Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Das Arbeitsbuch zu den Lehrbüchern „Theoretische Physik“ und „Mathematikbuch zur Physik“ von Peter Hertel enthält 256 Aufgaben aus der Mathematik und ausführlich kommentierte Lösungen. Für Studenten bietet das Buch, das auch als Aufgabensammlung mit Lösungen unabhängig vom Lehrbuch genutzt werden kann, vielfältige und praxisnahe Anregungen. Es hilft, die wirklich benötigten Kenntnisse und Fertigkeiten mit mathematischem und numerischem Handwerkszeug zu entdecken, auszuprobieren und einzuüben – und zwar mit Spaß und Erfolgsgarantie. Der Weg von der Aufgabe zur Lösung ist zumeist in Schritte untergliedert. Dieses Buch ist geeignet für Studierende der Physik im Haupt- oder Nebenfach, die ihre Mathematikkenntnisse vertiefen wollen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Grundlagen

Dieses Kapitel beschreibt Grundkenntnisse in Mathematik, die jede Studentin und jeder Student von der Schule mitbringen sollte. Man kann es auch als Übersicht über die Schulmathematik verstehen, als eine Zusammenfassung. Es hat wenig Sinn, sich mit den folgenden Kapiteln zu beschäftigen, wenn hier erhebliche Lücken zu Tage treten. Solche Lücken müssen geschlossen werden, ehe man mit dem Studium der Mathematik fortfahren kann.

Im Abschnitt über

Mengen und Zahlen

wiederholen wir skizzenhaft die Grundbegriffe der Mengenlehre und behandeln die natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen. Wir deuten an, was komplexe Zahlen sind, die für gewöhnlich nicht zum Schulstoff gehören; dieser Gegenstand wird später breiter abgehandelt. Mithilfe konvergenter Folgen erklären wir, was

stetige Funktionen

sind und wodurch sich

differenzierbare Funktionen

auszeichnen. Dabei wiederholen wir die wichtigsten Rechenregeln. Ein längerer Abschnitt ist den

elementaren Funktionen

gewidmet, der Exponentialfunktion, dem Logarithmus, Kosinus und Sinus sowie verwandten Funktionen. Der Abschnitt über

Integrieren

behandelt, wie man die Fläche unter einem Graphen ermittelt, als Grenzwert, und wie man eine große Anzahl von Integralen analytisch berechnen kann. Nebenbei führen wir auch vor, wie man ein Integral numerisch auswertet.

Peter Hertel

2. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Unter einer gewöhnlichen Differenzialgleichung versteht man eine Beziehung zwischen einer Funktion und deren Ableitungen. Diese Beziehung kann von Ort zu Ort verschieden sein. Die gesuchte reellwertige Funktion soll von einer reellen Variablen abhängen und so oft differenzierbar sein, wie es die Differenzialgleichung verlangt. Die Differenzialgleichung hat eine ganze Schar von Lösungen, und man braucht zusätzliche Angaben, um eine eindeutige Lösung angeben zu können.

Wir beschäftigen uns zuerst mit gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung, weil es für eine große Klasse davon verlässliche Lösungsverfahren gibt.

Bei den gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung, die in der Physik vorrangig auftreten, gibt es deutlich weniger allgemein gültige Rezepte.

Insbesondere für die numerische Behandlung ist es wichtig zu wissen, dass eine gewöhnliche Differenzialgleichung beliebiger Ordnung immer auf ein System von gekoppelten Differenzialgleichungen erster Ordnung zurückgeführt werden kann.

Differenzialgleichungen spielen in der Physik auch deswegen eine so wichtige Rolle, weil die meisten Gesetze nichts anderes als Regeln für Veränderungen sind. Die Gesetze werden durch Differenzialgleichungen formuliert, die Lösung im Einzelfall hängt aber nicht nur vom Gesetz ab, sondern auch von Anfangs-, Neben- oder Randbedingungen.

Peter Hertel

3. Felder

Um die Punkte im Raum zu charakterisieren, benutzen wir ein kartesisches Koordinatensystem. Dieses Koordinatensystem kann man drehen und verschieben, es bleibt dabei ein kartesisches. Wenn man das Koordinatensystem wechselt, müssen die Felder umgerechnet werden, mit denen man die physikalischen Eigenschaften der Raumpunkte beschreibt. Wir befassen uns in der Hauptsache mit Skalar- und Vektorfeldern und ihren Ableitungen, soweit sie wieder Skalar- oder Vektorfelder sind.

Wir erörtern, wie man Wege, Flächen und Gebiete beschreibt, also ein-, zwei- oder dreidimensionale Mannigfaltigkeiten im dreidimensionalen Raum. Felder kann man über Wege, Flächen und Gebiete integrieren. Dabei muss man zwar auf eine Parametrisierung zurückgreifen, die Integrale jedoch hängen nicht von der speziellen Wahl der Parametrisierung ab. Sowohl für Wegintegrale als auch für Flächen- und Gebietsintegrale gibt es jeweils einen Satz, der den Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung verallgemeinert.

Peter Hertel

4. Partielle Differenzialgleichungen

Wenn die durch ihre Veränderung beschriebene Funktion

u

=

u

(

x

,

y

, …) von mehr als einer Variablen abhängt, kommen die partiellen Ableitungen ins Spiel, und man spricht von partiellen Differenzialgleichungen. Wir können uns hier nur mit den allereinfachsten Problemen beschäftigen, das Gebiet ist riesig und von allergrößter Bedeutung für Naturwissenschaft und Technik.

Falls Symmetrieüberlegungen es erlauben, die partielle auf eine gewöhnliche Differenzialgleichung zurückzuführen, kann man häufig eine analytische Lösung finden. Oft ist es möglich, durch Reihenentwicklung nach einer oder mehreren Variablen den Schwierigkeitsgrad herab zu setzen.

Analytisch lösbare Aufgaben sind die Ausnahme, numerische Verfahren spielen daher eine wichtige Rolle. Wir stellen die Allerwelts-Methode der finiten Differenzen vor und das Arbeitspferd für ernsthafte Anwendungen, die Methode der finiten Elemente. Wir beschreiben auch das Crank-Nicolson-Verfahren für Anfangswertprobleme, weil es Anlass dazu gibt, nach der Stabilität eines Rechenschemas zu fragen.

Peter Hertel

5. Lineare Operatoren

Lineare Operatoren bilden einen linearen Raum linear in sich selber oder in einen anderen linearen Raum ab. Das heißt, dass man erst linear kombinieren und dann abbilden kann oder erst abbildet und dann linear kombiniert, mit demselben Ergebnis. Das erklären wir genauer im Abschnitt über

lineare Abbildungen

. Wir führen dann das Skalarprodukt ein, damit wird ein linearer Raum zu einem

Hilbert-Raum

. Dessen lineare Teilräume kennzeichnen wir durch

Projektoren auf Teilräume

. Die wichtige Klasse der

normalen Operatoren

ist dadurch ausgezeichnet, dass sie mit ihrem Adjungierten vertauschen. Selbstadjungierte, unitäre und positive Operatoren sind normal. Für sie kann man sehr einfach

Funktionen von Operatoren

definieren, nicht nur als konvergente Potenzreihen. Wir decken auf, was

Translationen

und die

Fourier-Transformation

miteinander zu tun haben. Der nächste Abschnitt behandelt

Ort und Impuls

, redet von Schwankungen und begründet die Heisenbergsche Unschärfebeziehung, allein mit der algebraischen Struktur der Vertauschungsregeln. Gleichfalls nur mit den Vertauschungsregeln leiten wir die Eigenschaften von

Leiter-Operatoren

her und studieren mit diesem Werkzeug die irreduziblen unitären Darstellungen der

Drehgruppe

.

Peter Hertel

6. Verschiedenes

Obgleich sich anhand der sachlichen Gliederung der Physik auch eine Gliederung der Mathematik dafür anbietet, gibt es doch Gegenstände, die sich nicht unverkrampft einfügen lassen oder erst einmal in einer sehr speziellen, später aber in einer erweiterten Bedeutung auftauchen.

Peter Hertel

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

Neuer Inhalt

BranchenIndex Online

Die B2B-Firmensuche für Industrie und Wirtschaft: Kostenfrei in Firmenprofilen nach Lieferanten, Herstellern, Dienstleistern und Händlern recherchieren.

Whitepaper

- ANZEIGE -

Product Lifecycle Management im Konzernumfeld – Herausforderungen, Lösungsansätze und Handlungsempfehlungen

Für produzierende Unternehmen hat sich Product Lifecycle Management in den letzten Jahrzehnten in wachsendem Maße zu einem strategisch wichtigen Ansatz entwickelt. Forciert durch steigende Effektivitäts- und Effizienzanforderungen stellen viele Unternehmen ihre Product Lifecycle Management-Prozesse und -Informationssysteme auf den Prüfstand. Der vorliegende Beitrag beschreibt entlang eines etablierten Analyseframeworks Herausforderungen und Lösungsansätze im Product Lifecycle Management im Konzernumfeld.
Jetzt gratis downloaden!

Bildnachweise