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Über dieses Buch

Prof. Bättig hält seit ca. 15 Jahren die "Vorlesung" zur Mathematik 1+2 für Ingenieure (in Bern vor allem Maschinen- und Elektroingenieure) - die Studierenden lesen das Skript "häppchenweise" eigenständig und können dann in der Lehrveranstaltung Fragen dazu stellen. Das Skript ist daher gut lesbar und mit zahlreichen Anwendungen, Beispielen und Plausibilitätsbegründungen (anstelle von formalen Beweisen) gespickt. Der Autor wird es noch deutlich überarbeiten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Harmonische Schwingungen und komplexe Zahlen

Zusammenfassung
Schwingungen von Objekten und von komplexen Molekülgruppen, Auslenkungen von Flugzeugflügeln oder Ströme in elektrischen Schwingkreisen sind Phänomene, die Ingenieurinnen und Ingenieure interessieren. Um die Phänomene zu beschreiben, benötigt man mathematische Werkzeuge: die Sinusschwingung – auch harmonische Schwingung genannt – und komplexe Zahlen. Im Kapitel werden beide Konzepte vorgestellt, die auf drehenden Ortsvektoren basieren.
Daniel Bättig

Kapitel 2. Folgen, Reihen und nichtlineare Gleichungen

Zusammenfassung
Lösungen von nichtlinearen Gleichungen können mit dem Bisektionsverfahren approximativ bestimmt werden. Mit dem Verfahren wird eine Lösung mit einer Folge von Zahlen berechnet: eine erste Approximation, eine zweite Approximation usw., bis die verlangte Genauigkeit erreicht ist. Die mathematischen Werkzeuge dazu sind Folgen und Grenzwerte. Folgen, insbesondere geometrische Folgen und Reihen, Grenzwerte und das Bisektionsverfahren bilden daher die Hauptfokusse des Kapitels.
Daniel Bättig

Kapitel 3. Nichtlineare Gleichungen, Minimierung und Ableitung

Zusammenfassung
Um komplexere mathematische Probleme wie nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, werden Algorithmen benutzt, bei denen die Ableitung oder der Gradient eine Rolle spielen. Ein solches Verfahren ist der Newton-Algorithmus. Damit können Lösungen von nichtlinearen Gleichungen effizienter als mit der Bisektion berechnet werden. Eine zweites Verfahren ist die Methode des steilsten Abstiegs. Damit können sowohl nichtlineare Gleichungssysteme gelöst als auch minimale Werte einer Funktion bestimmt werden. Diese Methode ist beim maschinellen Lernen und beim Anpassen von Regressionsmodellen sehr beliebt.
Daniel Bättig

Kapitel 4. Differenzialgleichungen und das Integral

Zusammenfassung
Modelle, um dynamische Phänomene aus der Physik, Chemie oder Biologie zu beschreiben, referieren auf Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Mit dem Ohm’schen Gesetz kann man Ströme in elektrischen Netzwerken beschreiben. Dabei werden die erste und zweite Ableitung der Stromstärke nach der Zeit benötigt. Solche Modelle, die aus Ableitungen und Gleichungen bestehen, werden Differenzialgleichungen genannt. Im Kapitel wird gezeigt, wie Differenzialgleichungen gelöst werden. Dazu benutzt man das Integral – ein Summationswerkzeug – und den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.
Daniel Bättig

Kapitel 5. Dynamische Systeme 1. Ordnung

Zusammenfassung
Viele dynamische Systeme können mit gewöhnlichen Differenzialgleichungen 1. Ordnung modelliert werden. Einfachere, in der Regel- und Elektrotechnik benutzte Systeme, führen zu linearen Differenzialgleichungen 1. Ordnung. Es wird gezeigt, wie diese mit der Methode von Duhamel gelöst werden. Als Lösungen entstehen Exponentialfunktionen. Mit ihnen kann man beurteilen, ob die Systeme stabil oder instabil sind.
Daniel Bättig

Kapitel 6. Dynamische Systeme: Kontrolle und Approximation

Zusammenfassung
Mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren kann ein AWP zu einer Differenzialgleichung 1. Ordnung numerisch und approximativ gelöst werden. Bei der Arbeit mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren geht man davon aus, dass das AWP eine eindeutige Lösung hat. Bei nichtlinearen Differenzialgleichungen kann das Cauchyproblem mehrere Lösungen haben. Lösungen können sogar ‚explodieren‘. Wie diese zwei Phänomene kontrolliert werden, wird im ersten Teil des Kapitels dargestellt. Im zweiten Teil des Kapitels werden autonome Systeme, die Methode der Separation der Variablen und das Euler-Vorwärts-Verfahren vorgestellt.
Daniel Bättig

Kapitel 7. Systeme von Differenzialgleichungen

Zusammenfassung
Komplexere dynamische Systeme, wie in Serie geschaltete Schwingkreise oder Federsysteme, führen zu gekoppelten Differenzialgleichungen. Lineare, gekoppelte Differenzialgleichungen können mit der Methode von Duhamel zusammen mit der Matrix-Exponentialfunktion gelöst werden. Um die Matrix-Exponentialfunktion zu definieren, benötigt man Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizes. Mit den Eigenwerten kann zudem beurteilt werden, ob dynamische Systeme stabil oder instabil sind.
Daniel Bättig

Backmatter

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