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2025 | Buch

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Analysis für Informatiker

Grundlagen, Methoden, Algorithmen

verfasst von: Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis
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Über dieses Buch

Diese grundlegende Einführung in die Analysis wendet sich an Informatiker im ersten Studienabschnitt. Um speziell auf die Bedürfnisse des Informatikstudiums einzugehen, haben die Autoren diesem Werk folgende Konzepte zugrunde gelegt: Algorithmischer Zugang, schlanke Darstellung, Software als integrativer Bestandteil, Betonung von Modellbildung und Anwendungen der Analysis. Der Gegenstand des Buches liegt im Spannungsfeld zwischen Mathematik, Informatik und Anwendungen. Hier kommt dem algorithmischen Denken ein hoher Stellenwert zu. Der gewählte Zugang beinhaltet: Entwicklung der Grundlagen der Analysis aus algorithmischer Sichtweise, Vergegenständlichung der Theorie mittels MATLAB- und Maple-Programmen und Java-Applets, Behandlung grundlegender Konzepte und Verfahren der numerischen Analysis. Das Buch kann ab dem ersten Semester als Vorlesungsgrundlage, als Begleittext zu einer Vorlesung oder im Selbststudium verwendet werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Zahlen
Zusammenfassung
Die aus dem Alltagsleben bekannten rationalen Zahlen (Bruchzahlen) reichen nicht aus, um Analysis rigoros betreiben zu können. Die historische Entwicklung zeigt vielmehr, dass für die Belange der Analysis der Zahlenbereich der rationalen Zahlen zum Bereich der reellen Zahlen erweitert werden muss. Der Anschaulichkeit halber führen wir die reellen Zahlen als Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen ein.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 2. Reellwertige Funktionen
Zusammenfassung
Der Funktionsbegriff ist die mathematische Formalisierung der Idee, dass einer oder mehreren unabhängigen Größen eine oder mehrere abhängige Größen zugeordnet werden. Funktionen und ihr Studium stehen im Zentrum der Analysis. Sie dienen zur Modellierung von Abhängigkeiten variabler Größen, von einfachen Graphen in der Ebene über Kurven und Flächen im Raum bis zu Lösungen von Differentialgleichungen oder der algorithmischen Konstruktion von Fraktalen.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 3. Trigonometrie
Zusammenfassung
Die Winkelfunktionen spielen bei geometrischen Überlegungen sowie bei der Modellierung von Schwingungsvorgängen eine große Rolle. Wir führen diese Funktionen anschaulich durch Relationen am rechtwinkeligen Dreieck ein und setzen sie über den Einheitskreis periodisch auf ℝ fort. Außerdem besprechen wir in diesem Abschnitt die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 4. Komplexe Zahlen
Zusammenfassung
Komplexe Zahlen finden nicht nur beim Lösen polynomialer Gleichungen Verwendung, sondern spielen allgemein eine wichtige Rolle in der Analysis. So lassen sich mittels komplexer Funktionen Transformationen der Ebene darstellen, Lösungsformeln für Differentialgleichungen gewinnen und Matrizen klassifizieren. Nicht zuletzt können Fraktale mittels Eigenschaften komplexer Iterationsverfahren definiert werden.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 5. Folgen und Reihen
Zusammenfassung
Das Konzept eines Grenzübergangs im Unendlichen ist die zentrale Idee der Analysis, die allen ihren wesentlichen Begriffen, wie der Stetigkeit, der Differenzierbarkeit, der Entwicklung von Funktionen in Reihen, dem Integral usw. zu Grunde liegt. Der Grenzübergang vom Diskreten zum Kontinuierlichen macht die Modellierungskraft der Analysis aus. Auch diskrete Modelle physikalischer, technischer oder wirtschaftlicher Vorgänge lassen sich, soferne die Anzahl ihrer Atome – ihrer diskreten Grundbausteine – hinreichend groß ist, oft besser und einfacher verstehen, wenn man sie mittels Grenzübergang durch ein kontinuierliches Modell approximiert.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 6. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt erweitern wir den Begriff des Grenzwerts von Folgen zum Begriff des Grenzwerts von Funktionen. Damit erhalten wir einerseits ein Hilfsmittel zur feinen Untersuchung des Verhaltens von Funktionsgraphen in der Nähe ausgewählter Punkte, andererseits sind Grenzwerte von Funktionen die Grundlage des zentralen Themas der Analysis, der Differentiation (Kap. 7). Für die Herleitung von Ableitungsformeln werden einige elementare Grenzwerte benötigt, wie etwa Grenzwerte trigonometrischer Funktionen.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 7. Die Ableitung einer Funktion
Zusammenfassung
Ausgehend vom Problem, die Tangente an einen Funktionsgraphen zu bestimmen, führen wir die Ableitung einer Funktion ein. Dabei wird in einem Grenzübergang das diskrete Modell der Sekante durch das kontinuierliche Modell der Tangente ersetzt. Die auf diesem Grenzübergang beruhende Differentialrechnung wurde zu einem der bedeutendsten Bausteine der mathematischen Modellbildung.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 8. Anwendungen der Ableitung
Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist einigen Anwendungen der Ableitung gewidmet, deren Kenntnis zu den Grundfertigkeiten der Modellbildung gehören. Wir beginnen mit der Kurvendiskussion. Gemeint ist damit die Beschreibung von geometrischen Eigenschaften von Funktionsgraphen mit Hilfe der Ableitung.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 9. Fraktale und L-Systeme
Zusammenfassung
In der Geometrie werden Objekte üblicherweise durch explizite Regeln und Transformationen bestimmt, die einfach in mathematische Formeln übersetzt werden können. Beispielsweise ist ein Kreis die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt (a, b) den festen Abstand r haben:
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 10. Stammfunktionen
Zusammenfassung
Die Ableitung einer Funktion \(y = F\left( x \right)\) beschreibt deren lokale Änderungsrate, also die Änderung \(\Delta y\) des \(y\)-Werts bezogen auf die Änderung \(\Delta x\) des \(x\)-Werts im Grenzübergang \(\Delta x \to 0,\) genauer
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 11. Bestimmte Integrale
Zusammenfassung
In der Einleitung zu Kap. 10 wurde erläutert, wie die Summation von Ausdrücken der Form \(f\left( x \right)\Delta x\) im Grenzübergang zum Begriff des bestimmten Integrals der Funktion f über einem Intervall \(\left[ {a,\,b} \right]\) führt. In zahlreichen Anwendungen treten derartige Summen in der Modellbildung auf, von der Flächen-, Oberflächen- und Volumsberechnung bis zur Längenberechnung von Kurven. Wir benützen in diesem Kapitel den Riemann’schen Integralbegriff, um das Konzept der bestimmten Integration zu präzisieren.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 12. Taylorreihen
Zusammenfassung
Approximationen komplizierter Funktionen durch einfachere Funktionen spielen in der angewandten Mathematik einen große Rolle. Ausgehend von der linearen Approximation besprechen wir in diesem Kapitel die Approximation einer Funktion durch Taylorpolynome sowie durch die Taylorreihe. Als wichtige Anwendungen behandeln wir unter anderem die Bestimmung von Grenzwerten einer Funktion sowie die Analyse von Näherungsformeln der numerischen Mathematik.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 13. Numerische Integration
Zusammenfassung
Motiviert durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bietet sich folgende Vorgangsweise zur Berechnung von bestimmten Integralen an: Man sucht zunächst eine Stammfunktion F des Integranden f und bestimmt daraus den Wert des Integrals
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 14. Kurven
Zusammenfassung
Der Graph einer Funktion \(y = f\left( x \right)\) stellt eine Kurve in der Ebene dar. Dieses Konzept ist jedoch zu eng, um komplexere Kurvenverläufe darzustellen, etwa Schleifen, Überschneidungen oder gar Kurven fraktaler Dimension. Ziel dieses Kapitels ist es, das Konzept parametrisierter Kurven einzuführen und speziell den Fall differenzierbarer Kurven zu studieren.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 15. Skalarwertige Funktionen in zwei Veränderlichen
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt untersuchen wir Funktionen in zwei Veränderlichen mit Hilfe der Differentialrechnung. Insbesondere bestimmen wir geometrische Objekte wie Tangenten und Tangentialebenen an den Graphen, Maxima und Minima, sowie lineare und quadratische Approximationen. Die Einschränkung auf zwei Veränderliche treffen wir aus rein didaktischen Gründen.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 16. Vektorwertige Funktionen in zwei Veränderlichen
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt streifen wir kurz die Theorie vektorwertiger Funktionen in mehreren Veränderlichen. Dabei beschränken wir uns der Einfachheit halber wieder auf den Fall von Funktionen in zwei Veränderlichen.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 17. Integralrechnung in zwei Veränderlichen
Zusammenfassung
Wir haben in Abschnitt 11.3 vorgeführt, wie man das Volumen von Drehkörpern berechnen kann. Liegt keine Drehsymmetrie vor, ist also zum Beispiel das Volumen des Körpers zu ermitteln, der zwischen einem Bereich D der \(\left( {x,\,y} \right)\)-Ebene und dem Graphen einer nichtnegativen Funktion \(z = f\left( {x,\,y} \right)\) liegt, so benötigt man eine Erweiterung der Integralrechnung auf zwei Variable. Wir werden in diesem Abschnitt den Begriff des Riemannintegrals aus Kap. 11 auf Funktionen zweier Veränderlicher übertragen.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 18. Lineare Regression
Zusammenfassung
Die lineare Regression ist eine der wichtigsten Methoden der Datenanalyse. Sie dient der Bestimmung von Modellparametern, der Modellanpassung, der Überprüfung der Stärke von Einflussfaktoren und der Prognose in allen Bereichen der Human-, Natur- und Wirtschaftswissenschaften. Informatiker und Informatikerinnen, die mit Anwendern aus diesen Gebieten zusammenarbeiten, werden mit Sicherheit Regressionsmodellen begegnen.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 19. Differentialgleichungen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel besprechen wir die Theorie von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Wir beschränken uns zunächst auf skalare Gleichungen; Systeme werden im folgenden Kapitel behandelt.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 20. Systeme von Differentialgleichungen
Zusammenfassung
Systeme von Differentialgleichungen, oft als differenzierbare dynamische Systeme bezeichnet, spielen eine wichtige Rolle in der Modellierung von zeitabhängigen Vorgängen in der Mechanik, Meteorologie, Biologie, Medizin, Ökonomie und anderen Wissenschaften. Sie eignen sich gut zur Demonstration der Modellbildung mit den Konzepten der Analysis. Wir beschränken uns auf zweidimensionale Systeme, deren Lösungen (Trajektorien) anschaulich als Kurven in der Ebene dargestellt werden können.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Kapitel 21. Numerik von Differentialgleichungen
Zusammenfassung
Wie wir in den letzten beiden Kapiteln gesehen haben, lassen sich nur spezielle Klassen von Differentialgleichungen analytisch lösen. Speziell bei nichtlinearen Problemen ist man oft auf numerische Verfahren angewiesen.
Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann
Backmatter
Metadaten
Titel
Analysis für Informatiker
verfasst von
Michael Oberguggenberger
Alexander Ostermann
Copyright-Jahr
2025
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-71573-4
Print ISBN
978-3-662-71572-7
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-71573-4

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