen Integralsatz sowie den klassischen Stokesschen Integralsatz für Flächen im ℝ3. Wir leiten in diesem Paragraphen außerdem die Cauchysche Integralformel für holomorphe Funktionen einer Veränderlichen sowie die Bochner-Martinellische Integralformel für holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlichen aus dem Stokesschen Integralsatz ab und beweisen den Brouwerschen Fixpunktsatz.
Otto Forster

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