Anwendungen

In diesem Buch, insbesondere in seinem Kapitel VII über Anwendungen der Differentialrechnung, sahen wir uns immer wieder vor die Aufgabe gestellt, Gleichungen der Form f(x) = 0 aufzulösen (man erinnere sich etwa an die Bestimmung der Extremalstellen einer Funktion; überhaupt ist das Gleichungsproblem eines der ältesten Probleme der Mathematik, dem jede höhere Zivilisation bereits auf der Stufe ihrer ersten Entfaltung begegnet und das wir denn auch ganz folgerichtig schon bei den Babyloniern um 3000 v. Chr. antreffen). Im Abschnitt 35 hatten wir schon einige Mittel zur Bewältigung von Gleichungen bereitgestellt; insbesondere ist hier der Kontraktionssatz und der Bolzanosche Nullstellensatz zu nennen. Auf dem nunmehr erreichten Entwicklungsstand sind wir in der Lage, ein Verfahren zur (näherungsweisen) Auflösung von Gleichungen vorzustellen und zu begründen, das wegen seiner raschen Konvergenz von eminenter Bedeutung für die Praxis ist und weittragende Verallgemeinerungen gestattet (s. Nr. 189).