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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch zeichnet sich durch einen klaren und modernen Aufbau aus und ist auf eine breit angelegte Grundausbildung ausgerichtet. Es ist der zweite Band einer Einführung in die Analysis, die Studierende der Mathematik und verwandter Studienrichtungen (etwa Physik, Informatik und Ingenieurwissenschaften) sowie deren Dozenten anspricht.

Zentrale Grundkonzepte werden bereits frühzeitig eingeführt und diskutiert – jedoch zunächst nicht in einem allgemeinen, sondern in einem angemessenen und überschaubaren Rahmen. Diese Konzepte werden anschließend mit steigender Komplexität vertiefend behandelt und aus verschiedenen Blickwinkeln beleuchtet.

Eine Vielzahl von Beispielen und Aufgaben zeigt die Vernetzung und Verzahnung der Analysis mit anderen Teilgebieten der Mathematik und gibt den Studierenden weitreichende Möglichkeiten, ihr Wissen und Verständnis dieser Thematik zu vertiefen bzw. zu verbreitern. Kapitelweise ausgelagerte Anmerkungen und Ergänzungen dienen als Zusatz- und Hintergrundinformation zum behandelten Stoff und runden diesen ab, ohne den Blick auf das Wesentliche zu verstellen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

VI. Analysis in metrischen Räumen

Zusammenfassung
Welche Motive veranlassen Mathematiker, Räume von unendlicher Dimension einzuführen, eine Folge reeller Zahlen als einen Punkt in einem Folgenraum und eine Funktion als einen Punkt in einem Funktionenraum anzusehen?
Zwei Problemkreise bildeten die treibende Kraft für die Entwicklung dieser Konzepte: Zum einen handelte es sich um Integralgleichungen der Form
$$u(t)+\int_{0}^{1}k(t,s)u(s){\,ds}=f(s),\quad s\in[0,1]$$
für gegebene Funktionen \(k\) und rechte Seiten \(f\) mit dem Ziel, eine Lösung \(u\) zu finden. Zum anderen waren es Variationsprobleme: Finde für eine gegebene Funktion \(f\) und eine gegebene Menge \(X\) von Funktionen eine Funktion \(v\in X\), für welche die Funktion \(F\), gegeben durch
$$F(u)=\int_{0}^{1}f\big(s,u(s),u^{\prime}(s)\big){\,ds},$$
ihr Minimum annimmt. Beide Fragestellungen haben ihre Wurzeln in der Mathematischen Physik.
Matthias Hieber

VII. Differentialrechnung mehrerer Variabler

Zusammenfassung
In diesem Kapitel erweitern wir die Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen auf solche mit mehreren Veränderlichen. Wiederum lassen wir uns beim Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion von der zentralen Idee der linearen Approximierbarkeit leiten. Im Vergleich zu unseren bisherigen Untersuchungen ist allerdings die Situation im Falle von Funktionen mehrerer Variablen deutlich komplizierter, da in der mehrdimensionalen Situation die linearen Abbildungen eine wesentlich reichhaltigere Struktur besitzen als diejenigen, die in der Analysis von Funktionen einer Variablen auftreten.
Wir beginnen in Abschnitt 2.1 mit dem Begriff der Differenzierbarkeit von Funktionen \(f:\Omega\to\mathbb{R}^{m}\), wobei \(\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\) eine offene Menge bezeichnet. Wiederum definieren wir die Differenzierbarkeit von \(f\) in einem Punkt \(x_{0}\in\Omega\) als Approximierbarkeit durch eine lineare Abbildung \(A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})\). Die eindeutig bestimmte Abbildung \(A\) heißt Ableitung oder Differential von \(f\) in \(x_{0}\). Wir betrachten ferner Richtungsableitungen, die uns dann zu den Begriffen der partiellen Ableitung, der Jacobi-Matrix und des Gradienten führen.
Abschnitt 2.2 widmet sich den Ableitungsregeln. Ausgehend von der Kettenregel leiten wir Ableitungsregeln für Summen und Produkte differenzierbarer Funktionen her. Es folgen verschiedene Versionen des Mittelwertsatzes, deren Beweise alle auf der Rückführung auf den Fall einer Variablen beruhen.
Matthias Hieber

VIII. Umkehrabbildungen und Implizite Funktionen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir mehrere, eng miteinander zusammenhängende Themenkomplexe. Wir beginnen mit der zentralen Frage, wann eine stetig differenzierbare Funktion \(f\) eine ebensolche Umkehrfunktion besitzt. Der Satz über die Umkehrfunktion gibt darauf eine befriedigende Antwort: Eine stetig differenzierbare Funktion, deren Differential in einem Punkt invertierbar ist, besitzt in einer gewissen Umgebung dieses Punktes eine Umkehrung, die ebenfalls stetig differenzierbar ist.
Dieser Satz führt uns in Abschnitt 3.2 zur Frage nach der impliziten Auflösbarkeit von Gleichungen und damit zum Satz über implizite Funktionen. Dieser erlaubt es uns in Abschnitt 3.3, ein notwendiges Kriterium für die Existenz von Extrema unter Nebenbedingungen, die sogenannte Lagrangesche Multiplikatorenregel, zu entwickeln. Dies führt uns in natürlicher Weise in Abschnitt 3.4 auf den Begriff der Untermannigfaltigkeit des \(\mathbb{R}^{n}\).
Die Beantwortung der zentralen Frage dieses Kapitels erweist sich als deutlich schwieriger als in der eindimensionalen Situation, da die Monotonieargumente der eindimensionalen Situation nicht mehr zur Verfügung stehen. Unsere Herleitung des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit einer stetig differenzierbaren Abbildung beruht auf zwei Pfeilern: dem Schrankensatz und dem Banachschen Fixpunktsatz. Wir zeigen damit zunächst, dass unter gewissen Bedingungen an \(f\) eine stetige Umkehrung von \(f\) lokal existiert. Die Kettenregel, verbunden mit der Stetigkeit der Inversion, impliziert dann, dass diese wiederum stetig differenzierbar ist.
Matthias Hieber

IX. Kurven, Wege und Vektorfelder

Zusammenfassung
In diesem Kapitel beginnen wir mit der Untersuchung von Kurven in \(\mathbb{R}^{n}\) und lassen uns hierbei von einem Kurvenbegriff, der aus der Physik, genauer aus der Kinematik herrührt, leiten. Er beschreibt die Abstraktion der Bewegung eines Punktes im Raum, die durch die Angabe des Ortes \(\gamma(t)\) zum Zeitpunkt \(t\) gegeben ist. Dieser Ansatz geht auf Camille Jordan (1838–1922) zurück. Kurven in diesem Sinn können sehr überraschende Eigenschaften besitzen. Zum Beispiel überdeckt die von Giuseppe Peano (1858–1932) konstruierte Kurve vollständig ein Quadrat.
Eine der ersten Aufgaben der Kurventheorie ist die Bestimmung der Länge einer Kurve. Eng verbunden mit dieser Problematik sind Funktionen von beschränkter Variation. Da eine Kurve auf unterschiedliche Weise parametrisiert werden kann, untersuchen wir Umparametrisierungen von Kurven und führen daraus resultierend den Begriff des Weges ein. Von besonderer Bedeutung ist die Parametrisierung \(\gamma\) eines regulären \(C^{1}\)-Weges nach der Bogenlänge, eine Parametrisierung, für welche \(|\gamma^{\prime}(t)|=1\) für alle \(t\) des Parameterintervalls gilt. Eine Diskussion der klassischen Begriffe der Krümmung und Torsion eines Weges schließen sich an.
Matthias Hieber

X. Approximation und Fourier-Reihen

Zusammenfassung
Trigonometrische Reihen haben eine lange Tradition in der Mathematik. Der zentrale Anstoß zur Theorie dieser Reihen geht auf Joseph Fourier (1768–1830) zurück, der in seinem Buch Théorie analytique de la chaleur das Problem der Wärmeleitung analytisch mittels Reihenentwicklungen untersuchte. Hierbei spielte die Entwicklung einer gegebenen Funktion in eine trigonometrische Reihe der Form
$$\sum_{k=1}^{\infty}\big(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\big)$$
eine entscheidende Rolle. Das Problem, eine Funktion in eine Reihe nach einem gegebenen Funktionensystem \((\varphi_{k})_{k\in\mathbb{N}}\) zu entwickeln, haben wir schon am Beispiel der Taylor-Entwicklung kennengelernt. Dabei gingen wir von dem System \(1,x,x^{2},x^{3},\ldots\) der Potenzen aus und fragten, unter welchen Bedingungen eine gegebene Funktion sich in eine Potenzreihe entwickeln lässt, d. h., wann \(f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}\) gilt.
Matthias Hieber

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