Skip to main content
Fachgebiete
Automobil + Motoren Bauwesen + Immobilien Business IT + Informatik Elektrotechnik + Elektronik Energie + Nachhaltigkeit Finance + Banking Management + Führung Marketing + Vertrieb Maschinenbau + Werkstoffe Versicherung + Risiko
DE
EN
Bücher
Zeitschriften
Themenseiten
Organisationspsychologie Projektmanagement Marketing Smart Manufacturing
Weitere Formate
Podcasts Webinare Technik Webinare Wirtschaft Kongresse Veranstaltungskalender Awards
Jetzt Einzelzugang starten
Zugang für Unternehmen
Referenzkunden
SLX-Digitalkonferenz: Zukunftswerkstatt 2024

Mehr Umsatz mit Top-Kontakten

Am 7. Mai erfahren Sie, wie Vertriebsteams Leadgenerierung, Leadnurturing und Leadstrategien effizient steuern können.
Erweiterte Suche
Anmelden
nach oben
Erschienen in:
Einführung Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

4. Ansatzfunktionen

verfasst von : Manfred Hahn, Michael Reck

Erschienen in: Kompaktkurs Finite Elemente für Einsteiger

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config
loading …

Zusammenfassung

Dieses Kapitel befasst sich mit einem der Kernpunkte der Methode der Finiten Elemente, den Ansatzfunktionen. Ansatzfunktionen sind einfache, leicht zu berechnende Funktionen, mit denen die tatsächliche Lösung eines Feldproblems, die analytischen Methoden oft nicht zugänglich ist, angenähert wird. Diese Annäherung ist je nach Wahl der Ansatzfunktionen unterschiedlich gut, weswegen in diesem Kapitel die Herleitung und die grundlegenden Eigenschaften einiger Typen von Ansatzfunktionen besprochen werden. Sowohl eindimensionale, also auch mehrdimensionale Ansatzfunktionen für unterschiedliche Elementegeometrien (z. B. Dreiecke und Vierecke) werden hierbei eingeführt.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 102.000 Bücher
  • über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Maschinenbau + Werkstoffe
  • Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Maschinenbau + Werkstoffe




 

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren
Vorheriges Kapitel Mathematische Grundlagen der FEM
Nächstes Kapitel Finite-Elemente-Formulierung
Fußnoten
1
Dies ist einfach zu erklären: Die Verwendung der ersten Variation sorgt dafür, dass der Wert des Funktionals – in der Regel des Energiepotentials – nach dem Einsetzen der Ansatzfunktion ein Minimum einnimmt. Dieses ist, da es fehlerbehaftet sein kann, in jedem Falle mindestens so groß wie das analytische Minimum des Funktionals. Somit wird bei der Approximation gerade der Wert aus allen möglichen Werten, die das Funktional mit den Ansätzen annehmen kann, erreicht, der einen minimalen Abstand zum Wert der analytischen Lösung besitzt. In der Folge wird der Fehler des Funktionals – der Energiefehler – gerade minimiert.
 
2
Die Mathematiker sprechen hierbei von einem kompakten Träger der Ansatzfunktion.
 
3
Zu beachten ist hierbei, dass die zu invertierende Matrix im Gleichungssystem eine Vandermonde-Matrix ist, die in der Numerik für ihre schlechte Konditionierung bekannt sind [4].
 
4
Da beide Ansätze eine Basis für die Polynome \(p\)-ter Ordnung sind, können beide Ansätze exakt dieselben Feldverläufe darstellen.
 
5
Als Basis sind sämtliche Polynome linear unabhängig und in der Lage, ein beliebiges Polynom \(p\)-ter Ordnung durch ihre Linearkombination darzustellen.
 
6
Wird beispielsweise am linken Rand des Elements die Feldfunktion bei einem Anfangswertproblem mit 1 vorgegeben, während alle anderen Freiwerte mit Null vorgegeben sind, so entspricht der vorgegebene Feldverlauf gerade dem Knotenpunktansatz \(N_{1}(\xi)\). Dieser enthält bei Bernstein-Polynomen im Gegensatz zu Lagrange-Polynomen keine Oszillationen und der Maximalwert liegt immer am Knoten.
 
7
Dies wird im Anwendungsbeispiel 10.​4 demonstriert.
 
8
Die Oberfläche eines Dreiecks besteht im zweidimensionalen gerade aus seinen Kanten.
 
9
Für den räumlichen Tetraeder ist das Vorgehen analog.
 
10
Da \(j+k+l=p\) ist, besitzt dieses Polynom gerade den Grad \(p\).
 
11
Die Argumentation ist hierfür dieselbe wie bei der partition of unity der eindimensionalen Lagrange-Ansätze: Für das Dreieckselement bedeutet dies, dass entlang jeder Kante ein polynomialer Feldverlauf der Polynomordnung \(p\) vorliegt. Da entlang dieser Kante jedoch \(p+1\) Knoten liegen, muss der Verlauf für jeden Knotenpunktansatz, der an allen Knoten dieser Kante zu Null wird, konstant zu Null werden. Somit wird der Feldverlauf entlang der Kante nur durch Knotenpunktansätze beeinflusst, deren zugeordneter Knoten (mit Funktionswert 1) einer der Kantenknoten ist.
 
12
Mit besseren Ansatzfunktionen sind hier Ansatzfunktionen gemeint, die bessere Approximationseigenschaften besitzen. Dies sind zum Beispiel Ansatzfunktionen mit höherem Polynomgrad \(p\), oder, sofern bekannt, Ansatzfunktionen, die die analytische Lösung des Feldproblems abbilden.
 
13
Bei der isogeometrischen Analyse (IGA), der Verwendung von Splines und NURBS als Ansatzfunktionen, existiert zusätzlich die \(k\)-Verfeinerung (für Knoten), bei der bei konstanter Elementgröße und konstantem Polynomgrad ein zusätzlicher Knoten in das Element eingefügt wird [5].
 
14
Der Vergleich beider Verfeinerungsmethoden wird im Anwendungsbeispiel 10.​1 anhand von Konvergenzbetrachtungen weiter vertieft.
 
15
Die Alternative ist das Einführen von Zwangsbedingungen entlang der Kante des Elements höherer Ordnung, um dessen Kantenverlauf der Feldfunktion auf den Verlauf des Elements niedrigerer Ordnung zu zwingen.
 
16
Diese Form kann zum Beispiel über das Lagrange’sche Interpolationspolynom nach (4.8) bestimmt werden.
 
17
Die Anzahl der Knoten je Element ergibt sich wie folgt: Die Eckknoten grenzen jeweils an 4 Elemente an, Knoten auf dem Elementrand an jeweils 2 Elemente. Die Knoten in der Mitte werden nur von einem Element verwendet. Also ist \(\frac{\text{Knoten}}{\text{Element}}=\frac{\text{Eckknoten}}{4}+\frac{\text{Kantenknoten}}{2}+\text{Mittelknoten}\). Es sollte jedoch angemerkt werden, dass auch beim Lagrange-Element der Mittelknoten bei statischen Problemen mithilfe der statischen Kondensation eliminiert werden kann. Diese wird in Abschn. B.2 vorgestellt.
 
18
Der Kantenverlauf bei einer Biegung ist aber mindestens quadratisch.
 
Literatur
1.
Babuška, I., Szabó, B., Katz, I.: The p-version of the finite element method. SIAM J. Numer. Anal. 18(3), 515–545 (1981)MathSciNetCrossRef
2.
Betten, J.: Finite Elemente für Ingenieure 1: Grundlagen, Matrixmethoden, Elastisches Kontinuum. Springer, Berlin (2003) CrossRef
3.
Farin, G., Hoschek, J., Kim, M.-S.: Handbook of Computer Aided Geometric Design. North Holland (2002) MATH
4.
Higham, N. J.: Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2. Aufl. Society for Industrial and Applied Mathematics (2002) CrossRef
5.
6.
7.
8.
Metadaten
Titel
Ansatzfunktionen
verfasst von
Manfred Hahn
Michael Reck
Copyright-Jahr
2018
Buch
Kompaktkurs Finite Elemente für Einsteiger

Print ISBN: 978-3-658-22774-6

Electronic ISBN: 978-3-658-22775-3

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-22775-3_4

Premium Partner

    Marktübersichten

    Die im Laufe eines Jahres in der „adhäsion“ veröffentlichten Marktübersichten helfen Anwendern verschiedenster Branchen, sich einen gezielten Überblick über Lieferantenangebote zu verschaffen. 

    Zur Marktübersicht
    Bildnachweise