Analysis

Grundlagen, Differentiation, Integrationstheorie, Differentialgleichungen, Variationsmethoden, Funktionenräume, Darstellungssätze

verfasst von: Friedrich Sauvigny

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch behandelt Lehrinhalte der Analysis für die ersten drei Semester des Bachelor-Studiums der Mathematik, Physik und Informatik. Es bietet eine moderne Darstellung der Differential- und Integralrechnung für Funktionen in einer und mehreren reellen sowie einer komplexen Variablen. Elementare Funktionen werden über komplexe Potenzreihen definiert und die Logarithmusfunktion auf ihrer Riemannschen Fläche betrachtet. Nachdem die eindimensionale Integration mittels reeller und komplexer Stammfunktionen durchgeführt ist, wird über uneigentliche n-dimensionale Riemannsche Integrale die Integration auf Mannigfaltigkeiten mit Differentialformen vorgestellt. Mit dem Lebesgueschen Integral und dessen Maßtheorie wird der Banachraum der p-fach integrablen Funktionen eingeführt. Für gewöhnliche Differentialgleichungen werden Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen beantwortet. In einem Kapitel zur Variationsrechnung wird über Geodätische der n-dimensionale Riemannsche Raum präsentiert. Ferner wird das Stieltjes-Integral mit BV-Belegungsfunktionen behandelt und die Differentiation absolut stetiger Funktionen durchgeführt. Schließlich wird der stetige Dualraum zum Lebesgueraum der p-fach integrablen Funktionen über den Rieszschen Darstellungssatz bestimmt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Erster Teil

Frontmatter

Kapitel 1. Das System der reellen und komplexen Zahlen sowie ihre Reihen

Zusammenfassung

Die Bereiche, in welchen wir rechnen, sind einer historischen Entwicklung unterworfen. Wir präsentieren die Konstruktion der reellen Zahlen mittels Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen rationaler Zahlen, die D. Hilbert in seinem Buch Grundlagen der Geometrie vorgeschlagen hat. Diese Methode bildet ein Grundprinzip in der modernen Analysis. Dann wird der n-dimensionale Zahlenraum mit seinen topologischen Eigenschaften untersucht .

Friedrich Sauvigny

Kapitel 2. Differential- und Integralrechnung in einer Veränderlichen

Zusammenfassung

Wir werden eine Theorie der Funktionen entwickeln, die sowohl vektorwertige Funktionen als auch solche mit komplexen Veränderlichen einschließt. Dieses Kapitel ist im Zusammenhang mit dem nächsten zu verstehen, wo explizit die in der Analysis häufig verwendeten sogenannten elementaren Funktionen vorgestellt werden. Diese werden durch reelle oder komplexe Potenzreihen definiert oder als deren Umkehrfunktion gewonnen. Wir werden in diesem Kapitel gleichermaßen reell und komplex differenzieren – und mit Hilfe von Stammfunktionen auch reell und komplex integrieren.

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Kapitel 3. Die elementaren Funktionen als Potenzreihen und Überlagerungsflächen

Zusammenfassung

Unter den elementaren Funktionen in einer reellen oder komplexen Veränderlichen verstehen wir solche, die lokal durch eine reelle oder komplexe Potenzreihe darstellbar sind. Dazu gehören Polynome, gebrochen rationale Funktionen, Wurzelfunktionen, sowie die Exponential- und Logarithmusfunktion, die trigonometrischen Funktionen, die Arcus- und Hyperbelfunktionen als transzendente Funktionen.

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Zweiter Teil

Frontmatter

Kapitel 4. Partielle Differentiation und differenzierbare Mannigfaltigkeiten im

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir die Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher entwickeln. Während der Begriff der Stetigkeit auch für die mehrdimensionale Situation zu Beginn von Kap. 2 behandelt wurde, werden wir die mehrdimensionale Differentialrechnung nun auf die eindimensionale zurückführen mit dem Konzept der partiellen Ableitungen. Hierbei ist die Lösbarkeitstheorie linearer Gleichungssysteme durch die Cramersche Regel notwendig.

Friedrich Sauvigny

Kapitel 5. Riemannsches Integral im mit Approximations- und Integralsätzen

Zusammenfassung

Wir haben bereits im Kap. 2 das Riemannsche Integral für stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen erklärt, um dann dort sowie im Kap. 3 sogar komplexe Stammfunktionen der elementaren Funktionen angeben zu können. Auf der Grundlage der Partialbruchzerlegung gebrochen rationaler Funktionen aus Kap. 3 wollen wir nun Klassen explizit durch Stammfunktionen integrierbarer Funktionen in Abschn. 3.1 mit Hilfe von Standardsubstitutionen behandeln.

Friedrich Sauvigny

Kapitel 6. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Systeme

Zusammenfassung

Wir beginnen mit der Behandlung von Differentialgleichungen erster Ordnung, die wir mit der Eulerschen Multiplikatormethode lösen. Dann betrachten wir systematisch Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, wobei wir Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen beantworten. Hier präsentieren wir den Peanoschen Existenzsatz und beweisen hierzu den Satz von Arzelà-Ascoli. Weiter stellen wir das Verfahren der sukzessiven Approximation von Picard und Lindelöf vor.

Friedrich Sauvigny

Dritter Teil

Frontmatter

Kapitel 7. Eindimensionale Variationsrechnung und Riemannsche Räume

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen aus dem Kap. 6 nutzen, um unseren Lesern schon früh eine Vorstellung vom n-dimensionalen Riemannschen Raum zu vermitteln; dieser ist für unser modernes Weltbild unverzichtbar. Wir überspringen in der Differentialgeometrie die Theorie von Flächen im Euklidischen Raum und widmen uns direkt dem Studium der Geodätischen bezüglich einer vorgegebenen Riemannschen Metrik – also ihrer kürzesten Verbindungen.

Friedrich Sauvigny

Kapitel 8. Lebesguesche Integrationstheorie mit ihren linearen Funktionalen

Das Studium der Räume von D.Hilbert und S. Banach wird vorbereitet durch das Integral von H. Lebesgue. Aus seiner Beschäftigung mit sogenannten Minimalflächen, den Flächen kleinsten Inhalts, und dem damit verbundenen gründlichen Studium des Flächeninhalts hat Lebesgue seinen Maß- und Integralbegriff entwickelt, der auch für die Wahrscheinlichkeitstheorie fundamental ist.

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Backmatter

Titel: Analysis
verfasst von: Friedrich Sauvigny
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-69865-5
Print ISBN: 978-3-662-69864-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-69865-5