1. Analytische Funktionen

Wir erinnern daran, dass \(\mathfrak{E}(I)\) die Menge der endlichen Teilmengen von \(I\) bezeichnet.

Sind \(f,g\colon D\to\mathbb{K}\) Funktionen, so gilt definitionsgemäß \(f=\textsl{O}(g)\) für \(x\to a\), wenn \(f/g\) in einer Umgebung von \(a\in\overline{D}\) beschränkt ist.

Die Reduktion auf den Fall \(m> 0\) ist offenbar überflüssig.

Man verwechsele die Umkehrabbildung \(F^{-1}\) nicht mit dem Kehrwert \(1/F\).

Dies gilt natürlich auch, wenn \(\mathop{\mathrm{Grad}}F\geq\mathop{\mathrm{Grad}}G\) ist.

Für alle \((m,n)\in\mathbb{Z}^{2}\), die nicht die Bedingung \(0\leq n\leq m\) erfüllen, setzt man \(S(m,n)=s(m,n)=0\).

Dies ist ein häufig angewandter Kunstgriff. Wir benutzen nur die formalen Differenziationsregeln.

Wir benutzen dazu einige Ergebnisse, die wir erst später beweisen werden.

Für jeden (auch nicht kommutativen) \(\mathbb{Z}\)-graduierten Ring \(A=\sum^{\oplus}_{k\in\mathbb{Z}}A_{k}\) ist \(d_{E}\colon\sum_{k}a_{k}\mapsto\sum_{k}ka_{k}\) eine Derivation, die Euler-Derivation von \(A\).

Ansonsten betrachte man bei \(I\neq\emptyset\) die Familie \(m_{i}/d\), \(i\in I\), wo \(d\) der ggT der \(m_{i}\) ist.

Die Folge \(q^{k}\), \(k\in\mathbb{N}\), ist also geometrisch von \(0\)-ter Ordnung.

Vgl. Ullrich, P.: Wie man beim Weierstraßschen Aufbau der Funktionentheorie das Cauchysche Integral vermeidet, Jber. d. Dt. Math.-Verein. 92, 89–110 (1990). Siehe auch Hurwitz, A.: Vorlesungen über Allgemeine Funktionentheorie und Elliptische Funktionen. Berlin \({}^{5}\)2000, dort insbesondere I,3,§5.

Man beachte, dass hier \(\overline{\mathbb{R}}\) nicht der Raum \(\mathbb{R}\uplus\{\pm\infty\}\) ist, sondern die zum Kreis \(S^{1}\) homöomorphe Ein-Punkt-Kompaktifizierung \(\mathbb{R}\uplus\{\infty\}\). In 14 , Beispiel 4.4.22 haben wir den unendlich fernen Punkt \(\infty\) mit \(\omega\) bezeichnet.

Für betragsmäßig kleine \(w\in\mathbb{C}\) liefert die Logarithmusreihe \(\sum_{n\in\mathbb{N}}(-1)^{n}w^{n+1}/(n+1)\) explizit ein \(\exp\)-Urbild von \(1+w\), vgl. Aufg. 1.2.18. – Man beachte, dass \(\exp\) nach Satz 1.3.7 eine offene Abbildung ist. Dort wird aber zum Beweis die Existenz von \(n\)-ten Wurzeln komplexer Zahlen benutzt, was wir hier vermeiden wollen. Vgl. auch die Bemerkung im Anschluss an den Beweis von Satz 1.3.4.

Dieser Satz besitzt eine wichtige Verallgemeinerung über die Struktur der Untergruppen der additiven Gruppen endlichdimensionaler \(\mathbb{R}\)-Vektorräume mit ihrer natürlichen Topologie. Vgl. dazu Bd. 4.

Der Faktor \(1/2\) hat historische Gründe. \(\pi\) wurde von Euklid und Archimedes zunächst als Fläche des Einheitskreises oder genauer als Quotient des Flächeninhalts eines Kreises der euklidischen Ebene und des Quadrats seines Radius eingeführt, vgl. 14 , Beispiel 3.3.9.

Darum ist es so schwierig, ein Klavier (harmonisch) zu stimmen. Der Quintenzirkel beruht auf dem Kompromiss \((3/2)^{12}\) „\(=\)“ \(2^{7}\). Das Intervall \((3/2)^{12}:2^{7}=3^{12}/2^{19}\) \(=531.441/524.288\) bezeichnet man als das pythagoreische Komma. Seine Kettenbruchentwicklung ist \({[}1,73,3,2,1,1,1,23,2,5{]}\approx{[}1,73{]}=74/73=1{,}\overline{01369863}\), vgl. Beispiel 3.3.11 in 14 . Das pythagoreische Komma ist also wesentlich kleiner als ein Halbton (d. h. \(2^{1/12}=1{,}059\ldots{}\) bei temperierter Stimmung). Vgl. auch Aufg. 3.10.9 b) in 14 .

Es sei darauf hingewiesen, dass die Bernoullischen Zahlen gelegentlich mit anderen Vorzeichen versehen und/oder anders nummeriert werden.

Auch die Eulerschen Zahlen werden gelegentlich mit anderen Vorzeichen versehen oder anders nummeriert. Für eine kombinatorische Interpretation der Eulerschen Zahlen siehe Aufg. 2.​2.​31.

Übrigens sind alle \(E_{2n}\), \(n\in\mathbb{N}\), positiv, vgl. Aufg. 2.​2.​31 oder Beispiel 3.​7.​7.