Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

​Das vorliegende Lehrbuch bietet Studierenden der Natur- und Ingenieurswissenschaften einen übersichtlichen und anschaulichen Einstieg in den Umgang mit Messdaten und deren Interpretation unter Verwendung der Messunsicherheit – früher oft Fehlerrechnung genannt. Dabei stehen das Verständnis und die Vermittlung von direkt anwendbarem Wissen im Vordergrund. Auf lange mathematische Herleitungen wird weitgehend verzichtet.

Auf Basis einiger einfacher Grundprinzipien wie der Verteilung der Messwerte oder dem mathematischen Modell einer Messung führt dieses Buch in zentrale Themen ein:

- das Messen an sich,

- die Angabe von Messergebnissen,

- das Konzept der Unsicherheit,

- die Auswertung von Messdaten mittels verschiedener Methoden,

- sowie die Bewertung der erhaltenen Ergebnisse.

Alle diese Themen werden anhand vielfältiger Beispiele ausführlich dargestellt und die Anwendung der abstrakten Konzepte anhand konkreter Zahlenbeispiele veranschaulicht. Fragen zur Selbstkontrolle sowie zur Vertiefung der Inhalte runden jedes Kapitel ab.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Die quantitative Bestimmung physikalischer Größen, das Messen, ist eine zentrale Aufgabe in vielen verschiedenen Gebieten von den Naturwissenschaften über die Ingenieurwissenschaften bis hin zum täglichen Leben. Wer hätte nicht schon einmal eine Menge Milch abgemessen oder die Größe eines Zimmers bestimmt. Im Zuge des Fortschritts werden dabei gerade im wissenschaftlichen Kontext unsere Messmethoden immer besser und genauer. Beim wissenschaftlichen Arbeiten mit Daten ist eine standardisierte Angabe der Zuverlässigkeit eines Ergebnisses essenziell, weil dem Leser einer Veröffentlichung häufig die genaue Messmethode und deren Eigenheiten gar nicht bekannt sind. Eine Bewertung von Messdaten ist aber gerade der Kern wissenschaftlichen Arbeitens, um die Passung von Vorhersagen aus wissenschaftlichen Modellen oder Theorien mit Messergebnissen zu überprüfen und so Modelle weiterentwickeln zu können. Das vorliegende Lehrbuch soll als Einführung in dieses zentrale und vielfach als sehr komplex wahrgenommene Themenfeld dienen. Die Darstellungen stützen sich dabei auf einige wenige zentrale Grundbausteine, auf die immer wieder Bezug genommen wird, um ein zusammenhängendes Bild zu entwerfen.
Philipp Möhrke, Bernd-Uwe Runge

Kapitel 2. Messen

Zusammenfassung
Eine Messung im physikalischen Sinne bedeutet den quantitativen Vergleich eines Merkmals eines physikalischen Objektes mit einer Einheit. Es wird ermittelt, wie oft die Einheit in dem Merkmal enthalten ist, dies nennt man den Zahlenwert. Der Messwert wird als Produkt aus dem Zahlenwert und der Einheit angegeben. Zu jedem Messwert gehört eine Unsicherheit. Da die Vergleichbarkeit von Messwerten in Wissenschaft und Handel von großer Bedeutung ist, wurden schon früh Vereinbarungen getroffen, um dies international zu gewährleisten. Das erste genormte Einheitensystem, das die heute noch gebräuchlichen Einheiten Meter, Gramm und Sekunde enthielt, stammt aus dem Jahr 1790. Im modernen Internationalen Einheitensystem SI werden die sieben Basiseinheiten Sekunde, Meter, Kilogramm, Ampere, Kelvin, Mol und Candela durch Definition von sieben Konstanten festgelegt, wobei die meisten dieser Konstanten fundamentale Naturkonstanten sind. Das System kommt gänzlich ohne materielle Prototypen aus.
Philipp Möhrke, Bernd-Uwe Runge

Kapitel 3. Messergebnisse

Zusammenfassung
Bei wiederholter Messung ergeben sich i. d. R. Schwankungen der beobachteten Werte. Dies ist prinzipiell nicht vermeidbar, nur das Ausmaß der Schwankungen kann ggf. durch geschicktes Experimentieren beeinflusst werden. Eine Reihe aus mehreren Messwerten kann in Form eines Histogramms dargestellt werden. Die wesentlichen Eigenschaften des Histogramms werden meist in Form von zwei Kenngrößen zusammengefasst: dem Mittelwert und dessen Standardabweichung. Diese wird dann als Standardunsicherheit bezeichnet. Liegen zu wenige Messwerte für eine statistische Behandlung der Daten vor, so wird eine Verteilung aufgrund anderer Kriterien geschätzt. Dies gilt auch für einen einzelnen Messwert. Dabei kommen neben der Normalverteilung insbesondere die Rechteckverteilung (Gleichverteilung) und die Dreiecksverteilung häufig zur Anwendung. Der Begriff Standardunsicherheit wird auch in diesen Fällen verwendet.
Philipp Möhrke, Bernd-Uwe Runge

Kapitel 4. Angabe von Messergebnissen

Zusammenfassung
Bei der Angabe von Messergebnissen ist es wichtig, die richtige Zahl von Ziffern anzugeben, um weder eine zu große Genauigkeit noch eine zu große Messunsicherheit zu suggerieren. Die Zahl der sogenannten signifikanten Ziffern ergibt sich aus der Messunsicherheit und dem Wert selbst. Es gibt keine verbindlichen internationalen Regeln, aber sehr gebräuchlich ist bei Endergebnissen die Angabe von zwei signifikanten Ziffern der Unsicherheit. Messunsicherheiten werden dabei immer aufgerundet. Die Messwerte werden dann so gerundet, dass die Wertigkeit der letzten Ziffer von Wert und Unsicherheit übereinstimmt. Die Ziffernzahl des Wertes selbst kann deutlich größer sein als die der Unsicherheit. Es gibt verschiedene übliche Schreibweisen für die Angabe von Messwert und Messunsicherheit. Wichtig ist, dass Verwechslungen mit anderen Angaben möglichst vermieden werden. In wissenschaftlichen Texten findet sich häufig eine kompakte Schreibweise, bei der die Ziffern der Messunsicherheit in runden Klammern direkt an die Ziffern des Messwertes angehängt werden.
Philipp Möhrke, Bernd-Uwe Runge

Kapitel 5. Modelle

Zusammenfassung
Mathematische Modelle dienen dazu, im Experiment beobachtete Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen formelhaft abzubilden. Dabei werden immer nur Ausschnitte des beobachteten Systems mit in das Modell aufgenommen und/oder Idealisierungen vorgenommen. So können die verwendeten mathematischen Formeln nur in einem bestimmten Bereich zu den Ergebnissen passende Vorhersagen liefern. Innerhalb des Gültigkeitsbereichs des Modells liefert dieses aber über die Messgleichung eine Verknüpfung zwischen den gemessenen Größen, also den Eingangsgrößen der Messfunktion, und (in der Regel) einer Ausgangsgröße. Letztere ist in vielen Fällen messtechnisch nicht direkt zugänglich, kann aber über die Messfunktion berechnet werden. Die Messfunktion sollte zur vollständigen Beschreibung des Messvorganges alle relevanten Einflussgrößen des Systems enthalten, um deren Einfluss auf die Ausgangsgröße zu beschreiben. Dazu gehören z. B. auch die Genauigkeiten der verwendeten Messinstrumente oder für die Korrektur von systematischen Abweichungen verwendete Parameter.
Philipp Möhrke, Bernd-Uwe Runge

Kapitel 6. Kombination von Messergebnissen

Zusammenfassung
Mit Hilfe von Messfunktionen können aus direkt bestimmten Größen andere Größen berechnet werden. Diese weisen ebenfalls eine Verteilung auf, die über eine analytische oder (meist einfachere) numerische Berechnung aus den Verteilungen der Eingangsgrößen bestimmt werden kann. Das numerische Verfahren wird als Monte-Carlo-Simulation bezeichnet. Eine andere Möglichkeit stellt die lineare Näherung des Modells dar, mit der direkt aus den Standardunsicherheiten der Eingangsgrößen die Standardunsicherheit der Ausgangsgröße berechnet werden kann. Bei Messfunktionen mit mehreren Eingangsgrößen stellt die Korrelation der Eingangsgrößen einen wichtigen zusätzlichen Faktor dar, der bei der Kombination der Unsicherheiten mit eingehen muss.
Philipp Möhrke, Bernd-Uwe Runge

Kapitel 7. Anpassung eines Modells an Messwerte

Zusammenfassung
Für einen vermuteten oder auf Basis einer Theorie begründeten funktionalen Zusammenhang zwischen den unabhängigen Variablen und der abhängigen Variable, bei der bestimmte Parameter einer Messfunktion zunächst noch unbekannt sind, lassen sich nach der Methode der kleinsten Abweichungsquadrate (engl. least squares fit) die Parameter bestimmen, für welche die Funktion die Messdaten am besten beschreibt. Der Graph der Funktion passt dann gut zu den Datenpunkten. Die Parameter können bei geeigneter Wahl der Funktion eine physikalische Bedeutung haben und das eigentliche Resultat eines Experiments darstellen. Außer bei linearen Zusammenhängen ist die Ermittlung der Parameter i. d. R. nicht analytisch, sondern ausschließlich numerisch möglich. Falls die Messdaten unterschiedliche Unsicherheiten aufweisen, können diese zusätzlich in Form einer sogenannten Gewichtung der Daten berücksichtigt werden.
Philipp Möhrke, Bernd-Uwe Runge

Kapitel 8. Bewertung von Messergebnissen

Zusammenfassung
Eine wichtige Anwendung von Unsicherheiten liegt im Vergleich von Messwerten. Vergleiche ohne Betrachtung der Unsicherheit sind völlig wertlos. Für diesen Zweck setzt man in der Regel die Differenz der Ergebnisse in Beziehung zur Unsicherheit der zwei Ergebnisse. Liegen die Werte im Vergleich zu ihren Unsicherheiten weit auseinander, so werden sie als verschieden, andernfalls als verträglich bewertet. Dies kann über eine Betrachtung des Überlapps der zwei Unsicherheitsintervalle erfolgen oder über einen sogenannten Signifikanztest. Letzterer gibt als zusätzliche Information an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Bewertung, dass zwei Ergebnisse als unterschiedlich zu bewerten sind, zutreffend ist.
Philipp Möhrke, Bernd-Uwe Runge

Kapitel 9. Lösungen

Zusammenfassung
Es gibt bei den meisten Aufgaben zu den vorangegangenen Kapiteln nicht die eine Lösung, sondern es sind verschiedene Lösungen möglich. An dieser Stelle sollen solche möglichen Lösungen angegeben werden.
Philipp Möhrke, Bernd-Uwe Runge

Backmatter

Weitere Informationen