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2017 | Buch

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Analysis

verfasst von: Anton Deitmar

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Springer-Lehrbuch

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

In diesem Lehrbuch wird der Stoff einer dreisemestrigen Anfängervorlesung zur Analysis in einer bisher nicht gekannten Prägnanz dargeboten, ohne dass die Verständlichkeit der sprachlichen Darstellung dadurch vernachlässigt wird. Das Buch bietet so eine umfassende Vollständigkeit des Stoffes, die ihres Gleichen sucht.

Die Inhalte decken die in einer heutigen Bachelor-Vorlesung zur Analysis üblichen Themen ab: Ein- und mehrdimensionale Differential- und Integralrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, Differentialformen und der Satz von Stokes. Darüber hinaus sind Kapitel über metrische Räume und allgemeine mengentheoretische Topologie enthalten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Mengentheoretische Grundlagen

Zusammenfassung

Bevor die eigentliche Analysis beginnt, werden in diesem Kapitel einige Grundlagen über Mengen und Abbildungen, sowie über die Beweistechnik der vollständigen Induktion angegeben. Der Leser, der sich mit diesen Dingen vertraut fühlt, mag sie ¨ uberspringen und dieses Kapitel nur zum gelegentlichen Nachschlagen verwenden.

Anton Deitmar

Differential- und Integralrechnung

Frontmatter

Chapter 2. Die reellen Zahlen

Zusammenfassung

Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die sogenannte axiomatische Darstellung der reellen Zahlen begründet wird. Diese Darstellung wird in der Mathematik vorgezogen, da sie einen besseren Überblick über die Eigenschaften der reellen Zahlen erlaubt.

Anton Deitmar

Chapter 3. Folgen und Reihen

Zusammenfassung

Eine reelle Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen kann man im Allgemeinen nur annäherungsweise beschreiben. Für die meisten Zwecke reicht eine solche Beschreibung aus. Um aber mit diesem Begriff von “Annäherung” sauber umgehen zu können, muss er präzisiert werden, was in diesem Kapitel geschehen soll.

Anton Deitmar

Chapter 4. Funktionen und Stetigkeit

Zusammenfassung

Stetigkeit einer Funktion bedeutet, dass sich der Funktionswert bei kleinen Änderungen des Arguments auch nur wenig verändert, die Funktion also keine wilden Sprünge macht. Dies scheint eine vernünftige Forderung zu sein, die man auch von Funktionen, die Naturphänomene beschreiben, erwarten sollte.

Anton Deitmar

Chapter 5. Differentialrechnung

Zusammenfassung

Dieses Kapitel ist der Differentialrechnung und ihren Anwendungen gewidmet. Das Differential wird als Limes der Differenzenquotienten erklärt und beschreibt damit die punktuelle Steigung des Graphen einer Funktion. Man kann das Differential allerdings nicht für jede Funktion definieren, da dieser Limes nicht immer existiert. Konsequenterweise nennt man eine Funktion differenzierbar, wenn der Limes der Differenzenquotienten existiert.

Anton Deitmar

Chapter 6. Integralrechnung

Zusammenfassung

Das Integral einer Funktion gibt den Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion an. Bei beliebigen Funktionen muss hier allerdings geklärt werden, was man unter einem solchen Flächeninhalt verstehen will. Das wird im Allgemeinen so gemacht, dass man den Flächeninhalt durch bekannte Flächeninhalte annähert. In diesem Abschnitt wird die Riemannsche Integrationstheorie eingeführt, in der ein Flächeninhalt durch die Fläche endlich vieler Rechtecke angenähert wird. Der erste Abschnitt dieses Kapitels beschäftigt sich mit der Fragestellung, welche Funktionen überhaupt sinnvoll integriert werden können. In den folgenden Abschnitten wird die Integralrechnung weiter untersucht und angewendet. Höhepunkt ist der Abschnitt über den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung, der besagt, dass Differentialrechnung und Integralrechnung zueinander inverse Operationen darstellen.

Anton Deitmar

Chapter 7. Funktionenfolgen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Folgen von Funktionen f _n untersucht, die einen gemeinsamen Definitionsbereich haben. Die Begriffe von punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz werden eingeführt und es wird der Frage nachgegangen, unter welchen Umständen die Konvergenz einer Funktionenfolge zur Konvergenz der Ableitungen oder der Integrale führt.

Anton Deitmar

Chapter 8. Metrische Räume und Topologie

Zusammenfassung

In der Mathematik führt die Auseinandersetzung mit dem Raumbegriff zum Gebiet der Topologie. Eine Inkarnation ist die metrische Topologie, benannt nach dem zentralen Begriff der Metrik, einer Verallgemeinerung des Abstands im dreidimensionalen Raum.

Anton Deitmar

Mehrdimensionale Reelle Analysis

Frontmatter

Chapter 9. Differentialrechnung im

Zusammenfassung

Man kann die FDifferentialrechnung einer Variablen aus Kapitel 5 so auffassen, dass man eine Funktion f(x) durch eine affine Funktion der Form \( ax + b \) approximiert. Dasselbe lässt sich auch in mehreren Variablen machen, indem man eine Funktion f auf dem \( {\mathbb{R}}^{n} \) durch Funktionen der Art \( Ax + b \) approximiert, wobei hier A eine Matrix ist. Die Einträge der Matrix A lassen sich dann als partielle Ableitungen von f berechnen.

Anton Deitmar

Chapter 10. Integration im Rn

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird die einfachste Form der mehrdimensionalen Integration eingeführt, die lediglich auf der Iteration der eindimensionalen Integration beruht. Man kann sie als Pendant der partiellen Differentialrechnung betrachten.

Anton Deitmar

Chapter 11. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Differentialgleichungen sind Gleichungen, in denen eine Funktion und ihre Ableitungen vorkommen, wie zum Beispiel die Gleichung \( f^{'} = f \), die von der Exponentialfunktion erfüllt wird. Lösungen von Differentialgleichungen beschreiben oft Naturph¨anomene wieWellen oderW¨armeleitung. Differentialgleichungen mit Ableitungen in mehreren Variablen werden, da in ihnen partielle Ableitungen auftreten, partielle Differentialgleichungen genannt. Ihre Theorie ist weitaus aufwändiger als die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, in denen nach nur einer Variablen abgeleitet wird. Bei den letzteren gibt es eine befriedigende Lösungstheorie, unter sehr allgemeinen Bedingungen ist stets Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung garantiert.

Anton Deitmar

Chapter 12. Allgemeine Topologie

Zusammenfassung

In Kapitel 8 wurde gezeigt, dass eine Metrik eine Topologie induziert. In der Analysis treten aber auch Topologien auf, die nicht durch Metriken induziert sind. Deshalb wird hier dem Thema der abstrakten Topologie ein eigenes Kapitel gewidmet.

Anton Deitmar

Maß und Integration

Frontmatter

Chapter 13. Maßtheorie

Zusammenfassung

Wie der Name des Kapitels andeutet, werden hier die Grundlagen des Messens entwickelt. Die Hauptfrage ist die, ob man beliebigen Teilmengen von \( {\mathbb{R}} \) in konsistenter Weise ein Längenmaß zuordnen kann. Diese Zuordnung sollte gewissen natürlichen Forderungen genügen, sie sollte zum Beispiel translationsinvariant sein und Intervallen ihre natürliche Länge geben. Eine weitere natürliche Forderung ist die der Additivität: einer disjunkten Vereinigung, die auch aus abzählbar unendlich vielen Mengen bestehen darf, sollte als Maß die Summe ihrer Teillängen gegeben werden. Unter diesen Forderungen stellt man allerdings fest, dass eine solche Längenmessung nicht möglich ist. Zumindest dann nicht, wenn man alle Teilmengen von \( {\mathbb{R}} \) zulassen will. Schränkt man sich in der Wahl der zulässigen Teilmengen ein, wird eine Längenmessung möglich. Die zulässigen Mengensysteme werden \( \sigma \)-Algebren genannt und im ersten Abschnitt eingeführt.

Anton Deitmar

Chapter 14. Integration

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird die Lebesguesche Integrationstheorie eingeführt, die es erlaubt, mehr Funktionen zu integrieren als in der Riemannschen Theorie möglich ist. Ferner gelten in dieser Integrationstheorie bessere Konvergenzsätze, wie der Satz der monotonen Konvergenz oder der Satz der dominierten Konvergenz.

Anton Deitmar

Chapter 15. L p -Räume

Zusammenfassung

Zu einem gegebenen Maß \( \mu \) und \( \begin{aligned} p \ge 1 \hfill \\ \hfill \\ \end{aligned} \) ist \( {\text{L}}^{p} \left( \mu \right) \) der Raum der Funktionen \( f \), für die \( \left| f \right|^{p} \) integrierbar ist, wobei der Raum der Nullfunktionen herausdividiert wird. Der Satz von Riesz-Fischer besagt, dass \( {\text{L}}^{p} \left( \mu \right) \) vollständig, also ein Banach-Raum ist. Ein wichtiger Spezialfall ist der Fall \( P = 2 \), in welchem man einen Hilbert-Raum erhält.

Anton Deitmar

Chapter 16. Produktintegral

Zusammenfassung

Zu gegebenen Maßen auf X und Y kann man ein kanonisches Maß auf \( X \times Y \) konstruieren. Der berühmte Satz von Fubini besagt, dass man bezüglich dieses Maßes integrieren kann, indem man zuerst über X und dann über y integriert oder umgekehrt.

Anton Deitmar

Integration auf Mannigfaltigkeiten

Frontmatter

Chapter 17. Differentialformen

Zusammenfassung

Bei allen Vorteilen, die die Lebesguesche Integrationstheorie hat, so liefert sie nicht den Zusammenhang zwischen Integration und Differentiation wie es der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung im Eindimensionalen leistet. Diesen Zusammenhang in den Fall höherer Dimension zu verallgemeinern ist das Ziel der folgenden Kapitel. Als Integrationsräume kommen in dieser Theorie sogenannte Mannigfaltigkeiten in Frage. Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal aussieht wie der \( {\mathbb{R}}^{N} \). Man denke zum Beispiel an die Oberfläche einer Kugel. Es ist für unsere Zwecke nützlich, nur Mannigfaltigkeiten zu betrachten, die ihrerseits in einem \( {\mathbb{R}}^{N} \) liegen, wobei N beliebig groß gewählt werden kann.

Anton Deitmar

Chapter 18. Der Satz von Stokes

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird die Integration von Differentialformen eingeführt und der Stokesche Integralsatz bewiesen. Orientierungen auf Hyperflächen werden mit normalen Vektorfeldern identifiziert. Ein wichtiges Hilfsmittel, um lokale Resultate global auf Mannigfaltigkeit anzuwenden ist die Teilung der Eins, der besonderer Raum gegeben wird.

Anton Deitmar

Backmatter

Titel: Analysis
verfasst von: Anton Deitmar
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-53352-9
Print ISBN: 978-3-662-53351-2
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-53352-9