Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Dieses kompakte Lehrbuch ist der erste von zwei einführenden Bänden in die Analysis. Es zeichnet sich dadurch aus, dass es alle klassischen Themen der Analysis im ersten Semester genau im Umfang einer vierstündigen Vorlesung präsentiert und gleichzeitig auf typische Anfängerschwierigkeiten eingeht. Dazu gehören eine Einführung in die formale Sprache der Mathematik und in die wichtigsten mathematischen Beweistechniken, ebenso wie vorlesungserprobte plakative Erläuterungen von anfangs ungewohnten abstrakten Begriffen. Alle prüfungsrelevanten Inhalte, von Folgen und Reihen über die Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer reellen Variablen bis zum Satz von Taylor, werden abgedeckt und mit Beispielen, Gegenbeispielen und Übungsaufgaben illustriert. Durch den geschickten Aufbau werden aber auch grundlegende Zusammenhänge, etwa aus der Topologie, herausgearbeitet.

Das Buch wendet sich an alle, die eine erste Vorlesung in Analysis besuchen, also Studierende der Mathematik, der Physik und der Informatik. Es eignet sich aber auch direkt als Vorlesungsmanuskript für Dozierende und für Mathematikbegeisterte vor dem Studium.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

I. Grundlegende Notationen und Beweistypen

Zusammenfassung
Die Formulierung mathematischer Aussagen und ihrer Beweise ist zu Beginn oft sehr ungewohnt. Sie verwendet eine spezielle Sprache und nur streng logische Argumente. Eine Übersicht wichtiger Notationen und Beweistypen kann hier helfen.
Christiane Tretter

II. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Zusammenfassung
Die natürlichen Zahlen scheinen uns von Kind auf vertraut. Mathematisch werden ℕ = {1, 2,...} bzw. ℕ0 = {0, 1, 2, …} durch Axiome eingeführt. Ein Axiom ist ein unbeweisbarer Grundsatz, der als wahr angenommen wird. Axiomensysteme müssen widerspruchsfrei sein und möglichst minimal ([30]).
Christiane Tretter

III. Reelle Zahlen

Zusammenfassung
Die Forderung nach der Lösbarkeit gewisser Gleichungen motiviert die Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen, in diesem Kapitel zunächst auf die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen.
Christiane Tretter

IV. Metrische Räume und Folgen

Zusammenfassung
Metrische Räume sind Mengen, auf denen eine Abstandsfunktion definiert ist. In der Ebene kannman sich z.B. auf freiem Feld die „Luftlinie“ als Abstandsfunktion denken; in einer Stadt dagegen würde man eine andere Abstandsfunktion wählen.
Christiane Tretter

V. Komplexe Zahlen und Reihen

Zusammenfassung
Während man natürliche, rationale und reelle Zahlen aus dem Alltag vom Zählen und Messen zu kennen glaubt, scheinen die komplexen Zahlen rein mathematische Konstrukte zu sein. Dennoch braucht man sie in Anwendungen, z.B. in der komplexen Widerstandsrechnung der Elektrotechnik (siehe z.B. [6, Abschnitt 10.9]).
Christiane Tretter

VI. Stetige Funktionen

Zusammenfassung
Von diesem Abschnitt an beschäftigen wir uns mit Funktionen einer reellen Variablen und deren Eigenschaften.Wir beginnen mit der Stetigkeit, wo wir feststellen werden, dass dazu mehr gehört als „keine Sprünge zu haben“.
Christiane Tretter

VII. Differentialrechnung in ℝ

Zusammenfassung
In diesemKapitelwird der Begriff derDifferenzierbarkeit von Funktionen einer (meist) reellen Variablen eingeführt. Differenzierbar bedeutet, dass man lokal die Funktion linear, also durch eine Gerade, approximieren kann. Je öfter eine Funktion differenzierbar ist, desto genauer kann man sie lokal nicht nur durch eine Gerade, sondern durch Polynome höheren Grades approximieren (siehe Kapitel IX).
Christiane Tretter

VIII. Integralrechnung in ℝ

Zusammenfassung
Die Integration ist der inverseProzess zur Differentiation. Es gibt verschiedene Integralbegriffe. Der elementarste für Funktionen einer reellen Variablen geht auf Bernhard Riemann1 zurück. Ein allgemeinerer Integralbegriff wird später etwa für die Wahrscheinlichkeitstheorie benötigt (siehe z.B. [8]).
Christiane Tretter

IX. Taylorpolynome und -reihen

Zusammenfassung
Wann kann man Funktionen lokal durch Polynome approximieren? Um physikalische Gleichungen zu vereinfachen, wird z.B. gerne sin(x) ≈ x für „kleine“ x angenommen. Aber wie klein muss x sein, damit die Näherung noch akzeptabel ist? Analoge Fragen entstehen, wenn man Funktionswerte mit einem Computer mit vorgegebener Genauigkeit approximieren will.
Christiane Tretter

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

    Bildnachweise