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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch behandelt alle wesentlichen Grundlagen der Analysis mit Fokus auf den eindimensionalen Fall. Darüber hinaus werden in zahlreichen Exkursionen konkrete Bezüge der erlernten Inhalte zu Anwendungen in der Praxis sowie anderen Bereichen der Mathematik aufgezeigt. Dazu werden die gängigen Grundlagen um sogenannte *-Kapitel erweitert. Die klare Struktur und der logische Aufbau ermöglichen es dem Leser, schnell zu den wichtigen Inhalten vorzustoßen. Alle zentralen Aussagen der Analysis werden ausführlich bewiesen und die dafür notwendigen Grundlagen der linearen Algebra im Anhang zusammengefasst. Weiterhin enthält dieses Buch mehr als 80 Übungsaufgaben inklusive Lösungen, sodass es sich sehr gut zur Prüfungsvorbereitung und zum Selbststudium eignet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Grundlegendes

Eine der großen Hürden zu Beginn eines Studiums der Mathematik ist es, sich in den bestehenden Formalismus dieserWissenschaft hineinzudenken. Zum korrekten – und letzten Endes einfachen – Ziehen von Schlüssen ist dieser Formalismus aber unabdingbar.

Adrian Hirn, Christian Weiß

2. Zahlen

Nach allem, was wir über den Menschen wissen, scheint es ihm ein tiefes Bedürfnis zu sein, die Welt ordnen zu wollen, um sie besser verstehen zu können. Historisch gesehen haben Menschen deswegen sehr früh damit begonnen, Dinge zu zählen.

Adrian Hirn, Christian Weiß

3. Folgen und Reihen

Die Analysis fußt im Wesentlichen auf dem Übergang zum unendlich großen oder noch viel mehr zum unendlich kleinen. Die zugrunde liegenden Ideen gehen letztlich auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) und Sir Isaac Newton (1643–1726) zurück, die in etwa zeitgleich Bahnbrechendes auf dem Weg zur modernen Analysis leisteten.

Adrian Hirn, Christian Weiß

4. Stetigkeit

Dieses Kapitel befasst sich mit einem weiteren zentralen Begriff der Analysis, dem der stetigen Funktion. Mithin wird erklärt, dass Stetigkeit bedeute, dass man eine Funktion ohne den Stift abzusetzen, zeichnen kann.

Adrian Hirn, Christian Weiß

5. Differentialrechnung

Als wesentlicher Bestandteil der Analysis befasst sich die Differentialrechnung mit lokalen Veränderungen von Funktionen. Ein zentraler Begriff ist die Ableitung einer Funktion, welche geometrisch interpretiert lokal der Tangentensteigung entspricht.

Adrian Hirn, Christian Weiß

6. Das eindimensionale Riemannsche Integral

Neben der Differentialrechnung bildet die Integralrechnung das zweite große Teilgebiet der klassischen Analysis. Eine ihrer Anwendungen liegt in der Flächen- und Volumenberechnung. Ihre Ursprünge führen zurück bis in die Antike: Beispielsweise befassten sich die Babylonier und die Griechen bereits vor mehreren tausend Jahren mit der Berechnung des Flächeninhalts des Einheitskreises und gewannen so sehr gute Näherungen für π. Erst viele Jahrhunderte später wurde durch Augustin Cauchy (1789–1857) ein Integralbegriff entwickelt, der den heutigen formalen mathematischen Ansprüchen gerecht wird, und schließlich von Bernhard Riemann (1826–1866) in eine noch heutige gebräuchliche Form gebracht. Dessen Ansatz, das sogenannte Riemann-Integral, wollen wir in diesem Kapitel einführen. Im 20. Jahrhundert wurde die Integrationsrechnung nochmal entscheidend von Henri Lebesgue (1875–1941) weiterentwickelt, der diese in eine weit abstraktere Richtung rückte. Lebesgues Ansatz führte schließlich zur Entwicklung der Maßtheorie, die in ihrer großen Allgemeinheit auch heute noch als eine moderne Sichtweise auf die Integrationstheorie gelten darf. Sowohl das Lebesgue-Integral als auch die Maßtheorie werden uns in Band 2 begegnen. Zunächst wollen wir jetzt aber das grundlegende Riemann-Integral kennenlernen.

Adrian Hirn, Christian Weiß

7. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Dynamische Naturprozesse werden häufig durch Differentialgleichungen modelliert, um Vorhersagen über deren zeitlichen Prozessverlauf zu ermöglichen. Beispiele findet man in allen Bereichen der Naturwissenschaft: Planetenbewegung (Astrophysik), Feder-Masse-System (Mechanik), Populationsmodelle (Biologie), Reaktionsdynamik (Chemie), Diffusionsmodelle (Chemie) und Wellenausbreitung (Strömungsmechanik).

Adrian Hirn, Christian Weiß

8. Differenzierbare Funktionen mehrerer Veränderlicher

Bisher haben wir Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Veränderlichen betrieben.

Adrian Hirn, Christian Weiß

9. Wegintegrale

Im Gegensatz zum eindimensionalen Raum R gibt es in der komplexen Ebene C keine natürliche oder gar eindeutige Wahl mehr, auf welche Weise zwei Punkte miteinander verbunden werden.

Adrian Hirn, Christian Weiß

10. Lineare Algebra

Klassischerweise unterteilt sich der Beginn einer formalen Ausbildung in Mathematik in zwei Teilgebiete, nämlich in die Analysis und in die lineare Algebra. Zwar unterscheiden sich dieMethoden, die jeweils verwendet werden, erheblich voneinander, aber trotzdem ist es unmöglich vernünftig Analysis zu betreiben ohne gute Kenntnisse in (linearer) Algebra zu haben – dasselbe gilt auch umgekehrt.

Adrian Hirn, Christian Weiß

11. Lösungen der Aufgaben

Die schräg gegenüber liegenden Eckfelder des Schachbretts, die entfernt wurden, waren entweder beide weiß oder beide schwarz, ohne Einschränkung also beide schwarz. Somit besteht das Schachbrett mit den fehlenden Eckfeldern aus 32 weißen und 30 schwarzen Quadraten.

Adrian Hirn, Christian Weiß

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