Anwendung von Rahmen-Multiplikatoren für die Extraktion von Kurvenquietschen von Zugsaufnahmen

In vielen Anwendungen in der Akustik sind Methoden zur Darstellung und Manipulation von Signalen notwendig, zum Beispiel um (menschliche) Sprache zu analysieren, oder um kontrolliert Testsignale für psychoakustische Tests zu generieren, die unter anderem zur Lärmbewertung benutzt werden. Oft ist es nicht möglich, Signalkomponenten mit einem einfachen linearen Filter zu isolieren, weil sich verschiedene Frequenzkomponenten über die Zeit ändern. Ein Beispiel dafür tritt bei der Bewertung und Modellierung von Kurvenquietschen auf. Kurvenquietschen ist ein tonaler, also schmalbandiger Klang, der durch periodisches Rutschen des Rades auf der Schiene verursacht wird [26]. Das auf diese Art zur Schwingung angeregte Rad strahlt in einem oder mehreren schmalbandigen Moden ab. An sich ändert sich das daraus resultierende Quellsignal am Rad nicht über die Zeit, aber durch die Bewegung des Zugs und des Rades relativ zur Beobachtungsstelle ändert sich die Frequenz des Tons durch den Dopplereffekt an der stationären Messstelle.

In Abb. 1 ist das Spektrogramm eines Kurvenquietschens, das in 25 m Entfernung zur Gleisachse gemessen wurde, dargestellt. Entlang der \(x\)-Achse kann der zeitliche Verlauf des Signals abgelesen werden, entlang der \(y\)-Achse sind die Frequenzen aufgetragen und helle Stellen bedeuten eine hohe Energie des Signals an der jeweiligen Zeit-Frequenz-Position. Das Kurvenquietschen ist leicht im Frequenzbereich um 4000 Hz zu erkennen.

Um nun aus der ganzen Aufnahme das Kurvenquietschen für weitere psychoakustische Experimente zu isolieren, muss ein zeitvarianter Filter verwendet werden. Eine Möglichkeit, so einen Filter zu generieren, ist, eine geeignete Zeit-Frequenz-Darstellung des Signals zu finden, diese Darstellung zu manipulieren und anschließend aus der neuen Zeit-Frequenz-Darstellung das gefilterte Signal zu resynthetisieren. Gute Zeit-Frequenz-Darstellungen bedingen jedoch Redundanz, also etwa durch eine Überlappung der Fenster in einer Kurzzeit-Fourier-Transformierten, die durch eine klassische Darstellung mittels Basisfunktionen nicht gegeben ist. Wir verwenden daher spezielle Methoden, die auf dem Konzept von Rahmen und Rahmen-Multiplikatoren basieren und das ,,Ausschneiden” und ,,Kombinieren” von Signalteilen aus Spektrogrammen ermöglichen, bzw. ganz vereinfacht ausgedrückt: Methoden, die uns ,,Photoshop für Signale” ermöglichen. Dafür verwenden wir MULACLAB, eine open-source Implementierung, die auf der Large Time-Frequency Analysis Toolbox¹ (LTFAT) basiert.

In Abschn. 2 wird der theoretische Hintergrund dieser Zeit-Frequenz-Darstellung kurz beschrieben, wir definieren die Begriffe ,,Rahmen” und ,,Rahmen-Multiplikatoren” und zeigen, wie basierend darauf auf einfache Weise zeitabhängige Filter definiert werden können. In Abschn. 3 stellen wir MULACLAB vor, ein Matlab/Octave-Programm mit grafischer Oberfläche, mit dessen Hilfe Signale in der Zeit-Frequenz-Ebene manipuliert werden können. Als Beispiel wird MULACLAB in Abschn. 4 verwendet, um Testsignale aus Aufnahmen von Zugsvorbeifahrten in Kurven zu generieren, die für psychoakustische Untersuchungen von Kurvenquietschen verwendet werden. Zum Abschluss werden die Ergebnisse und Methoden in Abschn. 5 zusammengefasst.

Eine wichtige Eigenschaft zahlreicher numerischer Methoden ist die Darstellung von kontinuierlichen Funktionen (z. B. Signalen) durch diskrete Bausteine (Atome) und deren Koeffizienten: Ein bekanntes Beispiel aus der Signalverarbeitung sind Fourierreihen, mit denen periodische Funktionen als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden können, und das Abtasttheorem [23], das eine Brücke zwischen kontinuierlichen zeitbeschränkten Signalen und den abgetasteten Werten des Signals an diskreten Stützstellen schlägt. Ganz klassisch werden häufig orthonormale Basen als Atome verwendet, es ist jedoch in vielen Anwendungen von Vorteil, redundante, also nicht eindeutige Darstellungen zu verwenden. Solche Darstellungen erlauben es zum Beispiel Spektrogramme ,,glatter” erscheinen zu lassen oder die Darstellung effizienter und robuster gegenüber Störungen und Rauschen zu machen. Für die Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) [12] (auch Gabor Transformation [10] genannt) kann sogar gezeigt werden, dass es ohne Redundanz unmöglich ist, eine gut lokalisierte Darstellung zu haben, im Sinne, dass nur eine Zeit-Frequenz-Region nahe des jeweiligen Punkts diesen beeinflusst. Durch die Zeit-Frequenz-Unschärfe ist es jedoch nie möglich, hier eine beliebige Genauigkeit zu bekommen. Für ,,vernünftige” Funktionen/Signale zum Beispiel mit endlicher Energie (d.h. \(f(t) \in L^{2}(\mathbb{R})\)) kann so ein darstellendes Erzeugendensystem durch Rahmen beschrieben werden. Ein Rahmen [7, 8] in einem (Hilbert)-Raum ℋ ist eine Familie von Funktionen \(\Psi = \left (\psi _{k}\right )\), wofür Konstanten \(A,B > 0\) existieren, sodass für alle \(f \in \mathcal{H}\) gilt. Hier ist \(k\in K\) aus einer (unendlich großen) Indexmenge \(K\) , und \(\langle f,g \rangle \) bezeichnet das innere Produkt im Hilbertraum. Z. B. für \(f,g \in L^{2}(\mathbb{R})\) gilt: \(\langle f,g \rangle = \int _{-\infty }^{\infty }f(t) g^{*}(t)dt\), wobei \(g^{*}(t)\) die konjugiert komplexe Funktion zu \(g(t)\) ist. Die auf den ersten Blick abstrakte Bedingung Gl. (2) hat einige wichtige Konsequenzen [4]: Die Rahmen-Theorie ist nicht auf unendlich dimensionale, kontinuierliche Räume, wie zum Beispiel Funktionenräume, beschränkt. Man kann die Theorie auch auf diskrete Räume (z.B den Raum \(\ell ^{2}\) der (unendlichen) Folgen mit endlicher Energie) oder auch auf endlich-dimensionale Räume (z. B. \(\mathbb{R}^{N}\) oder \(\mathbb{C}^{N}\)) anwenden. Im letzteren Fall entspricht ein Rahmen wie oben schon erwähnt einem Erzeugendensystem, wie es aus der linearen Algebra bekannt ist. Jedoch erlaubt uns ein Rahmen in diesem Fall immer, eine explizite Rekonstruktionsformel anzugeben und die Robustheit der Darstellung durch die Konditionszahl \(\sqrt{\frac{B}{A}}\) zu beschreiben.

Speziell zur Bearbeitung von Zeit-Frequenz-Darstellungen bietet LTFAT auch eine Routine mit graphischer Oberfläche (Abb. 2) an, in der auf einfache Weise Regionen in der Zeit-Frequenz-Ebene definiert und manipuliert werden können. Nach dem Aufruf von MULACLAB kann eine wav-Datei importiert werden, aus der ein Spektrogramm generiert wird. In diesem Spektrogramm können Abschnitte markiert und bearbeitet werden. Die Auswahl dieser Abschnitte erfolgt entweder durch das manuelle Markieren des Randes der Region mittels Maus oder durch ein ,,Zauberstab”-Tool, das rund um einen Punkt mit Hilfe eines ,,Regiongrowing”-Algorithmus eine Region innerhalb eines definierten dynamischen Bereichs festlegt.

Verschiedene Regionen können nun ausgeschnitten, kombiniert, und miteinander geschnitten werden. Wichtig dabei ist, dass der Multiplikator auf die vollen komplexen STFT-Koeffizienten angewandt wird. Durch ihre Interpretation und Verallgemeinerung im Konzept von Rahmen können in der LTFAT auch andere Zeit-Frequenz-Darstellungen verwendet werden, etwa Wavelets [11], eine konstant-Q-Transformation [13] oder auch perzeptive Filterbänke [16].

Als Beispiel für zeitabhängige Filterung betrachten wir die psychoakustische Untersuchung von Kurvenquietschen [26]. Beim Kurvenquietschen entsteht ein schmalbandiger Klang, dessen Frequenz sich durch den Dopplereffekt beim ortsfesten Empfänger über die Zeit ändert.

Als Testsignale wurden Aufnahmen von Zugsvorbeifahrten in einer Kurve in 25 m bzw. 50 m Entfernung verwendet. Zur Manipulation der Signale wurde ein Gabor-Rahmen (Hanning Fenster mit einer Länge von 1024 Samples) verwendet, wobei die Fenster jeweils um 256 Samples verschoben wurden. Für jede Zeitinstanz wurden 2048 Frequenz-bins berechnet.

In Abb. 1 ist ein Signal mit Quietschen dargestellt, das deutlich im Bereich um 4 kHz erkennbar ist. Nachdem sich die Frequenz des tonalen Signals durch den Dopplereffekt über die Zeit verändert, wurde die Signalkomponente mit Hilfe des Spektrogramms einerseits durch händisches Markieren (Abb. 2) und andererseits durch das Magic-Wand-Tool mit 25 dB Range ausgewählt (siehe Abb. 3) und dann mit Hilfe eines Multiplikators der Rest des Signales entfernt.

Die isolierte Komponente wurde dann mit dem Signal einer Vorbeifahrt ohne Quietschen kombiniert, um somit ein kontrolliertes Testsignal zu generieren. Nachdem das Quietschen in der Amplitude groß genug ist, reicht ein einfaches Überlagern der Signale, um ein realistisches Signal zu erzeugen. Alternativ kann die Maske für die tonale Komponente invertiert und vor dem Kombinieren auf das Testsignal angewandt werden, um Effekte, die durch das Überlagern entstehen könnten, zu verringern (Abb. 4). Im Versuch mit einem, in Bezug auf Zuglärm erfahrenen Hörer (einer der Koautoren), in dem das originale Signal mit Quietschen und kombinierten Testsignalen anonymisiert dargeboten wurden, wurden die modifizierten Signale zwar wie zu erwarten als unterschiedlich, aber alle für realistisch befunden. Die Untersuchung der subjektiven Beurteilung des Quietschens wird Teil zukünftiger psychoakustischer Experimente sein.

Durch diese Methode ist es möglich, kontrollierte Testsignale aus der Kombination verschiedener Quellen zu generieren. Diese Signale können danach auch manipuliert werden. Im Falle des Quietschens kann z. B. die Grundfrequenz verändert [21] oder ein räumlicher Eindruck durch Modifikation mittels einer Kopfübertragungsfunktion (HRTF, [29]) erzeugt werden. Dadurch ist es möglich, psychoakustische Tests durchzuführen, um zum Beispiel Vorher-Nachher Effekte zu simulieren, oder um Testsignale von Schallquellen zu generieren, die nicht oder nur unter großem messtechnischen Aufwand gemessen werden können.