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Über dieses Buch

Mathematik! Aber wozu soll das bitte gut sein? Fast jede Lehrerin und jeder Lehrer wurde bereits mit dieser Frage konfrontiert. Dieses Buch macht den (Mehr-)Wert von Mathematik erfahrbar, indem Sie Algorithmen kennenlernen, mit denen Sie eine Vielzahl praktisch relevanter Probleme lösen können.

Aufbauend auf Grundkenntnissen der Analysis und linearen Algebra unternehmen wir einen Streifzug durch die Angewandte Mathematik:

Angefangen mit dem Lösen linearer und nichtlinearer Gleichungssysteme über die lineare Optimierung bis hin zu modernen Verfahren der Computeralgebra. So finden Sie leicht ein passendes Thema, um die Lebenswelt Ihrer Schülerinnen und Schüler aktiv mit mathematischen Methoden zu verknüpfen: Sei es, indem Sie die Bevölkerungsentwicklung basierend auf realen Daten prognostizieren oder wirtschaftliche Prozesse optimieren. Oder auch, indem Sie vermeintlich altbekannte Aufgaben wie die Multiplikation so lange kneten, bis Sie und Ihr Computer sie wirklich schnell und effizient lösen. So bekommen Sie unter anderem neue Impulse für Schwerpunktthemen oder Facharbeiten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Numerik

Im Bereich der Numerik werden wir uns exemplarisch mit der numerischen Lösung von linearen und nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen befassen und dabei auch etwas in die Tiefe gehen. Auf diese Weise bekommen Sie einen Eindruck von den spezifischen Fragestellungen und Methoden der numerischen Mathematik. Damit sollten Sie in der Lage sein, sich anhand geeigneter Lehrbücher auch in andere Bereiche der Numerik (wie zum Beispiel das numerische Lösen von Differentialgleichungen) einzuarbeiten.

Sascha Kurz, Michael Stoll, Karl Worthmann

2. Optimierung

Im Bereich der Optimierung werden wir uns exemplarisch mit der Linearen Optimierung befassen. Dabei geht es um die Modellierung, die qualitative und quantitative Analyse und die algorithmische Lösung von Entscheidungsproblemen, deren Ziel die Maximierung (oder Minimierung) einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen ist. Die durch die Nebenbedingungen definierte Menge bildet ein konvexes Polyeder, woraus folgt, dass das Optimum in einer Ecke angenommen wird. Das Simplexverfahren, das eine Weiterentwicklung des Gauß-Algorithmus ist, bestimmt eine optimale Ecke und löst damit lineare Optimierungsprobleme. Wir werden ein wenig theoretischen Aufwand betreiben, um auch ein Zertifikat für die Optimalität einer berechneten Lösung algorithmisch zu bestimmen.

Sascha Kurz, Michael Stoll, Karl Worthmann

3. Computeralgebra

Im Bereich der Computeralgebra werden wir Verfahren kennenlernen, mit denen man Berechnungen beschleunigen kann, zunächst am Beispiel der Multiplikation von Polynomen oder auch von beliebig großen ganzen Zahlen. Eine weitere allgemeine Technik ist die Verwendung von „modularen“ Algorithmen, was wir am Beispiel der Berechnung der Determinante einer Matrix von ganzen Zahlen untersuchen werden. Schließlich betrachten wir noch die Frage, wie man effizient feststellen kann, ob eine gegebene (große) natürliche Zahl eine Primzahl ist. Dies illustriert die Verwendung von Ergebnissen der Zahlentheorie und ist auch in der Praxis relevant für viele moderne kryptografische Verfahren.

Sascha Kurz, Michael Stoll, Karl Worthmann

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