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Über dieses Buch

In diesem Lehrbuch wird der moderne Lebesguesche Integralbegriff ausführlich entwickelt und auf eine vielfältige Klasse von geometrischen Objekten, sogenannte Untermannigfaltigkeiten, übertragen. Der vorliegende zweite Band richtet den Fokus stärker auf höhere Dimensionen und stellt zusammen mit dem ersten Band eine umfassende Einführung in die Analysis dar. Die mathematischen Grundlagen werden durch zahlreiche *-Kapitel erweitert, welche die Beziehungen der erlernten Inhalte zu anderen Teilgebieten der Mathematik aufzeigen und die Bedeutung der Analysis für praktische Anwendungen verdeutlichen. Darüber hinaus enthält dieses Buch mehr als 50 Übungsaufgaben inklusive Lösungen, sodass es sich sehr gut für Prüfungsvorbereitungen und zum Selbststudium eignet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Umkehrabbildungen und implizite Funktionen

In diesem Kapitel machen wir uns zunächst auf die Suche nach einer mehrdimensionalen Version dieses Satzes, das heißt, wir wollen die Umkehrabbildung mehrdimensionaler Funktionen verstehen. Danach widmen wir uns den sogenannten impliziten Funktionen. Dabei geht es um die Frage, ob beziehungsweise unter welchen Bedingungen eine gegebene Gleichung lokal nach einer vorgegebenen Variable auflösbar ist.
Adrian Hirn, Christian Weiß

2. Das mehrdimensionale RiemannscheIntegral

In diesem Kapitel erweitern wir den Begriff des Riemannschen Integrals auf eine beliebige endliche Anzahl von Dimensionen. Dabei verfahren wir analog zur Einführung des eindimensionalen Integrals: Statt Intervallen betrachten wir jedoch kartesische Produkte von Intervallen (Quader) und bilden über diese Ober- und Untersummen.
Adrian Hirn, Christian Weiß

3. Das Lebesgue-Integral

Auf dem Weg zum Lebesgue-Integral bieten sich verschiedene Ansätze an. Der gebräuchliste geht über die sogenannte Maßtheorie und genau so wollen wir verfahren. Der Hauptvorteil dieses Weges besteht darin, dass en passant auch noch die Grundlagen für die Wahrscheinlichkeitstheorie mit ihren vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten gelegt werden.
Adrian Hirn, Christian Weiß

4. Konstruktion des Lebesgue-Maßes auf

Um dieses Integral mit Leben zu füllen, konstruieren wir nun ein explizites, besonders interessantes Maß. Dieses soll, wie bereits angedeutet, insbesondere zwei Eigenschaften besitzen: Erstens soll es der Volumenberechnung dienen und zweitens soll das entstehende Integral das Riemann-Integral verallgemeinern. Dieses Ziel wird mit dem Lebesgue-Maß erreicht werden.
Adrian Hirn, Christian Weiß

5. Lp-Räume

Oft ist es nicht nur relevant, ob eine Funktion absolut integrierbar ist, sondern auch, ob dies für ihre p-te Potenz zutrifft. Beispielsweise haben wir in Abschn. 4.4 gesehen, dass in derWahrscheinlichkeitstheorie durch die Integrierbarkeit der zweiten Potenz sichergestellt wird, dass eine Zufallsvariable eine endliche Streuung (Varianz) besitzt.
Adrian Hirn, Christian Weiß

6. Fourier-Transformation

Nur wenige Teilgebiete der Mathematik haben auch unter Nicht-Mathematikern einen derartigen Bekanntheitsgrad wie die Fourier-Analysis erlangt. Sie beschäftigt sich mit der Zerlegung von kontinuierlichen Signalen in ihre periodischen Anteile.
Adrian Hirn, Christian Weiß

7. Integration von Differentialformen

Dabei stimmen Differentialformen der Ordnung 0 mit den reellen Funktionen überein. Ein wesentlicher Vorteil der Verwendung von Differentialformen besteht darin, dass sie eine koordinatenunabhängige Integration über Untermannigfaltigkeiten ermöglichen.
Adrian Hirn, Christian Weiß

8. Der Satz von Stokes

Als Spezialfälle beinhaltet der Satz von Stokes den Gaußschen Integralsatz und den klassischen Stokesschen Integralsatz der Vektoranalysis in R3. Gleichzeitig stellt der Satz von Stokes eine Verallgemeinerung der Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung (Bd. 1, Satz 6.15) dar. Die Integralsätze von Stokes und Gauß finden vielfach Anwendung in der Physik und Technik, insbesondere in der Elektro- und Fluiddynamik
Adrian Hirn, Christian Weiß

9. Die Potenzialgleichung

Die mathematische Beschreibung von Potenzialen haben wir schon in Bd. 1, Abschn. 9.1, kennengelernt.
Adrian Hirn, Christian Weiß

10. Lösungen der Aufgaben

Damit beide partielle Ableitungen den Wert 0 annehmen, muss also x = y = 0 gelten. Das bedeutetet, dass (0, 0) der einzige kritische Punkt ist.
Adrian Hirn, Christian Weiß

Backmatter

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