Analysis
Grundlagen, Differentiation, Integrationstheorie, Differentialgleichungen, Variationsmethoden, Funktionenräume, Darstellungssätze
- 2024
- Buch
- Verfasst von
- Friedrich Sauvigny
- Verlag
- Springer Berlin Heidelberg
Über dieses Buch
Dieses Lehrbuch behandelt Lehrinhalte der Analysis für die ersten drei Semester des Bachelor-Studiums der Mathematik, Physik und Informatik. Es bietet eine moderne Darstellung der Differential- und Integralrechnung für Funktionen in einer und mehreren reellen sowie einer komplexen Variablen. Elementare Funktionen werden über komplexe Potenzreihen definiert und die Logarithmusfunktion auf ihrer Riemannschen Fläche betrachtet. Nachdem die eindimensionale Integration mittels reeller und komplexer Stammfunktionen durchgeführt ist, wird über uneigentliche n-dimensionale Riemannsche Integrale die Integration auf Mannigfaltigkeiten mit Differentialformen vorgestellt. Mit dem Lebesgueschen Integral und dessen Maßtheorie wird der Banachraum der p-fach integrablen Funktionen eingeführt. Für gewöhnliche Differentialgleichungen werden Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen beantwortet. In einem Kapitel zur Variationsrechnung wird über Geodätische der n-dimensionale Riemannsche Raum präsentiert. Ferner wird das Stieltjes-Integral mit BV-Belegungsfunktionen behandelt und die Differentiation absolut stetiger Funktionen durchgeführt. Schließlich wird der stetige Dualraum zum Lebesgueraum der p-fach integrablen Funktionen über den Rieszschen Darstellungssatz bestimmt.
Inhaltsverzeichnis
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Frontmatter
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Erster Teil
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Frontmatter
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Kapitel 1. Das System der reellen und komplexen Zahlen sowie ihre Reihen
Friedrich SauvignyDas System der reellen und komplexen Zahlen sowie deren Reihen werden detailliert dargestellt. Beginnend mit einem Zitat von Aischylos, wird die historische Entwicklung der Zahlenbereiche beleuchtet und die Konstruktion der reellen Zahlen mittels Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen rationaler Zahlen erklärt. Die Vollständigkeit des Euklidischen Raumes wird durch Konstruktion gewährleistet. Weiterhin wird die Gaußsche Zahlenebene vorgestellt und die Lehre von Folgen und Reihen im Komplexen entwickelt. Besondere Aufmerksamkeit wird den Umordnungssätzen für Reihen und den Vertauschungssätzen für Doppelreihen geschenkt. Die Darstellung ist historisch fundiert und bietet tiefgehende Einblicke in die mathematische Analysis.KI-Generiert
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ZusammenfassungDie Bereiche, in welchen wir rechnen, sind einer historischen Entwicklung unterworfen. Wir präsentieren die Konstruktion der reellen Zahlen mittels Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen rationaler Zahlen, die D. Hilbert in seinem Buch Grundlagen der Geometrie vorgeschlagen hat. Diese Methode bildet ein Grundprinzip in der modernen Analysis. Dann wird der n-dimensionale Zahlenraum mit seinen topologischen Eigenschaften untersucht . -
Kapitel 2. Differential- und Integralrechnung in einer Veränderlichen
Friedrich SauvignyDas Kapitel 'Differential- und Integralrechnung in einer Veränderlichen' entwickelt eine umfassende Theorie der Funktionen, die sowohl vektorwertige als auch komplexwertige Funktionen einschließt. Es wird die Differenzierbarkeit und Integration sowohl im reellen als auch im komplexen Bereich behandelt, wobei besondere Aufmerksamkeit auf die Taylorsche Formel und die Krümmung von Kurven gelegt wird. Die Riemann-Stieltjes-Integration wird eingeführt, um Funktionen mit beschränkter Variation zu behandeln. Das Kapitel schließt mit der Einführung der Taylorschen Reihe und der Untersuchung von konvexen und konkaven Funktionen.KI-Generiert
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ZusammenfassungWir werden eine Theorie der Funktionen entwickeln, die sowohl vektorwertige Funktionen als auch solche mit komplexen Veränderlichen einschließt. Dieses Kapitel ist im Zusammenhang mit dem nächsten zu verstehen, wo explizit die in der Analysis häufig verwendeten sogenannten elementaren Funktionen vorgestellt werden. Diese werden durch reelle oder komplexe Potenzreihen definiert oder als deren Umkehrfunktion gewonnen. Wir werden in diesem Kapitel gleichermaßen reell und komplex differenzieren – und mit Hilfe von Stammfunktionen auch reell und komplex integrieren. -
Kapitel 3. Die elementaren Funktionen als Potenzreihen und Überlagerungsflächen
Friedrich SauvignyDas Kapitel beginnt mit der Einführung elementarer Funktionen als Potenzreihen und Überlagerungsflächen, unterstützt durch ein Zitat von Leonhard Euler. Es wird erklärt, dass elementare Funktionen lokal durch Potenzreihen darstellbar sind, wobei Polynome, gebrochen rationale Funktionen, Wurzelfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktion, sowie trigonometrische und hyperbolische Funktionen behandelt werden. Ein zentraler Punkt ist die komplexe Exponentialfunktion, die als die wichtigste Funktion in der Mathematik bezeichnet wird und in verschiedenen Anwendungen der Mathematik, wie dem radioaktiven Zerfall und der Entladung eines Kondensators, vorkommt. Die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion wird als natürliche Logarithmusfunktion gewonnen. Die komplexe Exponentialfunktion wird auf Riemannsche Flächen projiziert, um die komplexe Logarithmusfunktion zu definieren, die in der Geometrie eine zentrale Bedeutung hat. Das Kapitel schließt mit der Partialbruchzerlegung gebrochen rationaler Funktionen und dem Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra, der besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom wenigstens eine komplexe Nullstelle hat.KI-Generiert
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ZusammenfassungUnter den elementaren Funktionen in einer reellen oder komplexen Veränderlichen verstehen wir solche, die lokal durch eine reelle oder komplexe Potenzreihe darstellbar sind. Dazu gehören Polynome, gebrochen rationale Funktionen, Wurzelfunktionen, sowie die Exponential- und Logarithmusfunktion, die trigonometrischen Funktionen, die Arcus- und Hyperbelfunktionen als transzendente Funktionen.
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Zweiter Teil
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Frontmatter
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Kapitel 4. Partielle Differentiation und differenzierbare Mannigfaltigkeiten im
Friedrich SauvignyDas Kapitel behandelt die partielle Differentiation und die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten im Kontext der Mathematik. Es beginnt mit der Einführung der partiellen Ableitungen und deren Anwendung in der Differentialrechnung, wobei die Stetigkeit und die Approximierbarkeit durch lineare Abbildungen erläutert werden. Ein zentrales Thema ist die totale Differenzierbarkeit und die Näherung von Funktionen durch quadratische Funktionen zur Behandlung von Extremwertaufgaben. Weiterhin wird die Theorie der m-dimensionalen Mannigfaltigkeiten behandelt, einschließlich ihrer Orientierung und Immersion in den n-dimensionalen Euklidischen Raum. Besondere Aufmerksamkeit wird der Tiefe der mathematischen Konzepte und deren Anwendung in der Physik und Geometrie geschenkt, wobei auch auf die Herausforderungen und Besonderheiten der Theorie eingegangen wird.KI-Generiert
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In diesem Kapitel wollen wir die Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher entwickeln. Während der Begriff der Stetigkeit auch für die mehrdimensionale Situation zu Beginn von Kap. 2 behandelt wurde, werden wir die mehrdimensionale Differentialrechnung nun auf die eindimensionale zurückführen mit dem Konzept der partiellen Ableitungen. Hierbei ist die Lösbarkeitstheorie linearer Gleichungssysteme durch die Cramersche Regel notwendig.
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Kapitel 5. Riemannsches Integral im mit Approximations- und Integralsätzen
Friedrich SauvignyDas Kapitel beginnt mit einem Zitat von Bernhard Riemann und führt in die Theorie des Riemannschen Integrals ein. Es erklärt das Riemannsche Integral für stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen und erweitert dies auf Funktionen in n Veränderlichen. Ein zentraler Aspekt ist die Untersuchung der Menge der Unstetigkeitsstellen einer Funktion, um deren Integrierbarkeit zu gewährleisten. Das Kapitel behandelt auch das Riemannsche Integral für Funktionenklassen, die durch Standardsubstitutionen auf Integrale gebrochen rationaler Funktionen zurückgeführt werden können. Es wird gezeigt, wie das Riemannsche Integral für mehrere Veränderliche definiert wird und wie Standardsubstitutionen verwendet werden, um Integrale zu berechnen. Besondere Aufmerksamkeit wird der Iterierten Integration geschenkt, die es ermöglicht, mehrdimensionale Integrale auf niedrigere Dimensionen zurückzuführen. Der Text enthält auch den Beweis der Transformationsformel für mehrfache Integrale und führt in die Theorie der Differentialformen und den Stokesschen Integralsatz ein. Abschließend wird der Weierstraßsche Approximationssatz behandelt, der zeigt, dass jede holomorphe Funktion durch Polynome beliebig genau approximiert werden kann. Der Fachtext bietet eine umfassende und detaillierte Darstellung der Integrationstheorie und ist besonders für Experten in der Analysis und Integralrechnung von Interesse.KI-Generiert
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Wir haben bereits im Kap. 2 das Riemannsche Integral für stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen erklärt, um dann dort sowie im Kap. 3 sogar komplexe Stammfunktionen der elementaren Funktionen angeben zu können. Auf der Grundlage der Partialbruchzerlegung gebrochen rationaler Funktionen aus Kap. 3 wollen wir nun Klassen explizit durch Stammfunktionen integrierbarer Funktionen in Abschn. 3.1 mit Hilfe von Standardsubstitutionen behandeln.
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Kapitel 6. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Systeme
Friedrich SauvignyDer Beitrag beginnt mit der Erinnerung an eine Einsicht von Galileo Galilei: Naturwissenschaftliche Fragen ohne Hilfe der Mathematik zu behandeln, sei unmöglich. Das Kapitel behandelt systematisch Differentialgleichungen erster Ordnung, wobei die Eulersche Multiplikatormethode zur Lösung herangezogen wird. Es werden verschiedene Typen von Differentialgleichungen unterschieden, wobei insbesondere auf explizite und implizite Systeme eingegangen wird. Beispielhaft wird ein Anfangswertproblem für Differentialgleichungssysteme erster Ordnung behandelt, das auf ein Integralgleichungsproblem zurückgeführt wird. Anschließend werden gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung gelöst, wobei besonders einfach lineare Differentialgleichungen behandelt werden. Differentialgleichungen höherer Ordnung werden auf Systeme erster Ordnung zurückgeführt, und es werden spezielle Lösungsansätze für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten vorgestellt. Der Peanosche Existenzsatz und die sukzessive Approximation von Picard und Lindelöf werden detailliert erläutert. Der Beitrag schließt mit der Betrachtung der Struktur der Lösungsmenge und der Berechnung der Fundamentallösung für lineare Differentialgleichungssysteme.KI-Generiert
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ZusammenfassungWir beginnen mit der Behandlung von Differentialgleichungen erster Ordnung, die wir mit der Eulerschen Multiplikatormethode lösen. Dann betrachten wir systematisch Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, wobei wir Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen beantworten. Hier präsentieren wir den Peanoschen Existenzsatz und beweisen hierzu den Satz von Arzelà-Ascoli. Weiter stellen wir das Verfahren der sukzessiven Approximation von Picard und Lindelöf vor.
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Dritter Teil
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Frontmatter
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Kapitel 7. Eindimensionale Variationsrechnung und Riemannsche Räume
Friedrich SauvignyDas Kapitel beginnt mit einem Zitat von Martin Kneser und stellt die Bedeutung der gewöhnlichen Differentialgleichungen und der Differentialgeometrie heraus. Es leitet die Euler-Lagrange-Gleichungen und das Hamiltonsche System her und untersucht die Lösungen der sogenannten indirekten Variationsmethoden. Besondere Aufmerksamkeit wird der Weierstraßschen Feldtheorie und dem Hilbertschen invarianten Integral geschenkt, um die Frage zu beantworten, ob eine Geodätische ein Minimum des Riemannschen Längenfunktionals und des Energiefunktionals liefert. Der Begriff der Krümmung einer Kurve und der Schnittkrümmung des Riemannschen Raumes wird detailliert erklärt, wobei kovariante Ableitungen und die Gauß-Jacobi-Gleichung eine zentrale Rolle spielen. Das Kapitel schließt mit der Untersuchung von geodätischen Sektoren und der Jacobischen Theorie konjugierter Punkte, die entscheidend für die Minimaleigenschaft von Geodätischen ist. Die Anwendung des Sturmschen Vergleichssatzes auf die Gauß-Jacobi-Gleichung liefert wichtige Aussagen über die Existenz von konjugierten Punkten in Riemannschen Metriken mit positiver und negativer Schnittkrümmung.KI-Generiert
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ZusammenfassungIn diesem Kapitel wollen wir die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen aus dem Kap. 6 nutzen, um unseren Lesern schon früh eine Vorstellung vom n-dimensionalen Riemannschen Raum zu vermitteln; dieser ist für unser modernes Weltbild unverzichtbar. Wir überspringen in der Differentialgeometrie die Theorie von Flächen im Euklidischen Raum und widmen uns direkt dem Studium der Geodätischen bezüglich einer vorgegebenen Riemannschen Metrik – also ihrer kürzesten Verbindungen. -
Kapitel 8. Lebesguesche Integrationstheorie mit ihren linearen Funktionalen
Friedrich SauvignyDer Fachbeitrag behandelt die Lebesguesche Integrationstheorie, die auf den Arbeiten von Henri Lebesgue basiert. Lebesgue entwickelte seinen Integralbegriff, um den Flächeninhalt von Minimalflächen zu untersuchen, was eine fundamentale Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielt. Der Beitrag führt durch die Fortsetzung des Riemann-Integrals zum Lebesgue-Integral und behandelt verschiedene Konvergenzsätze, wie den Satz von B. Levi und den Satz von Fubini und Tonelli. Weiter werden die Sätze von Radon-Nikodym und die Darstellung von Funktionalen im Hilbertraum erläutert. Besonders hervorgehoben wird die starke Ableitung absolut stetiger Funktionen und die Approximationseigenschaften von Lebesgue-integrierbaren Funktionen. Der Beitrag schließt mit einem Ausblick auf die Anwendung der Lebesgueschen Integrationstheorie in der modernen Analysis.KI-Generiert
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Das Studium der Räume von D.Hilbert und S. Banach wird vorbereitet durch das Integral von H. Lebesgue. Aus seiner Beschäftigung mit sogenannten Minimalflächen, den Flächen kleinsten Inhalts, und dem damit verbundenen gründlichen Studium des Flächeninhalts hat Lebesgue seinen Maß- und Integralbegriff entwickelt, der auch für die Wahrscheinlichkeitstheorie fundamental ist.
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Backmatter
- Titel
- Analysis
- Verfasst von
-
Friedrich Sauvigny
- Copyright-Jahr
- 2024
- Verlag
- Springer Berlin Heidelberg
- Electronic ISBN
- 978-3-662-69865-5
- Print ISBN
- 978-3-662-69864-8
- DOI
- https://doi.org/10.1007/978-3-662-69865-5
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