Anschauliche Elementargeometrie | springerprofessional.de

Springer Professional

nach oben

2024 | Buch

Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Anschauliche Elementargeometrie

Für (angehende) Lehrende der Primarstufe und Sekundarstufe I

verfasst von: Hans Humenberger, Berthold Schuppar

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch unterstützt bei der Vorbereitung eines reizvollen, lebendigen und problemorientierten Geometrieunterrichts in der Primarstufe und Sekundarstufe I. Es macht die entsprechenden Sachverhalte der Elementargeometrie zugänglich und erlebbar, indem geometrische Figuren beschrieben, konstruiert, variiert und analysiert und die beobachteten Phänomene möglichst anschaulich begründet werden. Die vorgeschlagenen Experimente verwenden dabei diverse Materialien – von Papier und Pappe (Falten, Schneiden, Kleben) über klassische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bis hin zur dynamischen Geometrie-Software (DGS) GeoGebra. Entsprechende Grundkenntnisse im Umgang mit GeoGebra werden dabei vorausgesetzt.

Im gesamten Buch stehen problemorientierte Ansätze, entdeckendes Lernen, Forschungsaufträge und Anwendungen im Vordergrund. In den ersten Kapiteln werden die zentralen Ziele, Inhalte und Methoden vorgestellt sowie die Inhalte der Schulgeometrie wiederholt. In den späteren Kapiteln werden diese auf einem etwas höheren mathematischen Niveau systematisiert und erweitert, jedoch nicht im Sinne einer axiomatischen Geometrie.

Das Buch richtet sich vorrangig an Studierende des Lehramts der Primarstufe und Sekundarstufe I bzw. an Grund-, Haupt- und Realschulen sowie an Lehrende in diesem Bereich.

Anzeige

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Experimente

Zusammenfassung

Wir beginnen mit einigen klassischen Materialien zur Geometrie, die bereits in der Grundschule weite Verbreitung gefunden haben, wie z. B. Legespiele, Spannen von Figuren mit Gummis und Papierfalten. Sie bieten aber genügend Substanz, um auch in der Sekundarstufe Sinnvolles zu leisten. Zum Teil sind sie sogar als Spielzeug bekannt und beliebt, auch für Erwachsene. Wir konzentrieren uns auf geometrische Probleme, die für Studierende und Lehrkräfte reizvoll sind. Es geht dabei nicht darum, alle Fragen endgültig zu beantworten; stattdessen wollen wir dazu anregen, anhand konkreter Materialien Erfahrungen zu sammeln, um zu erkennen, welches Potenzial darin steckt. Viele der angesprochenen Themen werden in späteren Kapiteln wieder aufgegriffen und eingehend behandelt.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

2. Dreiecke und Vierecke

Zusammenfassung

Zunächst werden im ersten Abschnitt verschiedene Typen von Dreiecken (Einteilung nach Seitenlängen und nach Winkeln) und wichtige Sätze über Winkel (Winkelsummen, Basiswinkelsatz etc.) behandelt. Die verschiedenen Typen von Vierecken sind reichhaltiger und bilden den nächsten Abschnitt. Es wird auch ein Haus der Vierecke mit den bekannten Vierecktypen vorgestellt, inkl. Schrägdrachen, Sehnenvierecken und Tangentenvierecken. Darüber hinaus werden auch weniger bekannte Vierecke, wie z. B. überschlagene oder Sehnen-Tangenten-Vierecke (auch bizentrische Vierecke genannt), thematisiert. Zum Schluss findet man genauere Ausführungen zu Winkeln (Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel), welche bei Begründungen immer wieder eine wichtige Rolle spielen.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

3. Symmetrie und Kongruenz

Zusammenfassung

Zu Beginn werden Phänomene rund um das Thema Symmetrie auf einer intuitiven Ebene und mit zahlreichen Beispielen besprochen. Dann folgt ein Abschnitt zu den bekannten Kongruenzabbildungen (Spiegelung, Drehung, Verschiebung), sie werden beschrieben inklusive ihrer typischen Eigenschaften (hier erfolgt noch keine systematische Behandlung, diese wird auf Kap. 13 verschoben). Anhand von Bandornamenten und verschiedenen Parketten lassen sich die Kongruenzabbildungen hervorragend verdeutlichen, weshalb diese im nächsten Abschnitt thematisiert sind. Den Abschluss bildet dann ein Abschnitt über Kongruenz und die bekannten Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese werden nicht abbildungsgeometrisch behandelt, sondern es wird jeweils die eindeutige Konstruierbarkeit ins Zentrum gerückt.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

4. Zentrische Streckung – Ähnlichkeit

Zusammenfassung

Wir beginnen mit dem Verkleinern und Vergrößern von Figuren, womit man ja auch schon vor der Begegnung mit dem Begriff der Ähnlichkeit Erfahrungen hat. Die zugehörige mathematische Abbildung ist die zentrische Streckung, daher wird diese inklusive ihrer fundamentalen Eigenschaften ausführlich besprochen. Im nächsten Abschnitt folgen dann zwei verschiedene (äquivalente) Definitionen von Ähnlichkeit und die wichtigen Ähnlichkeitssätze für Dreiecke. Bei ihrer Begründung wird deren enge Beziehung zu den Kongruenzsätzen für Dreiecke gut sichtbar. Es werden auch die Strahlensätze erwähnt, aber wir rücken diese nicht ins Zentrum. Dieses Zentrum wird bei uns durch die zentrische Streckung bzw. den Begriff der Ähnlichkeit gebildet, weil dadurch der natürliche Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsvorgang beschrieben wird. Den Abschluss dieses Kapitels bildet eine ausführliche Behandlung des DIN-Papierformats.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

5. Lokales Ordnen

Zusammenfassung

Wir haben uns entschlossen, diesem wichtigen Thema ein eigenes Kapitel in unserem Buch zu widmen. Es geht dabei um das Erkennen von Beziehungen zwischen Objekten, Definitionen und Sätzen, also sozusagen Ordnung ins Beziehungsgefüge zu bringen: Welches Phänomen folgt aus welchem? Wie steht es um die Umkehrbarkeit von Sätzen? Et cetera. An einfachen Beispielen soll dieses Prinzip verdeutlicht werden: Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende als geometrische Örter, der Basiswinkelsatz samt Beweis, dazu die Fragen, welche Eigenschaften ein Parallelogramm hat (gefolgert aus der Definition: zwei Paare paralleler Gegenseiten) und ob diese auch charakterisierend sind (d. h., gibt es noch andere Vierecke mit dieser Eigenschaft oder haben diese nur Parallelogramme?). Schließlich wird auch gezeigt, dass die Eigenschaften von Sehnenvierecken (gleiche Summe von Gegenwinkelmaßen, nämlich 180°) und Tangentenvierecken (gleiche Summe von Gegenseitenlängen) auch charakterisierend für sie sind, es gibt also keine anderen konvexen Vierecke mit der jeweiligen Eigenschaft.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

6. Räumliche Figuren

Zusammenfassung

Zunächst stellen wir die Körper vor, die für die Schulgeometrie relevant sind. Die folgenden Ausführungen orientieren sich an den Grundideen „Körper herstellen“ (Bastelbögen, Netze, Kantenmodelle) und „Körper darstellen“ (Schrägbilder). Anschließend behandeln wir den Soma-Würfel als Beispiel für ein reizvolles räumliches Legespiel und schließen mit dem Problem der kürzesten Wege auf der Oberfläche von Quadern, das mithilfe von Quadernetzen gelöst wird.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

7. Konstruieren

Zusammenfassung

Im Gegensatz zu einer Zeichnung steht bei einer Konstruktion im geometrischen Sinne nicht das Endprodukt, sondern der Prozess im Mittelpunkt des Interesses. Dabei konzentrieren wir uns auf die klassischen Werkzeuge Zirkel und Lineal; wir diskutieren die Grundkonstruktionen (Mittelpunkt einer Strecke, Parallelen u. a.) sowie die wichtige Rolle der Präsentation einer komplexeren Konstruktion (Planfigur, Idee, Konstruktion, Beschreibung, Begründung). Als Beispiel behandeln wir ein beziehungsreiches Problem über kürzeste Wege mit Nebenbedingungen. Die drei antiken Probleme der Würfelverdopplung, Winkeldreiteilung und Quadratur des Kreises dürfen in diesem Kontext nicht fehlen.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

8. Dynamische Geometrie-Software (DGS)

Zusammenfassung

DGS ist nicht nur eine Fortsetzung der klassischen Konstruktionsmethode mit anderen Mitteln, sondern sie bietet Qualitäten, die weit darüber hinausgehen: Figuren können variiert werden, sodass die in der Konstruktion festgelegten Eigenschaften erhalten bleiben; man kann Objekte auf einfache Weise spiegeln, drehen oder strecken; Ortslinien können gezeichnet und variiert werden; man kann Längen, Winkel oder Strecken mit hoher Genauigkeit messen und mit den gemessenen Größen rechnen. Damit spielt DGS beim Darstellen von Figuren, beim Lösen geometrischer Probleme, beim Prüfen von Vermutungen und beim Verifizieren von Sätzen eine bedeutende Rolle. All diese Eigenschaften werden anhand zahlreicher Beispiele demonstriert.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

9. Besondere Punkte und Linien in Drei- und Vierecken

Zusammenfassung

Den Beginn machen die Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden und Höhen in Dreiecken. Sie schneiden einander bekanntlich jeweils in einem berühmten Punkt (Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt bzw. Ankreismittelpunkte, Höhenschnittpunkt), das ist Standardstoff in jedem Geometriebuch. Der zweite Abschnitt, etwas jenseits des Standardstoffes, beschäftigt sich mit Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden in Vierecken; hier gibt es zahlreiche interessante und vielleicht weniger bekannte Phänomene zu beobachten und zu erklären. Im Anschluss thematisieren wir Mittendreiecke, Mittenvierecke und den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden in Dreiecken (Schwerpunkt). Ein ganzer weiterer Abschnitt ist dem Thema Schwerpunkte gewidmet, auch physikalischen Aspekten und insbesondere dem Unterschied zwischen Ecken- und Flächenschwerpunkt (bei Dreiecken ist es derselbe Punkt). Der Satz von Ceva samt Anwendungen, der Neunpunktekreis (Feuerbach-Kreis), die Euler-Gerade und der Fermat-Punkt bilden weitere interessante Klassiker der Dreiecksgeometrie, die in diesem Kapitel ausführlich thematisiert werden.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

10. Kreise

Zusammenfassung

Nach zwei einführenden Abschnitten zu Kreisen (Umfeld, grundlegende Begriffe und Eigenschaften) thematisieren wir ausführlich den berühmten Satz von Thales samt seiner Umkehrung. Anschließend werden Tangentenkonstruktionen und weitere Begründungen im Zusammenhang mit Sehnen- bzw. Tangentenvierecken behandelt. Dann folgt eine ausführliche Besprechung des wichtigen Peripheriewinkelsatzes (als Verallgemeinerung des Satzes von Thales) samt Anwendungen. Dabei werden auch der Satz von Napoleon, der Satz von Ptolemäus und der Satz von Morley besprochen und bewiesen – das sind Klassiker der Dreiecksgeometrie, die mit dem Peripheriewinkelsatz zusammenhängen. Den Abschluss dieses Kapitels bilden elementare Behandlungen des Apollonius-Kreises und bizentrische Vierecke (Sehnen-Tangenten-Vierecke), nämlich deren Konstruktion und Flächeninhalt.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

11. Kegelschnitte

Zusammenfassung

Wir beginnen mit einer Liste von Situationen, in denen Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln vorkommen, um zu zeigen, dass diese Figuren nicht nur in der Mathematik, sondern auch in alltäglichen Kontexten eine große Rolle spielen. Im Folgenden konzentrieren wir uns auf die geometrischen Eigenschaften der Ellipsen (Ortslinien-Definition, Leitkreis-Konstruktion, Reflexionseigenschaft), ebenso für die Parabeln; Hyperbeln kommen nur am Rande vor. Weiterhin weisen wir nach, dass man Zylinderschnitte einerseits als verzerrte Kreise, andererseits als Ellipsen im Sinne der Ortslinien-Definition interpretieren kann; zum Schluss diskutieren wir weitere Konstruktionen der Ellipse, u. a. einen Ellipsenzirkel.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

12. Pythagoras und Goldener Schnitt

Zusammenfassung

Pythagoras hat „seinen“ Satz nicht entdeckt, denn diese Eigenschaft rechtwinkliger Dreiecke wurde bereits lange vor seiner Zeit von den Babyloniern und den Ägyptern verwendet. Auch dass Pythagoras als Erster einen Beweis angegeben hat, ist umstritten (der erste überlieferte Beweis stammt von Euklid, ca. 200 Jahre später). Gleichwohl ist sein Name untrennbar mit dem Satz verbunden, der zweifellos nicht nur in der Elementargeometrie, sondern auch in der gesamten Mathematik eine herausragende Bedeutung hat. Wir werden die für die Geometrie in der Sekundarstufe relevanten Aspekte ausführlich diskutieren.

Auch der Goldene Schnitt hat eine lange Geschichte aufzuweisen: In der griechischen Antike wurde dieses markante Teilverhältnis beim regulären Fünfeck erkannt und untersucht. In Kunst, Architektur und Design ist es bekannt als ausgewogene, harmonische Proportion; in der Mathematik kommt der Goldene Schnitt praktisch in jedem Teilgebiet vor, auch zur Biologie und Physik gibt es Beziehungen. Wir werden uns jedoch auf die geometrischen Eigenschaften konzentrieren: Konstruktion, algebraische Darstellung, Beziehung zum regulären Fünf- und Zehneck, Goldene Dreiecke und Rechtecke u. Ä.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

13. Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen

Zusammenfassung

Eine Kongruenzabbildung wird definiert als eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich. Zunächst stellen wir die wesentlichen Eigenschaften der vier Typen zusammen, die bereits aus Kap. 3 bekannt sind: Achsenspiegelung, Drehung, Verschiebung und Schubspiegelung. Anschließend beweisen wir den fundamentalen Klassifikationssatz: Jede Kongruenzabbildung gehört zu einem dieser vier Typen. Die Verkettung von Kongruenzabbildungen ist das nächste Thema; hierzu werden verschiedene Methoden anhand typischer Beispiele vorgestellt. Mittels dieser Ergebnisse klassifizieren wir die Bandornamente nach ihren Symmetrietypen. Last, not least untersuchen wir die Ähnlichkeitsabbildungen (definiert als längenverhältnistreue Abbildungen der Ebene auf sich): Wenn der Streckfaktor nicht 1 ist, dann gibt es nur zwei verschiedene Typen, nämlich Drehstreckungen und Streckspiegelungen; wir beweisen dies auf zwei Arten. Abschließend diskutieren wir einen wichtigen Satz über gleichsinnig ähnliche Figuren, einschließlich diverser Anwendungen.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

14. Maße: Länge, Flächeninhalt, Volumen

Zusammenfassung

Zu Beginn nennen wir einige „natürliche“, intuitiv klare Eigenschaften allgemeiner Maße. Zur Geometrie: Die Länge von Strecken (Dimension 1) kann mit dem Satz von Pythagoras berechnet und die Länge gekrümmter Linien mittels Streckenzügen approximiert werden. Bei den Flächeninhalten (Dimension 2) behandeln wir ausgehend vom Rechteck in weiterer Folge Parallelogramme, Dreiecke, Trapeze etc. Daran anschließend thematisieren wir das Verhalten von Flächeninhalten bei zentrischen Streckungen, die Formel für den Kreisflächeninhalt und den Flächeninhalt der Ellipse. Dann gehen wir noch eine Dimension höher (Volumina) und geben Begründungen für die Volumenformeln von Prismen, Pyramiden und Kegeln, wobei auch das Prinzip von Cavalieri (nicht bewiesen, aber plausibel gemacht) eine tragende Rolle spielt. Abschließend wenden wir uns der Kugel und ihren Teilen zu und thematisieren ausführlich Formeln für Volumina und Oberflächeninhalte, samt so manchem unerwarteten Resultat.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

15. Trigonometrie

Zusammenfassung

Wir beginnen mit typischen Problemstellungen, bei denen man Trigonometrie gut einsetzen kann. Nach der Definition der bekannten Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck und im Einheitskreis sowie der Besprechung ihrer elementaren Eigenschaften widmen wir uns dem Sinussatz, dem Kosinussatz und zugehörigen verschiedenen Begründungen. Diese beiden Sätze werden in Dreiecksberechnungen benötigt, die wir nach den Kongruenzsätzen für Dreiecke gliedern und dadurch alle möglichen Fälle abdecken. Danach folgen weitere trigonometrische Formeln und Anwendungen, insbesondere Additionstheoreme für die Winkelfunktionen mit verschiedenen Beweisen. Schließlich noch einige Ausführungen zu speziellen Kurven in Parameterdarstellungen, z. B. Ellipsen, Zykloiden, Lissajous-Figuren.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

16. 3-D-Geometrie mit GeoGebra

Zusammenfassung

In diesem letzten Kapitel wird eine kurze Einführung in die 3-D-Version von GeoGebra gegeben. Der Großteil unseres Buches ist zwar der ebenen Geometrie gewidmet, aber es kommen natürlich auch Bezüge zu Körpern vor, insbesondere in den Kap. 6 und 14. Da GeoGebra in diesem Buch schwerpunktmäßig verwendet wird und die Möglichkeit von 3-D-Konstruktionen bietet (das ist nicht bei jeder Dynamischen Geometrie-Software der Fall), soll dieser 3-D-Aspekt hier auch kurz vorgestellt werden. Dabei wird in keiner Weise ein Anspruch auf Vollständigkeit gestellt, sondern es werden anhand ausgewählter einfacher Beispiele einige Möglichkeiten aufgezeigt. Diese reichen von elementaren Konstruktionsmöglichkeiten bis hin zu einem räumlichen Analogon zum Satz von Pythagoras, der Triangulation der Kugeloberfläche, einem 3-D-Beweis des Sehnensatzes und Überlegungen zum Volumen schräg abgeschnittener Prismen. In diesem Kapitel gibt es keine gesammelten Aufgaben zum Schluss, weil in den Text zahlreiche Aufgaben für Leserinnen und Leser zur selbstständigen Beschäftigung mit 3-D-Konstruktionen integriert sind.

Hans Humenberger, Berthold Schuppar

Backmatter

Titel: Anschauliche Elementargeometrie
verfasst von: Hans Humenberger
Berthold Schuppar
Copyright-Jahr: 2024
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-69045-1
Print ISBN: 978-3-662-69044-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-69045-1

Premium Partner