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Erschienen in:
2019 | OriginalPaper | Buchkapitel
Analysis in metrischen Räumen
verfasst von : Prof. Dr. Matthias Hieber
Erschienen in: Analysis II
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Welche Motive veranlassen Mathematiker, Räume von unendlicher Dimension einzuführen, eine Folge reeller Zahlen als einen Punkt in einem Folgenraum und eine Funktion als einen Punkt in einem Funktionenraum anzusehen?
Zwei Problemkreise bildeten die treibende Kraft für die Entwicklung dieser Konzepte: Zum einen handelte es sich um Integralgleichungen der Form für gegebene Funktionen \(k\) und rechte Seiten \(f\) mit dem Ziel, eine Lösung \(u\) zu finden. Zum anderen waren es Variationsprobleme: Finde für eine gegebene Funktion \(f\) und eine gegebene Menge \(X\) von Funktionen eine Funktion \(v\in X\), für welche die Funktion \(F\), gegeben durch ihr Minimum annimmt. Beide Fragestellungen haben ihre Wurzeln in der Mathematischen Physik.
$$u(t)+\int_{0}^{1}k(t,s)u(s){\,ds}=f(s),\quad s\in[0,1]$$
$$F(u)=\int_{0}^{1}f\big(s,u(s),u^{\prime}(s)\big){\,ds},$$