Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Dieses Arbeitsbuch enthält die Aufgaben, Hinweise, Lösungen und Lösungswege des Werks Karpfinger/Stachel, Lineare Algebra.
Durch die stufenweise Offenlegung der Lösungen ist das Werk bestens geeignet zum Selbststudium, zur Vorlesungsbegleitung und als Prüfungsvorbereitung.
Inhaltlich decken die Aufgaben den Stoff der linearen Algebra aus den ersten beiden Semestern ab.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Aufgaben zum Kapitel „Logik, Mengen, Abbildungen – die Sprache der Mathematik“

Zusammenfassung
1.1 • 
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
Für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt:
(a)
\(x> 1\) ist hinreichend für \(x^{2}> 1\).“
 
(b)
\(x> 1\) ist notwendig für \(x^{2}> 1\).“
 
(c)
\(x\geq 1\) ist hinreichend für \(x^{2}> 1\).“
 
(d)
\(x\geq 1\) ist notwendig für \(x^{2}> 1\).“
 
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

2. Aufgaben zum Kapitel „Algebraische Strukturen – ein Blick hinter die Rechenregeln“

Zusammenfassung
2.1 •• 
Sudoku für Mathematiker. Es sei \(G=\{a,b,c,\) \(\,x,y,z\}\) eine sechselementige Menge mit einer inneren Verknüpfung \(\cdot:\,G\times G{}\to{}G\). Vervollständigen Sie die untenstehende Multiplikationstafel unter der Annahme, dass \((G,\cdot)\) eine Gruppe ist.
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{array}[]{c||c|c|c|c|c|c}\cdot&a&b&c&x&y&z\\ \hline\hline a&&&&&c&b\\ \hline b&&x&z&&&\\ \hline c&&y&&&&\\ \hline x&&&&x&&\\ \hline y&&&&&&\\ \hline z&&a&&&x&\\ \end{array}\end{gathered}$$
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

3. Aufgaben zum Kapitel „Lineare Gleichungssysteme – ein Tor zur linearen Algebra“

Zusammenfassung
3.1 • 
Haben reelle lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

4. Aufgaben zum Kapitel „Vektorräume – von Basen und Dimensionen“

Zusammenfassung
4.1 • 
Gelten in einem Vektorraum \(V\) die folgenden Aussagen?
(a)
Ist eine Basis von \(V\) unendlich, so sind alle Basen von \(V\) unendlich.
 
(b)
Ist eine Basis von \(V\) endlich, so sind alle Basen von \(V\) endlich.
 
(c)
Hat \(V\) ein unendliches Erzeugendensystem, so sind alle Basen von \(V\) unendlich.
 
(d)
Ist eine linear unabhängige Menge von \(V\) endlich, so ist es jede.
 
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

5. Aufgaben zum Kapitel „Analytische Geometrie – Rechnen statt Zeichnen“

Zusammenfassung
5.1 •• 
Angenommen, die Gerade \(G\) ist die Schnittgerade der Ebenen \(E_{1}\) und \(E_{2}\), jeweils gegeben durch eine lineare Gleichung
$$\begin{gathered}\displaystyle\boldsymbol{n}_{i}\cdot\boldsymbol{x}-k_{i}=0,\quad i=1,2.\end{gathered}$$
Stellen Sie die Menge aller durch \(G\) legbaren Ebenen dar als Menge aller linearen Gleichungen mit den Unbekannten \((x_{1},x_{2},x_{3})\), welche \(G\) als Lösungsmenge enthalten.
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

6. Aufgaben zum Kapitel „Lineare Abbildungen und Matrizen – Brücken zwischen Vektorräumen“

Zusammenfassung
6.1 • 
Für welche \(\boldsymbol{u}\in\mathbb{R}^{2}\) ist die Abbildung
$$\begin{gathered}\displaystyle\varphi:\left\{\begin{array}[]{@{}r@{}c@{}l@{}}\mathbb{R}^{2}&{}\to&\mathbb{R}^{2},\\ \boldsymbol{v}&{}\mapsto&\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}\end{array}\right.\end{gathered}$$
linear?
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

7. Aufgaben zum Kapitel „Determinanten – Kenngrößen von Matrizen“

Zusammenfassung
7.1 • 
Begründen Sie: Sind \(\boldsymbol{A}\) und \(\boldsymbol{B}\) zwei reelle \(n\times n\)-Matrizen mit
$$\begin{gathered}\displaystyle\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B}=\mathbf{0}\,,\ \text{ aber }\ \boldsymbol{A}\neq\mathbf{0}\text{ und }\boldsymbol{B}\neq 0\,,\end{gathered}$$
so gilt
$$\begin{gathered}\displaystyle\det(\boldsymbol{A})=0=\det(\boldsymbol{B})\,.\end{gathered}$$
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

8. Aufgaben zum Kapitel „Normalformen – Diagonalisieren und Triangulieren“

Zusammenfassung
8.1 • 
Gegeben ist ein Eigenvektor \(\boldsymbol{v}\) zum Eigenwert \(\lambda\) einer Matrix \({\boldsymbol{A}}\).
(a)
Ist \(\boldsymbol{v}\) auch Eigenvektor von \({\boldsymbol{A}}^{2}\)? Zu welchem Eigenwert?
 
(b)
Wenn \({\boldsymbol{A}}\) zudem invertierbar ist, ist dann \(\boldsymbol{v}\) auch ein Eigenvektor zu \({\boldsymbol{A}}^{-1}\)? Zu welchem Eigenwert?
 
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

9. Aufgaben zum Kapitel „Euklidische und unitäre Vektorräume – orthogonales Diagonalisieren“

Zusammenfassung
9.1 • 
Sind die folgenden Produkte Skalarprodukte?
$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\cdot:\left\{ \begin{array}[]{@{}r@{}c@{}l@{}}\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}&{}\to&\mathbb{R},\\ \left( \begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}w_{1}\\ w_{2}\end{pmatrix} \right)&{}\mapsto&v_{1}-w_{1}.\end{array}\right.\,,\\ \displaystyle&\displaystyle\cdot:\left\{ \begin{array}[]{@{}r@{}c@{}l@{}}\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}&{}\to&\mathbb{R},\\ \left( \begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}w_{1}\\ w_{2}\end{pmatrix} \right)&{}\mapsto&3\,v_{1}w_{1}+v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+v_{2}w_{2}.\end{array}\right.\end{aligned}$$
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

10. Aufgaben zum Kapitel „Quadriken – vielseitig nutzbare Punktmengen“

Zusammenfassung
10.1 • 
Welche der nachstehend genannten Polynome stellen quadratischen Formen, welche quadratische Funktionen dar:
(a)
\(f(\boldsymbol{x})=x_{1}^{2}-7x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}x_{3}\)
 
(b)
\(f(\boldsymbol{x})=x_{1}^{2}-6x_{2}^{2}+x_{1}-5x_{2}+4\)
 
(c)
\(f(\boldsymbol{x})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}-20x_{5}\)
 
(d)
\(f(\boldsymbol{x})=x_{1}^{2}-x_{3}^{2}+x_{1}x_{4}\)
 
Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel
Weitere Informationen

Premium Partner

    Bildnachweise