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Über dieses Buch

Das Arbeitsbuch stellt eine Aufgabensammlung mit detaillierten Lösungen zur Einführung in die Angewandte Statistik für Studenten zur Verfügung. Die Aufgaben umfassen dabei die Themengebiete, welche in etwa in drei Semestern Statistikausbildung gelehrt werden. Damit ist das Arbeitsbuch insbesondere für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, Humanmedizin, Psychologie, Ingenieurswissenschaften sowie Informatik von Interesse. Insgesamt wird durch interessante, teilweise reale und teilweise fiktive Sachverhalte das Lernen des ansonsten eher trockenen vermittelten Stoffes erleichtert. Praktische Aufgaben, die mithilfe der Statistiksoftware R gelöst werden müssen, sind besonders gekennzeichnet. Am Ende des Buches gibt es Aufgaben zu gemischten Themengebieten zur Klausurvorbereitung.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Deskriptive Statistik

Die Hotelanlage „Beach-Fever“ auf einer beliebten spanischen Ferieninsel plant den Einkauf alkoholischer Getränke für die nächste Saison. Die Betreiber stehen vor der Entscheidung eine deutsche oder holländische Biersorte zu bestellen. Hierzu erfassten sie die Menge des getrunkenen Bieres X in l ihrer letzten Gäste in diesem Jahr sowie deren Nationalität Y.
$$\sum_{i=1}^{10}x_{i}=85{,}7\,;\quad\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=871{,}49$$
(a)
Bestimmen Sie die durchschnittliche Menge an getrunkenem Bier in l sowie die empirische Standardabweichung für X!
 
(b)
Welches Ihnen bekannte Lagemaß eignet sich zur Beschreibung von Y? Bestimmen Sie dieses!
 
(c)
Geben Sie für X und Y an, ob ein diskretes oder stetiges Merkmal vorliegt! Welches Skalenniveau liegt jeweils zugrunde?
 
(d)
Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion für X! vgl. Abschn. 1.2.
 
(e)
Klassieren Sie den Bierkonsum in die Klassen \(K_{1}=[0,10)\) und \(K_{2}=[10,20]\) und bestimmen Sie den Mittelwert für klassierte Daten!
 
(f)
Besteht zwischen der Nationalität (deutsch/niederländisch) und dem klassierten Bierkonsum (wenig K 1/viel K 2) der Urlauber eine Abhängigkeit? Berechnen Sie ein geeignetes Zusammenhangsmaß und interpretieren Sie dieses!
 
Philipp Otto, Anna-Liesa Lange

2. Wahrscheinlichkeitstheorie

Bradley bringt sich meist ein Tattoo als Souvenir aus dem Urlaub mit. Da er bei den meisten seiner Tätowierungen betrunken war, kann man davon ausgehen, dass er alle Tätowierer in seinem Umkreis mit gleicher Wahrscheinlichkeit aufsucht. Jetzt ist Bradley für zwei Wochen in Berlin. In seinem Umkreis gibt es die folgenden Tattoostudios:
  • „Für immer und ehwig“
    Hier arbeitet Mike, der eine Lese-, Rechtschreibschwäche hat und mit einer Wahrscheinlichkeit von 45 % einen Rechtschreibfehler tätowiert.
  • „Taotto“
    Der Laden gehört Analphabet Joe, welcher beim Abschreiben der Wörter in Tattoos häufig die Buchstaben verdreht. Ein Rechtschreibfehler passiert ihm sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %.
  • „Der Körper seines Geistes“
    Im dritten Tattoostudio lebt und arbeitet Jacky. Tattoos sind ihr Leben und sie macht nur selten Fehler. Ein Fehler in Orthographie oder Grammatik würde ihr nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % passieren.
(a)
Bradley hat wieder über die Stränge geschlagen, geht nun zum Tätowierer und lässt sich den Namen seiner Freundin Lissy tätowieren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat das fertige Tattoo keinen Rechtschreibfehler?
 
(b)
Am nächsten Morgen sieht er das Tattoo. Er liest „Ssily“. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war er bei Joe?
 
(c)
Angenommen die Reihenfolge der Buchstaben des Wortes „Lissy“ entsteht bei Tätowierer Joe rein zufällig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schreibt er den Namen richtig?
 
Philipp Otto, Anna-Liesa Lange

3. Induktive Statistik

Nehmen Sie an, die Anzahl der Kinder X in einer Familie folgt der Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f_{\eta}\), welche für \(x\in\mathbb{N}\) als
$$\begin{aligned}\displaystyle f_{\eta}(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}\eta&x=0\\ \eta&x=1\\ 1-2\eta&x\geq 2\\ \end{array}\right.\end{aligned}$$
definiert sei. Außerdem sei der Parameter \(\eta\in(0,0{,}5)\). Ermitteln Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter η bezüglich der gegebenen Stichprobe \(\boldsymbol{x}=(x_{1},\ldots,x_{6})=(0,3,0,1,2,2)\)! Prüfen Sie auch die hinreichende Bedingung, bzw. die Bedingung zweiter Ordnung!
Philipp Otto, Anna-Liesa Lange

4. Klausurtraining

Die Wartezeit W im Servicebetrieb „PiPi-Meißner“ bis zur Ankunft eines Kunden in Minuten sei Erlang-verteilt. Gegeben sei die dazugehörige Verteilungsfunktion F.
$$F(w)=1-e^{-\lambda w}(1+\lambda w),\quad w\geq 0;\enspace\lambda\in\mathbb{R}$$
1.
Zeigen Sie, dass die zugehörige Dichte \(f(w)=\lambda^{2}we^{-\lambda w}\) ist!
 
2.
Berechnen Sie unter der Annahme des Parameters \(\lambda=1\) folgende Wahrscheinlichkeiten:
a)
die Wartezeit ist länger als 5 Minuten,
 
b)
die Wartezeit liegt zwischen 1 und 3 Minuten,
 
c)
die Wartezeit beträgt exakt 7 Minuten.
 
 
3.
Für welche Parameter λ existiert der Erwartungswert von \(W^{-1}\) nicht!
 
Philipp Otto, Anna-Liesa Lange

5. Lösungen

(a)
$$\begin{aligned}\displaystyle\bar{x}&\displaystyle=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{1}{10}\cdot 85{,}7=8{,}570\\ \displaystyle\tilde{s}_{x}^{2}&\displaystyle=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\bar{x}^{2}=\frac{1}{10}\cdot 871{,}49-8{,}57^{2}=13{,}7041\\ \displaystyle\tilde{s}_{x}&\displaystyle=3{,}7019\end{aligned}$$
 
(b)
Y – nominal skaliert \(\Rightarrow\) Modus
\(\text{Mode}(Y)=\text{D}\)
 
(c)
X – stetig \(+\) metrisch skaliert (Verhältnisskala)
Y – diskret \(+\) nominal skaliert
 
(d)
$$\begin{aligned}\displaystyle\widehat{F}(x)&\displaystyle=\left\{\begin{array}[]{l@{\quad\text{f{\"u}r }}l}0\hfil\quad\text{f{\"u}r }&x<4\\ 0{,}3\hfil\quad\text{f{\"u}r }&4\leq x<8{,}5\\ 0{,}7\hfil\quad\text{f{\"u}r }&8{,}5\leq x<12\\ 0{,}9\hfil\quad\text{f{\"u}r }&12\leq x<15{,}7\\ 1\hfil\quad\text{f{\"u}r }&x\geq 15{,}7\end{array}\right.\end{aligned}$$
 
(e)
$$\begin{aligned}\displaystyle n(K_{1})&\displaystyle=7\\ \displaystyle n(K_{2})&\displaystyle=3\\ \displaystyle m_{1}&\displaystyle=5\\ \displaystyle m_{2}&\displaystyle=15\\ \displaystyle\bar{x}_{K}&\displaystyle=\frac{1}{10}\left(7\cdot 5+3\cdot 15\right)=8\end{aligned}$$
 
Philipp Otto, Anna-Liesa Lange
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