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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung

Zusammenfassung
Die Analysis hat ihre Begründung im Konzept des Unendlichen, das schon früh zum Begriff des Kontinuums und der reellen Zahlen geführt hat. Im ersten Semester werden wir die elementare Analysis bis zur Integral- und Differentialrechnung einer Veränderlichen kennenlernen. Dabei werden Sie oft bekanntem Stoff aus der Schule begegnen. Wir wollen uns allerdings hier bemühen, ein möglichst übersichtliches Konzept der Analysis zu finden.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 1. Reelle Zahlen

Zusammenfassung
Die reellen Zahlen sind das Fundament, auf dem die Analysis aufgebaut ist. Sie bilden eine Menge mit mindestens zwei Elementen, welche einen vollständig angeordneten und vollständigen Körper definiert. Die Eigenschaften der reellen Zahlen werden auf den folgenden Axiomen (Körperaxiome, Anordnungsaxiome und Vollständigkeitsaxiom) begründet.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 2. Euklidische Räume und ℂ

Zusammenfassung
Der ℝ n wird als die Menge aller geordneten n-Tupel reeller Zahlen,
$${\mathbb{R}^n}: = \left\{ {x = \left( {{x_1},...,{x_n}} \right)T|{\chi _j} \in \mathbb{R},j = 1,...n} \right\}$$
(2.1)
definiert, auf der Addition, Multiplikation mit skalaren, eine euklidische Länge und ein Skalarprodukt eingeführt werden. Die Addition + : ℝ n × ℝ n → ℝ n ist erklärt durch
$$x + y: = {\left( {{x_{1}} + {y_{1}},{x_{2}} + {y_{2}},...,{x_{n}} + {y_{n}}} \right)^{T}}$$
(2.2)
.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 3. Zahlenfolgen, Konvergenz, Reihen, Punktfolgen

Zusammenfassung
Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen oder komplexen Zahlen:
  • Definition 3.1: (ai, a2, a3,…) = {aj}jϵℕ ⊂ ℂ heißt Zahlenfolge, wenn eine Abbildung
    $${a_k}:\{ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathbb{N} \to \mathbb{R}} \\ {k \mapsto {a_k}} \end{array}$$
    (3.1)
    die Folgenglieder a k eindeutig festlegt.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 4. Funktionen in ℝ n und in ℂ

Zusammenfassung
Der Begriff der Funktionen bildet die Grundlage der gesamten Analysis; in ihr sind bereits die meisten zentralen Konzepte zu finden. Eine besondere Rolle spielen dabei die Begriffe des Funktionenlimes und der Stetigkeit.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 5. Funktionenfolgen

Zusammenfassung
Funktionenfolgen treten bei vielen Berechnungsverfahren auf, denn in den meisten Problemen der Anwendungen werden Funktionen und nicht nur Zahlenwerte als Lösungen gesucht. Wir werden später Funktionenfolgen bei der Definition des Integrals, der Lösung von Differentialgleichungen, der Bestimmung der Umkehrfunktion, konformen Abbildungen, der Lösung von Variationsproblemen und vielem anderen mehr benötigen.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 6. Integration

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir mit verschiedenen mathematischen Techniken den Begriff des Integrals begründen. Wir gehen zu diesem Zweck von der anschaulichen Eigenschaft des Integrals als Flächeninhalt aus. Das Konzept der Integration trat schon sehr früh beim Problem der Flächenberechnung für Bereiche auf, die von krummlinigen Kurven umschlossen werden. So hatte Archimedes bereits das Prinzip des Riemann-Integrals benutzt und die Fläche einer Kreisscheibe sowie die unter einer quadratischen Kurve berechnet. Integration wird überall dort benötigt, wo ändernde Ursachen sich zu einer Gesamtwirkung summieren. Die Bedeutung der Integration als mathematische Operation wurde von Newton und von Leibniz im 17. Jahrhundert durch die Entdeckung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erkannt. Das Integral einer Funktion auf einem bestimmten Intervall erlaubt es, den Inhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen, der durch die Funktion definiert wird, zu berechnen. Sehr einfach läßt sich eine solche Fläche berechnen, wenn sie aus lauter Rechtecken besteht, wenn sich also die Kurve aus lauter waagerechten Strecken zusammensetzt (vgl. Abb. 6.1). Solche Funktionen werden Treppenfunktionen genannt und im folgenden definiert. Für Rechtecke ist uns der Flächeninhalt als Produkt der Seitenlängen geläufig. Wir werden deshalb das Integral zunächst durch Addition von Rechteckflächen definieren.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 7. Differential- und Integralrechnung

Zusammenfassung
Die Differential- und Integralrechnung geht vor allem auf zwei Mathematiker zurück: Auf Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 8. Differentiation im ℝ n

Zusammenfassung
Bei der Beschreibung der Realität kann man nicht mit Funktionen einer Veränderlichen auskommen; lehrt uns doch schon die naive Beobachtung, daß drei räumliche und eine zeitliche Veränderliche nötig sind, um Vorgänge unserer Umgebung zuzuordnen.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 9. Einige Anwendungen und Bemerkungen zu Funktionen von mehreren Veränderlichen

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt sollen einige Anwendungen der Differentialrechnung im ℝ n behandelt werden. Dazu gehören Extremwertaufgaben, die globale Beschreibung von Flächen, nichtlineare Gleichungen und Iterationsverfahren sowie der Satz über implizite Funktionen.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 10. Parameterabhängige und mehrfache Integrale im ℝ n

Zusammenfassung
Um im ℝ n integrieren zu können, wird man zunächst versuchen, die Integration auf die einfache Integration in ℝ zurückzuführen. Denkt man aber an die urspüngliche Idee, das Integral als Grenzwert von geeigneten Näherungsflächen oder -volumina aufzufassen, so wird man für allgemeinere Integralbegriffe diesen Näherungsprozess entsprechend dem im Kapitel 6 gleich im ℝ n durchführen müssen. Dies führt auf die Maß- und Integrationstheorie im ℝ n .
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 11. Die Integralsätze von Gauß, Ostrogradski und Green

Zusammenfassung
Da im ℝ n der Rand eines Integrationsbereiches sehr viel komplizierter ist als Endpunkte eines Intervalles im ℝ1, führt die partielle Integration im Raum zu komplizierteren Formeln, in denen auch noch Integrationen über Randkurven und Randflächen auftreten. Diese Beziehungen zwischen Rand- und Volumenintegralen sowie Flächenintegralen sind das Fundament aller Erhaltungsaussagen, die in allen Anwendungen als Grundgesetze auftreten. Sie stellen den Zusammenhang zwischen sogenannten Quelldichten im räumlichen Bereich und den Flüssen durch deren Ränder her. Die mathematische Formulierung dieser Integralsätze bildet das Fundament so wichtiger Gebiete wie der Variationsrechnung, partieller Differentialgleichungen, numerischer Verfahren mit finiten Elementen, Differenzenverfahren und vielem anderen.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 12. Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Dieser Abschnitt über gewöhnliche Differentialgleichungen gliedert sich wie folgt: Behandelt werden Existenz, Eindeutigkeitsfragen sowie die Abhängigkeit von Anfangsbedingungen für explizite Systeme von Differentialgleichungen. Sodann folgt ein längerer Abschnitt über lineare Systeme erster Ordnung einschließlich des D’Alembertschen Reduktionsverfahrens und der Methode der Variation der Konstanten. Für lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten wird die Transformation auf die Jordansche Normalform der Koeffizientenmatrix behandelt und für diese die Gestalt der allgemeinen Lösung. Sodann werden Anfangswertprobleme für lineare Gleichungen höherer Ordnung auf solche für Systeme erster Ordnung zurückgeführt. Ein weiterer Abschnitt ist dem Langzeitverhalten der Lösungen und der Stabilität von Gleichgewichtslagen gewidmet. Eine kurze Einführung in die Theorie der Attraktoren dynamischer Systeme schließt sich an. Danach wird ein einfaches Beispiel der Regelungstheorie behandelt, wobei in diesem Abschnitt auf die entsprechenden Beweise verzichtet wird. Die Clairautsche Differentialgleichung dient sodann als ein Beispiel für die Eigenschaften implizierter Differentialgleichungen und ihrer singulären Lösungen.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 13. Rand- und Eigenwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Viele Anwendungen gewöhnlicher Differentialgleichungen in der Physik, insbesondere den klassischen Gebieten der Festkörpermechanik und Festigkeitslehre, der stationären Schwingungsvorgänge sowie kritischer Belastungen von Bauteilen und Gebäuden führen auf Randwertprobleme, unter denen diejenigen für gewöhnliche Differentialgleichungen bei räumlich eindimensionalen Problemen als einfachstes Modell dienen können. Bei den Randwertproblemen erweisen sich Eigenwertprobleme als besonders interessant, denn mit Hilfe der vollständigen Systeme von Eigenlösungen gelingt die Begründung der Entwicklung beliebiger Funktionen in Fourierreihen nach diesen Systemen. Mit ihrer Hilfe gewinnt man die Spektraldarstellung sowohl der Differentialoperatoren als auch der Lösung inhomogener Randwertaufgaben. Dieser Zugang bereitet die Spektralmethoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen vor, die in den zugehörigen Übungsaufgaben behandelt worden sind, auf deren Darstellung wir allerdings angesichts der begrenzten Zeit für eine solche Vorlesung hier verzichtet haben. Zur Einführung in dieses Gebiet, das aus den entsprechenden Methoden zur Untersuchung quantenmechanischer Systeme in der Physik entstanden sind, werden wir uns hier nur auf den einfachen Fall der Sturmschen Randwertprobleme auf einem kompakten reellen Intervall beschränken. Die Übertragung der Methoden auf die etwas allgemeineren Sturm-Liouvilleschen Randwertprobleme dürfte dem Studierenden später nicht schwerfallen.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 14. Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Komplexen

Zusammenfassung
In diesem Teil der Vorlesung werden wir uns mit komplexwertigen Funktionen einer komplexen Veränderlichen z = x + iy befassen, mit Funktionen der Gestalt \(f\left( z \right) = u\left( {x,y} \right) + iv\left( {x,y} \right):\mathbb{C} \to \mathbb{C}\).
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 15. Der Cauchysche Integralsatz

Zusammenfassung
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen führen zu einer besonderen Form des Gaußschen Integralsatzes für komplex differenzierbare Funktionen, die eine ganze Reihe spezieller Eigenschaften nach sich zieht.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 16. Laurent-Reihen und Residuensatz

Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Reihendarstellung analytischer Funktionen, den sogenannten Laurent-Reihen. Im Unterschied zu Potenzreihen enthalten diese auch negative Potenzen von (zz0) wobei z0 der Entwicklungspunkt ist. Eine wichtige Anwendung der Laurent-Reihen ist der Residuensatz zur Berechnung von geschlossenen Kurvenintegralen über eine holomorphe Funktion mit Ausnahme endlich vieler isolierter Singularitäten, der sogenannte Residuensatz.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 17. Eigenschaften holomorpher Funktionen

Zusammenfassung
Satz 17.1 (Identitätssatz): Stimmen zwei im Gebiet G ⊂ ℂ holomorphe Funktionen f und g in unendlich vielen Punkten z k G überein und gilt lim z k = z0G, so sind f(z) und g(z) identisch.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 18. Analytische Fortsetzung und Schwarzsches Spiegelungsprinzip

Zusammenfassung
Sind G1 und G2 zwei Gebiete mit D := G1G2 ≠ ∅ und f j (z) zwei holomorphe Funktionen in G j , j = 1, 2 mit f 1 (z) = f 2 (z) für alle zD, dann gibt es genau eine holomorphe Funktion F(z) in G1G2 mit \({F_{|{G_j}}} = {f_j}f\ddot uj = 1,2\).
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 19. Konforme Abbildungen und Familien holomorpher Funktionen

Zusammenfassung
Die konformen Abbildungen spielen für die im Zusammenhang mit holomorphen Funktionen stehenden Randwertaufgaben eine ganz zentrale Rolle und werden deshalb auch in vielen Anwendungen benötigt.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 20. Fourier-Reihen

Zusammenfassung
Wie wir bereits gesehen haben, können außerhalb des Nullpunktes definierte analytische Funktionen in ihre Laurent-Reihe entwickelt werden und zum Beispiel auf dem Einheitskreis S1 durch deren Partialsummen, nämlich trigonometrische Polynome approximiert werden. Letztere auf S1 sind die sogenannten Fourier-Reihen, die bereits von Daniel Bernoulli 1753 zur Darstellung periodischer Vorgänge in der Akustik benutzt wurden. Joseph Fourier hat 1822 mit Hilfe der nun nach ihm benannten trigonometrischen Polynomentwicklungen das Anfangsrandwertproblem der instationären Wärmeleitung in einem Metallstab endlicher Länge gelöst. Inzwischen hat sich herausgestellt, daß die Fourier-Reihen nicht nur beliebig glatte periodische Funktionen sondern auch verallgemeinerte Funktionen, die sogenannten Distributionen approximieren. So ist die harmonische Analysis, das ist die Analysis mittels Fourier-Entwicklungen, trotz ihres Alters zu einer der wichtigsten Grundlagen moderner Analysis und Funktionalanalysis geworden: Für die Distributionstheorie und Theorie der Sobolev-Slobodeckii-Funktionenräume, die Approximationstheorie, Stabilitäts- und Konvergenzanalyse von Näherungsund Lösungsverfahren für singuläre Integralgleichungen, Pseudodifferential- und Toeplitz-Operatorgleichungen, Randwert- sowie Anfangsrandwertprobleme partieller Differentialgleichungen, analytische Zahlentheorie und nicht zuletzt für effiziente Methoden in der numerischen Mathematik und numerischen linearen Algebra in Form von Spektralverfahren und schneller Fourier-Transformation (FFT).
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

Kapitel 21. Riemann-Hilbert-Probleme

Zusammenfassung
Die Randwertaufgaben für die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind einerseits grundlegend für viele Anwendungen, zum anderen enthüllen sie tiefe, überraschende Zusammenhänge zwischen topologischen Invarianten und algebraischen Invarianten stetiger linearer Abbildungen. Solche Zusammenhänge sind für elliptische partielle Differentialgleichungen sowie sogenannte Pseudodifferentialoperatoren in vielen Problemstellungen typisch.
Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach

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