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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch zeichnet sich durch einen klaren und modernen Aufbau aus und ist auf eine breit angelegte Grundausbildung ausgerichtet. Es ist der erste Band einer zweiteiligen Einführung in die Analysis, die Studierende der Mathematik und verwandter Studienrichtungen (etwa Physik, Informatik und Ingenieurwissenschaften) sowie deren Dozenten anspricht.

Zentrale Grundkonzepte werden bereits frühzeitig eingeführt und diskutiert – jedoch zunächst nicht in einem allgemeinen, sondern in einem angemessenen und überschaubaren Rahmen. Diese Konzepte werden anschließend mit steigender Komplexität vertiefend behandelt und aus verschiedenen Blickwinkeln beleuchtet.

Eine Vielzahl von Beispielen und Aufgaben zeigt die Vernetzung und Verzahnung der Analysis mit anderen Teilgebieten der Mathematik und gibt den Studierenden weitreichende Möglichkeiten, ihr Wissen und Verständnis dieser Thematik zu vertiefen bzw. zu verbreitern. Kapitelweise ausgelagerte Anmerkungen und Ergänzungen dienen als Zusatz- und Hintergrundinformation zum behandelten Stoff und runden diesen ab, ohne den Blick auf das Wesentliche zu verstellen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

I. Grundlagen: Mathematische Sprache, Zahlen, Mengen, Abbildungen

Zentrales Thema des vorliegenden Kapitels sind die reellen Zahlen. Diese bilden das Fundament, auf welchem wir die Analysis schrittweise aufbauen werden. Um diese Zahlen präzise und rigoros definieren zu können, beginnen wir mit einer Einführung in die Grundbausteine der mathematischen Sprache (Mengen, Aussagen, Abbildungen, logische Symbole).
Matthias Hieber

II. Konvergenz von Folgen und Reihen

Im Zentrum dieses Kapitels steht die Entwicklung und Diskussion des Grenzwertbegriffs. Dieser bildet das Fundament der Analysis und wird für alle unseren weiteren Untersuchungen, speziell für die Differential- und Integralrechnung, unentbehrlich sein.
Matthias Hieber

III. Stetige Funktionen und topologische Grundlagen

Im Zentrum dieses Kapitels stehen stetige Funktionen und ihre Eigenschaften. Ausgehend von unseren Überlegungen über die Konvergenz von Folgen in Kapitel I, definieren wir die Stetigkeit einer Funktion zunächst über die Folgenstetigkeit und zeigen dann anschließend, dass diese äquivalent ist zur sogenannten $(\ve$-$\delta)$--Formulierung der Stetigkeit. Erste Resultate über die Stetigkeit von Summen, Produkten und Kompositionen stetiger Funktionen schließen sich an.
Matthias Hieber

IV. Differentialrechnung einer Variablen

Die auf Leibniz und Newton zurückgehende Differential- und Integralrechnung bildet den inhaltlichen Kern jeder Einführung in die Analysis. Wir beginnen mit dem Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion, welcher durch den Wunsch geleitet ist, das lokale Verhalten von Funktionen genauer zu beschreiben.
Matthias Hieber

V. Integralrechnung einer Variablen

Die Bestimmung von Flächen, Volumen und Kurvenlängen gehört zu den historisch gesehen ältesten Problemen der Mathematik, und viele dieser Fragestellungen sind aus heutiger Sicht klassische Themen der Integrationstheorie. Um den Flächeninhalt einer krummlinig begrenzten Figur zu bestimmen, wurde dieser „von innen“ und „von außen“ durch einfachere Objekte mit bekanntem Flächeninhalt approximiert.
Matthias Hieber

Backmatter

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