Analysis – Grundlagen und Exkurse

Eine der großen Hürden zu Beginn eines Studiums der Mathematik ist es, sich in den bestehenden Formalismus dieserWissenschaft hineinzudenken. Zum korrekten – und letzten Endes einfachen – Ziehen von Schlüssen ist dieser Formalismus aber unabdingbar.

Nach allem, was wir über den Menschen wissen, scheint es ihm ein tiefes Bedürfnis zu sein, die Welt ordnen zu wollen, um sie besser verstehen zu können. Historisch gesehen haben Menschen deswegen sehr früh damit begonnen, Dinge zu zählen.

Die Analysis fußt im Wesentlichen auf dem Übergang zum unendlich großen oder noch viel mehr zum unendlich kleinen. Die zugrunde liegenden Ideen gehen letztlich auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) und Sir Isaac Newton (1643–1726) zurück, die in etwa zeitgleich Bahnbrechendes auf dem Weg zur modernen Analysis leisteten.

Als wesentlicher Bestandteil der Analysis befasst sich die Differentialrechnung mit lokalen Veränderungen von Funktionen. Ein zentraler Begriff ist die Ableitung einer Funktion, welche geometrisch interpretiert lokal der Tangentensteigung entspricht.

Neben der Differentialrechnung bildet die Integralrechnung das zweite große Teilgebiet der klassischen Analysis. Eine ihrer Anwendungen liegt in der Flächen- und Volumenberechnung. Ihre Ursprünge führen zurück bis in die Antike: Beispielsweise befassten sich die Babylonier und die Griechen bereits vor mehreren tausend Jahren mit der Berechnung des Flächeninhalts des Einheitskreises und gewannen so sehr gute Näherungen für π. Erst viele Jahrhunderte später wurde durch Augustin Cauchy (1789–1857) ein Integralbegriff entwickelt, der den heutigen formalen mathematischen Ansprüchen gerecht wird, und schließlich von Bernhard Riemann (1826–1866) in eine noch heutige gebräuchliche Form gebracht. Dessen Ansatz, das sogenannte Riemann-Integral, wollen wir in diesem Kapitel einführen. Im 20. Jahrhundert wurde die Integrationsrechnung nochmal entscheidend von Henri Lebesgue (1875–1941) weiterentwickelt, der diese in eine weit abstraktere Richtung rückte. Lebesgues Ansatz führte schließlich zur Entwicklung der Maßtheorie, die in ihrer großen Allgemeinheit auch heute noch als eine moderne Sichtweise auf die Integrationstheorie gelten darf. Sowohl das Lebesgue-Integral als auch die Maßtheorie werden uns in Band 2 begegnen. Zunächst wollen wir jetzt aber das grundlegende Riemann-Integral kennenlernen.

Dynamische Naturprozesse werden häufig durch Differentialgleichungen modelliert, um Vorhersagen über deren zeitlichen Prozessverlauf zu ermöglichen. Beispiele findet man in allen Bereichen der Naturwissenschaft: Planetenbewegung (Astrophysik), Feder-Masse-System (Mechanik), Populationsmodelle (Biologie), Reaktionsdynamik (Chemie), Diffusionsmodelle (Chemie) und Wellenausbreitung (Strömungsmechanik).

Bisher haben wir Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Veränderlichen betrieben.

Im Gegensatz zum eindimensionalen Raum R gibt es in der komplexen Ebene C keine natürliche oder gar eindeutige Wahl mehr, auf welche Weise zwei Punkte miteinander verbunden werden.

Klassischerweise unterteilt sich der Beginn einer formalen Ausbildung in Mathematik in zwei Teilgebiete, nämlich in die Analysis und in die lineare Algebra. Zwar unterscheiden sich dieMethoden, die jeweils verwendet werden, erheblich voneinander, aber trotzdem ist es unmöglich vernünftig Analysis zu betreiben ohne gute Kenntnisse in (linearer) Algebra zu haben – dasselbe gilt auch umgekehrt.

Die schräg gegenüber liegenden Eckfelder des Schachbretts, die entfernt wurden, waren entweder beide weiß oder beide schwarz, ohne Einschränkung also beide schwarz. Somit besteht das Schachbrett mit den fehlenden Eckfeldern aus 32 weißen und 30 schwarzen Quadraten.