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Über dieses Buch

Dieses Buch erleichtert Ihnen den Einstieg in das eigenständige Lösen von Aufgaben zur Algebra, indem es Ihnen nicht einfach nur Aufgaben mit Lösungen, sondern vor allem auch Hinweise zur Lösungsfindung und ausführliche Motivationen bietet.

Damit ist das Werk ideal geeignet zur Prüfungsvorbereitung, wenn Sie ein tieferes Verständnis der Algebra entwickeln wollen oder wenn Sie sich gerne an kniffligen Aufgaben einer faszinierenden mathematischen Disziplin versuchen.

In den mehr als 300 Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade durchleuchten wir die grundlegenden algebraischen Strukturen Gruppen, Ringe und Körper, wie sie typischerweise in einer Anfängervorlesung für Mathematikstudierende behandelt werden.

Vielfach berufen wir uns in den Lösungen auf Sätze, Lemmata und Korollare der 5. Auflage des Buches Algebra, Gruppen –Ringe – Körper von Ch. Karpfinger und K. Meyberg.

Der Autor

PD Dr. Christian Karpfinger lehrt an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Halbgruppen

Untersuchen Sie die folgenden inneren Verknüpfungen $${\mathbb N}\times {\mathbb N}\rightarrow {\mathbb N}$$ N × N → N auf Assoziativität, Kommutativität und Existenz von neutralen Elementen.

Christian Karpfinger

Kapitel 2. Gruppen

Sudoku für Mathematiker.

Christian Karpfinger

Kapitel 3. Untergruppen

Es seien $$U_1 ,\ldots ,\,U_n$$ U 1 , … , U n Untergruppen einer Gruppe G. Zeigen Sie.

Christian Karpfinger

Kapitel 4. Normalteiler und Faktorgruppen

Man gebe alle Normalteiler der Gruppen $$S_3$$ S 3 und $$S_4$$ S 4 an.

Christian Karpfinger

Kapitel 5. Zyklische Gruppen

Geben Sie einen weiteren Beweis von Lemma 5.1 (Algebrabuch) an.

Christian Karpfinger

Kapitel 6. Direkte Produkte

Begründen oder widerlegen Sie.

Christian Karpfinger

Kapitel 7. Gruppenoperationen

Es operiere G auf der Menge X, und es sei $$x \in X$$ x ∈ X . Begründen Sie: Der Stabilisator $$G_x$$ G x ist genau dann ein Normalteiler von G, wenn $$G_x = G_y$$ G x = G y für alle $$y \in G \cdot x$$ y ∈ G · x erfüllt ist.

Christian Karpfinger

Kapitel 8. Die Sätze von Sylow

Es sei P eine p-Sylowgruppe der endlichen Gruppe G. Man begründe, dass p kein Teiler von $$[N_G(P):P]$$ [ N G ( P ) : P ] ist.

Christian Karpfinger

Kapitel 9. Symmetrische und alternierende Gruppen

Ist $$\sigma = \sigma _1 \cdots \sigma _k$$ σ = σ 1 ⋯ σ k die kanonische Zyklenzerlegung von $$\sigma \in S_n$$ σ ∈ S n mit $$\ell (\sigma _1) \le \cdots \le \ell (\sigma _k)$$ ℓ ( σ 1 ) ≤ ⋯ ≤ ℓ ( σ k ) , so nennt man das k-Tupel $$(\ell (\sigma _1) ,\ldots ,\,\ell (\sigma _k))$$ ( ℓ ( σ 1 ) , … , ℓ ( σ k ) ) den TypTypeiner Permutation von $$\sigma $$ σ .

Christian Karpfinger

Kapitel 10. Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle endlichen abelschen Gruppen der Ordnung 36.

Christian Karpfinger

Kapitel 11. Auflösbare Gruppen

Zeigen Sie: Jede abelsche Gruppe G, die eine Kompositionsreihe besitzt, ist endlich.

Christian Karpfinger

Kapitel 12. Freie Gruppen

Man zeige, dass die Gruppen $${\mathbb {Z}}\times {\mathbb {Z}}$$ Z × Z , $${\mathbb R}^\times $$ R × , $$S_n$$ S n mit $$n \in {\mathbb N}$$ n ∈ N und $${\mathbb Q}$$ Q nicht frei sind.

Christian Karpfinger

Kapitel 13. Grundbegriffe der Ringtheorie

Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K, und $$R := {\text {End}}(V)$$ R : = End ( V ) bezeichne den Endomorphismenring von V.

Christian Karpfinger

Kapitel 14. Polynomringe

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. Begründen Sie, dass die Menge $$R[[X]] := \{P \, \vert \, P: {\mathbb N}_0 \rightarrow R\}$$ R [ [ X ] ] : = { P | P : N 0 → R } mit den Verknüpfungen $$+$$ + und $$\cdot $$ · , die für $$P, \, Q \in R[[X]]$$ P , Q ∈ R [ [ X ] ] wie folgt erklärt sind.

Christian Karpfinger

Kapitel 15. Ideale

Bestimmen Sie für die folgenden Ideale A von R ein Element $$a \in R$$ a ∈ R mit $$A = (a)$$ A = ( a ) :

Christian Karpfinger

Kapitel 16. Teilbarkeit in Integritätsbereichen

Man zeige, dass für $$a, \, b \in R$$ a , b ∈ R (R ein Integritätsbereich) gilt: $$a \mid b$$ a ∣ b , $$a \not \sim b$$ a ≁ b $$\Leftrightarrow $$ ⇔ $$(b) \subsetneq (a)$$ ( b ) ⊊ ( a ) .

Christian Karpfinger

Kapitel 17. Faktorielle Ringe

Es sei G der Ring der ganzen Funktionen einer komplexen Veränderlichen z. Man zeige.

Christian Karpfinger

Kapitel 18. Hauptidealringe. Euklidische Ringe

Es seien R ein Hauptidealring und $$c, \, a_1 ,\ldots ,\,a_n \in R$$ c , a 1 , … , a n ∈ R .

Christian Karpfinger

Kapitel 19. Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe

Man bestimme den Inhalt I(P) folgender Polynome aus $${\mathbb {Z}}[X]$$ Z [ X ] : (a) $$26 \, X^6 + 352 \, X^4 + 1200 \, X + 98$$ 26 X 6 + 352 X 4 + 1200 X + 98 , (b) $$13 \, X^4 + 27 \, X^2 + 15$$ 13 X 4 + 27 X 2 + 15 .

Christian Karpfinger

Kapitel 20. Grundlagen der Körpertheorie

Es seien K ein Körper der Charakteristik $$p \not = 0$$ p ≠ 0 und $$a \not = 0$$ a ≠ 0 ein Element aus K. Zeigen Sie: Für ganze Zahlen $$m, \, n$$ m , n gilt $$m \, a = n \, a$$ m a = n a genau dann, wenn $$m \equiv n \, ({\text {mod}} \, p)$$ m ≡ n ( mod p ) .

Christian Karpfinger

Kapitel 21. Einfache und algebraische Körpererweiterungen

Es sei $$a \in {\mathbb C}$$ a ∈ C eine Wurzel des Polynoms $$P = X^3 + 3 \, X - 2 \in {\mathbb Q}[X]$$ P = X 3 + 3 X - 2 ∈ Q [ X ] .

Christian Karpfinger

Kapitel 22. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Man zeige, dass $$a = 2 \, \cos \frac{2 \pi }{7}$$ a = 2 cos 2 π 7 Wurzel des Polynoms $$X^3 + X^2 - 2 \, X - 1\in {\mathbb Q}[X]$$ X 3 + X 2 - 2 X - 1 ∈ Q [ X ] ist und folgere, dass das reguläre 7-Eck nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Christian Karpfinger

Kapitel 23. Transzendente Körpererweiterungen

Zeigen Sie, dass $$B= \{\pi \}$$ B = { π } eine Transzendenzbasis von $${\mathbb Q}(\pi , \, \text {i})/{\mathbb Q}$$ Q ( π , i ) / Q ist. Geben Sie eine weitere Transzendenzbasis C von $${\mathbb Q}(\pi , \, \text {i})/{\mathbb Q}$$ Q ( π , i ) / Q an, sodass $${\mathbb Q}(B) \not = {\mathbb Q}(C)$$ Q ( B ) ≠ Q ( C ) gilt.

Christian Karpfinger

Kapitel 24. Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper

Bestimmen Sie für die folgenden Polynome aus $${\mathbb Q}[X]$$ Q [ X ] jeweils einen Zerfällungskörper in $${\mathbb C}$$ C und den Grad dieses Zerfällungskörpers über $${\mathbb Q}$$ Q

Christian Karpfinger

Kapitel 25. Separable Körpererweiterungen

Es sei K ein Körper der Charakteristik $$p > 0$$ p > 0 . Zeigen Sie: Ist L/K eine endliche Körpererweiterung mit $$p \not \mid [L:K]$$ p ∤ [ L : K ] , so ist L/K separabel.

Christian Karpfinger

Kapitel 26. Endliche Körper

Man gebe alle erzeugenden Elemente der Gruppen $${\mathbb {Z}}/7^\times $$ Z / 7 × , $${\mathbb {Z}}/{17}^\times $$ Z / 17 × , $${\mathbb {Z}}/{41}^\times $$ Z / 41 × an.

Christian Karpfinger

Kapitel 27. Die Galoiskorrespondenz

Es sei L ein Körper mit Primkörper P. Zeigen Sie: $$\text {Aut}\ L = \Gamma (L/P)$$ Aut L = Γ ( L / P ) .

Christian Karpfinger

Kapitel 28. Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung

Es sei K ein Körper mit q Elementen, und K(X) sei der Körper der rationalen Funktionen in X über K. Ferner sei $$\Gamma $$ Γ die Gruppe der Automorphismen von K(X), die aus den Abbildungen $$\sigma : R \mapsto R\left( \frac{a \, X + b }{c \, X + d}\right) $$ σ : R ↦ R a X + b c X + d , $$a, \, b, \, c, \, d \in K$$ a , b , c , d ∈ K , $$a \, d - b \, c \not = 0$$ a d - b c ≠ 0 besteht.

Christian Karpfinger

Kapitel 29. Kreisteilungskörper

Man bestimme die n-ten Kreisteilungspolynome $$\Phi _n$$ Φ n für $$1 \le n \le 24$$ 1 ≤ n ≤ 24 .

Christian Karpfinger

Kapitel 30. Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale

Man zeige: Liegt eine Wurzel eines über $${\mathbb Q}$$ Q irreduziblen Polynoms P in einer Radikalerweiterung von $${\mathbb Q}$$ Q , so liegt auch jede andere Wurzel von P in einer Radikalerweiterung.

Christian Karpfinger

Kapitel 31. Die allgemeine Gleichung

Stellen Sie die folgenden symmetrischen Funktionen jeweils explizit durch elementarsymmetrische Funktionen dar.

Christian Karpfinger

Kapitel 32. Moduln

Wir betrachten die Untermoduln $$U = (3+5\, \text {i})$$ U = ( 3 + 5 i ) und $$V=(2-4 \, \text {i})$$ V = ( 2 - 4 i ) des $${\mathbb {Z}}$$ Z -Moduls $${\mathbb {Z}}[\text {i}]$$ Z [ i ] .

Christian Karpfinger
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