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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch bietet eine anschauliche Einführung in die Theorie und Numerik der Approximation mit Bezügen zu aktuellen Anwendungen der Datenanalyse. Dabei werden klassische Themen der Approximation mit relevanten Methoden der mathematischen Signalverarbeitung verknüpft und gut nachvollziehbar erklärt.

Bei den Herleitungen der verschiedenen Approximationsmethoden werden konstruktive Zugänge bevorzugt. Dies führt direkt zu numerischen Algorithmen, deren Implementierung im Detail erklärt wird. Weiterhin illustriert eine Vielzahl an Beispielen die theoretischen und numerischen Grundlagen.

Das Lehrbuch behandelt u.a. folgende Themen:

Bestapproximationen in normierten linearen Räumen

Approximation in euklidischen Räumen

Tschebyscheff-Approximation

Asymptotische Resultate der Approximation

Kern-basierte Approximation mit gitterfreien Methoden

Approximationsmethoden der Computertomographie

Neben zahlreichen Beispielen sind für die weitere Vertiefung der Kernthemen auch viele Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen enthalten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einführung

Aktuelle Anwendungen in den Natur-, Ingenieur- und Finanzwissenschaften erfordern leistungsfähige mathematische Methoden zur Analyse von großen Datenmengen. Mit der rapide wachsenden Komplexität relevanter Anwenderdaten und bei beschränkten Rechenkapazitäten werden effiziente numerische Algorithmen gesucht, die komplexe Systeme mit möglichst wenigen Parametern simulieren.
Armin Iske

2. Grundlegende Methoden und Algorithmen

In diesem Kapitel diskutieren wir grundlegende mathematische Methoden und numerische Algorithmen zur Interpolation und Approximation von Funktionen einer Veränderlichen. Die einzelnen Konzepte sollten weitgehend aus der numerischen Mathematik bekannt sein.
Armin Iske

3. Bestapproximationen

In diesem Kapitel analysieren wir grundsätzliche Fragen der Approximation. Dabei sei \( \mathcal{F} \) ein linearer Raum, ausgestattet mit einer Norm ∥.∥, und \( \mathcal{S} \)\( \mathcal{F} \) eine nichtleere Teilmenge von \( \mathcal{F} \). Bei der Approximation eines f ∈ \( \mathcal{F} \)\\( \mathcal{S} \) durch Elemente aus \( \mathcal{S} \) sind wir daran interessiert, ein s*\( \mathcal{S} \) zu finden, dessen Abstand zu f minimal ist unter allen Elementen aus \( \mathcal{S} \). Dies fürt uns sofort zu dem Begriff der Bestapproximation.
Armin Iske

4. Euklidische Approximation

In diesem Kapitel widmen wir uns der Approximation in euklidischen Räumen. Hierbei sei \( \mathcal{F} \) ein linearer Raum, der mit einer Norm ∥.∥ ausgestattet ist, die durch ein Skalarprodukt definiert ist,
$$ \left\| f \right\|\, = (f,f)^{1/2} \; \mathrm{f}\mathrm{ü}\mathrm{r}\;f \in \mathcal{F}. $$
Armin Iske

5. Tschebyscheff-Approximation

In diesem Kapitel studieren wir, für ein Kompaktum \(\Omega\subset \mathbb{R}^d , d\geq1,\) die Approximation von stetigen Funktionen aus dem linearen Raum.
$$\mathscr{C}(\Omega ) = \{ u:\Omega \to {\mathbb{R| }}u\,{\rm{stetig}}\} $$
bezüglich der Maximumnorm
$$\parallel u{\parallel _\infty } = \mathop {\max }\limits_{x \in \Omega } |u(x)|\,\,\,\,\,f\ddot{u} r\,u \in \mathscr{C}(\Omega ).$$
Armin Iske

6. Asymptotische Aussagen

In diesem Kapitel beweisen wir asymptotische Aussagen zur Quantifizierung des Konvergenzverhaltens von algebraischen und trigonometrischen Partialsummen-Approximationen an \( f \epsilon \mathscr{C}[a,b] \ \text{bzw}.\ f \epsilon \mathscr{C}_2\pi. \)
Im trigonometrischen Fall spielt die Analyse von Fourier-Partialsummen eine zentrale Rolle. Wir hatten uns in Kapitel 4 mit Fourier-Partialsummen
Armin Iske

7. Basiskonzepte zur Signal-Approximation

In diesem Kapitel studieren wir grundlegende Konzepte der Fourier- und Wavelet-Analysis. Wir führen die kontinuierliche Fourier-Transformation \( \mathcal{F} \) als lineare Integraltransformation
$$ (\mathcal{F}f)(\omega)\ =\ \int_\mathbb{R} f(x) \cdot e^{-ix\omega} d\omega \quad \quad \text{für}\ f\epsilon L^1(\mathbb{R})$$
(7.1)
auf dem Banach-Raum \( L^1(\mathbb{R}) \) der absolut Lebesgue-integrierbaren Funktionen ein.
Armin Iske

8. Approximation mit positiv definiten Kernen

Dieses Kapitel ist der Interpolation und Approximation von multivariaten Funktionen gewidmet. Dabei bezeichnet \( f : \Omega \rightarrow\mathbb{R} \) eine stetige Funktion über einem Gebiet \( \Omega\subset\mathbb{R}^d ,\ \text{für} d>1.\) Weiterhin sei \( X={x_1,...,x_n}\subset\Omega \) eine Menge von n paarweise verschiedenen Stützstellen, zu denen wir die Funktionswerte von f, zusammengefasst in einem Datenvektor
$$ f_X = (f(x_1),...,f(x_n))^T = (f_1,...,f_n)^T \epsilon\mathbb{R}^n,$$
(8.1)
als bekannt annehmen.
Armin Iske

9. Computertomographie

Die Computertomographie (CT) ist eine bekannte bildgebende Methode in der Radiologie, bei der Röntgen-Aufnahmen zur Berechnung von Schnittbildern verarbeitet werden. Mit diesen Schnittbildern wird die innere Struktur des Körpers, etwa von Organen, Gewebe oder Knochen, schichtweise visualisiert. Allerdings hat die Computertomographie weitere wichtige technische Anwendungen, z.B. in der zerstörungsfreien Materialprüfung.
Armin Iske

Backmatter

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