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Über dieses Buch

Das Buch gibt in sechs Kapiteln eine Einführung in die Theorie der reellen Funktionen einer und mehrerer Variabler. Hierbei stehen nicht so sehr abstrakte Ergebnisse im Vordergrund, sondern es werden besonders viele Beispiele und Gegenbeispiele präsentiert, anhand derer man die Bedeutung mathematischer Sätze besonders gut erkennen kann.

In den ersten drei Kapiteln werden die wesentlichen Ergebnisse über stetige, differenzierbare und integrierbare Funktionen zusammengestellt. Das vierte Kapitel geht etwas über den üblichen Analysisstoff hinaus und ist "merkwürdigen" Teilmengen der reellen Achse und zugehörigen Funktionen gewidmet. Funktionen mehrerer Variabler werden im fünften und sechsten Kapitel behandelt.

Über die starke Betonung von Beispielen hinaus ist ein weiteres Merkmal des Buches die große Anzahl von Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels. Es ist daher auch sehr gut als Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung geeignet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Kapitel 1. Stetige Funktionen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel betrachten wir stetige reellwertige Funktionen auf Teilmengen der reellen Achse \(\mathbb{R}\). Zunächst untersuchen wir, was Stetigkeit bedeutet, und auf welche Weise eine Funktion überhaupt unstetig sein kann. Funktionen mit besonderem Stetigkeitsverhalten sind monotone Funktionen und, etwas allgemeiner, Funktionen von beschränkter Variation, denen wir uns im zweiten Abschnitt widmen.
Jürgen Appell

Kapitel 2. Kapitel 2. Differenzierbare Funktionen

Zusammenfassung
Neben den stetigen und monotone Funktionen bilden die differenzierbaren Funktioneneine der wichtigsten Funktionenklassen der Analysis. In diesem Kapitel untersuchen wir die Struktur dieser Funktionenklasse und ihre Beziehungen zu anderen Klassen. Außerdem widmen wir einen längeren Abschnitt sog. Mittelwertsätzen für differenzierbare Funktionen, die weitreichende Anwendungen haben.
Jürgen Appell

Kapitel 3. Kapitel 3. Integrierbare Funktionen

Zusammenfassung
Integrierbare Funktionen bilden eine weitere wichtige Klasse der Analysis. Diese Klasse enthält sowohl alle stetigen als auch alle monotonen Funktionen, wie wir im ersten Abschnitt zeigen werden. Es gibt auch einen wichtigen Zusammenhang mit Differenzierbarkeit, der als Hauptsatz der Infinitesimalrechnung bekannt ist und dem wir den zweiten Abschnitt widmen werden. Wichtige Integrationstechniken sind Gegenstand des dritten Abschnitts.
Jürgen Appell

Kapitel 4. Kapitel 4. Merkwürdige Funktionen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel gehen wir etwas über den Rahmen der Elementaren Analysis hinaus und betrachten Funktionen mit überraschenden Eigenschaften. Hierfür müssen wir zunächst einige Begriffe einführen, die in gewisser Weise die „Größe” einer Menge reeller Zahlen messen; typische Beispiele sind Nullmengen und magere Mengen. Eine besonders bemerkenswerte Funktion ist die sog. „Cantor-Funktion” (und ihre Varianten), der wir einen ganzen Abschnitt widmen werden.
Jürgen Appell

Kapitel 5. Kapitel 5. Funktionen mehrerer Variabler

Zusammenfassung
Bisher haben wir stets Funktionen betrachtet, die auf (Teilmengen) der reellen Achse definiert waren. In diesem und dem nächsten Kapitel widmen wir uns Funktionen mehrerer Variabler, d.h. solchen, deren Definitionsbereich eine Teilmenge des Euklidischen Raums \(\mathbb{R}\) d ist. Hierbei wird sich herausstellen, dass viele neue und zum Teil sehr überraschende Phänomene auftreten, die bei Funktionen einer Variabler (d.h. für d = 1)„verborgen” bleiben.
Jürgen Appell

Kapitel 6. Kapitel 6. Höherdimensionale Integrale

Zusammenfassung
Nach dem Studium stetiger und differenzierbarer Funktionen mehrerer Variabler untersuchen wir in diesem Kapitel integrierbare Funktionen mehrerer Variabler. Hierbei sind zwei Integralbegriffe wichtig, die beide das Riemannintegral aus dem dritten Kapitel verallgemeinern, nämlich einerseits Doppelintegrale reellwertiger Funktionen über zweidimensionale Gebiete und andererseits Wegintegrale von Vektorfeldern über Kurven. Ein wichtiger Satz, der diese beiden Integralbegriffe in sehr harmonischer Weise verknüpft, ist der Satz von Green, den wir im dritten Abschnitt formulieren und beweisen werden. Im vierten Abschnitt werfen wir noch einmal einen Blick auf die in den Abschnitten 2.4 und 5.4 betrachteten Anfangswertprobleme.
Jürgen Appell

Backmatter

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