Analysis

Die Analysis hat ihre Begründung im Konzept des Unendlichen, das schon früh zum Begriff des Kontinuums und der reellen Zahlen geführt hat. Im ersten Semester werden wir die elementare Analysis bis zur Integral- und Differentialrechnung einer Veränderlichen kennenlernen. Dabei werden Sie oft bekanntem Stoff aus der Schule begegnen. Wir wollen uns allerdings hier bemühen, ein möglichst übersichtliches Konzept der Analysis zu finden.

Die reellen Zahlen sind das Fundament, auf dem die Analysis aufgebaut ist. Sie bilden eine Menge mit mindestens zwei Elementen, welche einen vollständig angeordneten und vollständigen Körper definiert. Die Eigenschaften der reellen Zahlen werden auf den folgenden Axiomen (Körperaxiome, Anordnungsaxiome und Vollständigkeitsaxiom) begründet.

Der ℝ ⁿ wird als die Menge aller geordneten n-Tupel reeller Zahlen, definiert, auf der Addition, Multiplikation mit skalaren, eine euklidische Länge und ein Skalarprodukt eingeführt werden. Die Addition + : ℝ ⁿ × ℝ ⁿ → ℝ ⁿ ist erklärt durch .

Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen oder komplexen Zahlen:

Der Begriff der Funktionen bildet die Grundlage der gesamten Analysis; in ihr sind bereits die meisten zentralen Konzepte zu finden. Eine besondere Rolle spielen dabei die Begriffe des Funktionenlimes und der Stetigkeit.

In diesem Kapitel wollen wir mit verschiedenen mathematischen Techniken den Begriff des Integrals begründen. Wir gehen zu diesem Zweck von der anschaulichen Eigenschaft des Integrals als Flächeninhalt aus. Das Konzept der Integration trat schon sehr früh beim Problem der Flächenberechnung für Bereiche auf, die von krummlinigen Kurven umschlossen werden. So hatte Archimedes bereits das Prinzip des Riemann-Integrals benutzt und die Fläche einer Kreisscheibe sowie die unter einer quadratischen Kurve berechnet. Integration wird überall dort benötigt, wo ändernde Ursachen sich zu einer Gesamtwirkung summieren. Die Bedeutung der Integration als mathematische Operation wurde von Newton und von Leibniz im 17. Jahrhundert durch die Entdeckung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erkannt. Das Integral einer Funktion auf einem bestimmten Intervall erlaubt es, den Inhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen, der durch die Funktion definiert wird, zu berechnen. Sehr einfach läßt sich eine solche Fläche berechnen, wenn sie aus lauter Rechtecken besteht, wenn sich also die Kurve aus lauter waagerechten Strecken zusammensetzt (vgl. Abb. 6.1). Solche Funktionen werden Treppenfunktionen genannt und im folgenden definiert. Für Rechtecke ist uns der Flächeninhalt als Produkt der Seitenlängen geläufig. Wir werden deshalb das Integral zunächst durch Addition von Rechteckflächen definieren.

Die Differential- und Integralrechnung geht vor allem auf zwei Mathematiker zurück: Auf Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz.

Bei der Beschreibung der Realität kann man nicht mit Funktionen einer Veränderlichen auskommen; lehrt uns doch schon die naive Beobachtung, daß drei räumliche und eine zeitliche Veränderliche nötig sind, um Vorgänge unserer Umgebung zuzuordnen.

In diesem Abschnitt sollen einige Anwendungen der Differentialrechnung im ℝ ⁿ behandelt werden. Dazu gehören Extremwertaufgaben, die globale Beschreibung von Flächen, nichtlineare Gleichungen und Iterationsverfahren sowie der Satz über implizite Funktionen.

Um im ℝ ⁿ integrieren zu können, wird man zunächst versuchen, die Integration auf die einfache Integration in ℝ zurückzuführen. Denkt man aber an die urspüngliche Idee, das Integral als Grenzwert von geeigneten Näherungsflächen oder -volumina aufzufassen, so wird man für allgemeinere Integralbegriffe diesen Näherungsprozess entsprechend dem im Kapitel 6 gleich im ℝ ⁿ durchführen müssen. Dies führt auf die Maß- und Integrationstheorie im ℝ ⁿ .

Da im ℝ ⁿ der Rand eines Integrationsbereiches sehr viel komplizierter ist als Endpunkte eines Intervalles im ℝ¹, führt die partielle Integration im Raum zu komplizierteren Formeln, in denen auch noch Integrationen über Randkurven und Randflächen auftreten. Diese Beziehungen zwischen Rand- und Volumenintegralen sowie Flächenintegralen sind das Fundament aller Erhaltungsaussagen, die in allen Anwendungen als Grundgesetze auftreten. Sie stellen den Zusammenhang zwischen sogenannten Quelldichten im räumlichen Bereich und den Flüssen durch deren Ränder her. Die mathematische Formulierung dieser Integralsätze bildet das Fundament so wichtiger Gebiete wie der Variationsrechnung, partieller Differentialgleichungen, numerischer Verfahren mit finiten Elementen, Differenzenverfahren und vielem anderen.

Dieser Abschnitt über gewöhnliche Differentialgleichungen gliedert sich wie folgt: Behandelt werden Existenz, Eindeutigkeitsfragen sowie die Abhängigkeit von Anfangsbedingungen für explizite Systeme von Differentialgleichungen. Sodann folgt ein längerer Abschnitt über lineare Systeme erster Ordnung einschließlich des D’Alembertschen Reduktionsverfahrens und der Methode der Variation der Konstanten. Für lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten wird die Transformation auf die Jordansche Normalform der Koeffizientenmatrix behandelt und für diese die Gestalt der allgemeinen Lösung. Sodann werden Anfangswertprobleme für lineare Gleichungen höherer Ordnung auf solche für Systeme erster Ordnung zurückgeführt. Ein weiterer Abschnitt ist dem Langzeitverhalten der Lösungen und der Stabilität von Gleichgewichtslagen gewidmet. Eine kurze Einführung in die Theorie der Attraktoren dynamischer Systeme schließt sich an. Danach wird ein einfaches Beispiel der Regelungstheorie behandelt, wobei in diesem Abschnitt auf die entsprechenden Beweise verzichtet wird. Die Clairautsche Differentialgleichung dient sodann als ein Beispiel für die Eigenschaften implizierter Differentialgleichungen und ihrer singulären Lösungen.

Viele Anwendungen gewöhnlicher Differentialgleichungen in der Physik, insbesondere den klassischen Gebieten der Festkörpermechanik und Festigkeitslehre, der stationären Schwingungsvorgänge sowie kritischer Belastungen von Bauteilen und Gebäuden führen auf Randwertprobleme, unter denen diejenigen für gewöhnliche Differentialgleichungen bei räumlich eindimensionalen Problemen als einfachstes Modell dienen können. Bei den Randwertproblemen erweisen sich Eigenwertprobleme als besonders interessant, denn mit Hilfe der vollständigen Systeme von Eigenlösungen gelingt die Begründung der Entwicklung beliebiger Funktionen in Fourierreihen nach diesen Systemen. Mit ihrer Hilfe gewinnt man die Spektraldarstellung sowohl der Differentialoperatoren als auch der Lösung inhomogener Randwertaufgaben. Dieser Zugang bereitet die Spektralmethoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen vor, die in den zugehörigen Übungsaufgaben behandelt worden sind, auf deren Darstellung wir allerdings angesichts der begrenzten Zeit für eine solche Vorlesung hier verzichtet haben. Zur Einführung in dieses Gebiet, das aus den entsprechenden Methoden zur Untersuchung quantenmechanischer Systeme in der Physik entstanden sind, werden wir uns hier nur auf den einfachen Fall der Sturmschen Randwertprobleme auf einem kompakten reellen Intervall beschränken. Die Übertragung der Methoden auf die etwas allgemeineren Sturm-Liouvilleschen Randwertprobleme dürfte dem Studierenden später nicht schwerfallen.

In diesem Teil der Vorlesung werden wir uns mit komplexwertigen Funktionen einer komplexen Veränderlichen z = x + iy befassen, mit Funktionen der Gestalt \(f\left( z \right) = u\left( {x,y} \right) + iv\left( {x,y} \right):\mathbb{C} \to \mathbb{C}\).

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen führen zu einer besonderen Form des Gaußschen Integralsatzes für komplex differenzierbare Funktionen, die eine ganze Reihe spezieller Eigenschaften nach sich zieht.

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Reihendarstellung analytischer Funktionen, den sogenannten Laurent-Reihen. Im Unterschied zu Potenzreihen enthalten diese auch negative Potenzen von (z — z₀) wobei z₀ der Entwicklungspunkt ist. Eine wichtige Anwendung der Laurent-Reihen ist der Residuensatz zur Berechnung von geschlossenen Kurvenintegralen über eine holomorphe Funktion mit Ausnahme endlich vieler isolierter Singularitäten, der sogenannte Residuensatz.

Satz 17.1 (Identitätssatz): Stimmen zwei im Gebiet G ⊂ ℂ holomorphe Funktionen f und g in unendlich vielen Punkten z _k ∈ G überein und gilt lim z _k = z₀ ∈ G, so sind f(z) und g(z) identisch.

Sind G₁ und G₂ zwei Gebiete mit D := G₁ ∩ G₂ ≠ ∅ und f _j (z) zwei holomorphe Funktionen in G _j , j = 1, 2 mit f ₁ (z) = f ₂ (z) für alle z ∈ D, dann gibt es genau eine holomorphe Funktion F(z) in G₁ ∪ G₂ mit \({F_{|{G_j}}} = {f_j}f\ddot uj = 1,2\).

Die konformen Abbildungen spielen für die im Zusammenhang mit holomorphen Funktionen stehenden Randwertaufgaben eine ganz zentrale Rolle und werden deshalb auch in vielen Anwendungen benötigt.

Wie wir bereits gesehen haben, können außerhalb des Nullpunktes definierte analytische Funktionen in ihre Laurent-Reihe entwickelt werden und zum Beispiel auf dem Einheitskreis S¹ durch deren Partialsummen, nämlich trigonometrische Polynome approximiert werden. Letztere auf S¹ sind die sogenannten Fourier-Reihen, die bereits von Daniel Bernoulli 1753 zur Darstellung periodischer Vorgänge in der Akustik benutzt wurden. Joseph Fourier hat 1822 mit Hilfe der nun nach ihm benannten trigonometrischen Polynomentwicklungen das Anfangsrandwertproblem der instationären Wärmeleitung in einem Metallstab endlicher Länge gelöst. Inzwischen hat sich herausgestellt, daß die Fourier-Reihen nicht nur beliebig glatte periodische Funktionen sondern auch verallgemeinerte Funktionen, die sogenannten Distributionen approximieren. So ist die harmonische Analysis, das ist die Analysis mittels Fourier-Entwicklungen, trotz ihres Alters zu einer der wichtigsten Grundlagen moderner Analysis und Funktionalanalysis geworden: Für die Distributionstheorie und Theorie der Sobolev-Slobodeckii-Funktionenräume, die Approximationstheorie, Stabilitäts- und Konvergenzanalyse von Näherungsund Lösungsverfahren für singuläre Integralgleichungen, Pseudodifferential- und Toeplitz-Operatorgleichungen, Randwert- sowie Anfangsrandwertprobleme partieller Differentialgleichungen, analytische Zahlentheorie und nicht zuletzt für effiziente Methoden in der numerischen Mathematik und numerischen linearen Algebra in Form von Spektralverfahren und schneller Fourier-Transformation (FFT).